N—L公式的推廣與應(yīng)用

劉旭堂

摘要：眾所周知，關(guān)注微積分學(xué)的人都了解，微積分是自然科學(xué)史上最著名的科學(xué)成果之一，是千百年來(lái)人類(lèi)創(chuàng)造性思維的結(jié)晶。微積分的創(chuàng)立，不僅解決了當(dāng)時(shí)的一些重要的科學(xué)問(wèn)題，而且由此產(chǎn)生了諸如微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分幾何、變分法、復(fù)變函數(shù)等一些重要的數(shù)學(xué)分支。

關(guān)鍵詞：牛頓-萊布尼茨公式；推廣；應(yīng)用

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學(xué)中一個(gè)極其重要的基本公式。利用它可將定積分的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，但由于該公式的條件比較強(qiáng)，影響了它的應(yīng)用與推廣。

一、牛頓—萊布尼茨公式的含義及思想方法

1.含義

牛頓：（1642-1727）英國(guó)著名科學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他1671年寫(xiě)了一本書(shū)《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，它在這本書(shū)里明確指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，這樣就在某種意義上說(shuō)否定了先前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的統(tǒng)一靜止集合。在這一文獻(xiàn)中，他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量組合成的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在這一流數(shù)術(shù)法則中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)不靜止的路徑，求給定時(shí)刻的速度；已知運(yùn)動(dòng)的速度試求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程。

萊布尼茨：（1646一一1716）是德國(guó)著名科學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1684年，他發(fā)表題目為《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類(lèi)型的計(jì)算》的一本書(shū)，這是世界上公認(rèn)的最早的微積分文獻(xiàn)。就是這樣一篇說(shuō)理也似乎有點(diǎn)含糊不清的文章，卻在歷史上產(chǎn)生了劃時(shí)代的意義?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨選用開(kāi)創(chuàng)的。

2.思想方法

極限的思想方法，是微積分學(xué)的根本方法。牛頓—萊布尼茨公式作為微積分的重要公式，它集中體現(xiàn)了極限的思想方法，這個(gè)公式的證明方法常見(jiàn)的有兩種：一種方法是萊布尼茨的方法，即先引人積分上限函數(shù)，然后證明出積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為被積函數(shù)本身，再根據(jù)一個(gè)函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)之差為某一常數(shù)，這一性質(zhì)推出牛頓—萊布尼茨公式。另一種方法是從定積分的定義式出發(fā)，利用拉格朗日中值定理推得牛頓—萊布尼茨公式。本文給出第三種證明方法，而這種方法更能充分體現(xiàn)出這一公式中所蘊(yùn)含的極限的思想方法。

二、牛頓一萊布尼茨公式的應(yīng)用

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)，大多采用直線型程序進(jìn)行的：從極限到連續(xù)性、到導(dǎo)數(shù)（微分）、再到積分.直線型路線走完了，課程也就結(jié)束了.其實(shí)，直線型路線走完了，這僅是為學(xué)好這門(mén)課程奠定了一個(gè)基礎(chǔ)而已.在此之后，尚需人們從各種角度來(lái)重新觀察所學(xué)到的知識(shí)整體，特別是應(yīng)進(jìn)行以新理舊、以后推前的逆向思維工作.譬如，能否用積分來(lái)處理微分的結(jié)論、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)？通過(guò)反復(fù)聯(lián)系，人們才會(huì)對(duì)知識(shí)的整體性有個(gè)較深入的體驗(yàn)，對(duì)所學(xué)知識(shí)有深入的理解，甚至?xí)a(chǎn)生一些新結(jié)論，下面以Taylor中值定理的積分證明為例：

Taylor：中值定理是說(shuō)，若f（x）在（c，d）中有n十1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

對(duì)此定理，大多都是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)借助Cauchy中值定理或Rolle定理來(lái)證明的.也可用積分手段來(lái)證明，則較簡(jiǎn)明.Taylor中值定理等價(jià)于

而此式可經(jīng)由牛頓一萊布尼茨公式變形，然后直接計(jì)算得到（差的積分化+分部積分法）：

三、牛頓—萊布尼茨公式的推廣

在一元函數(shù)積分中有一重要公式，牛頓一萊布尼茲公式，稱(chēng)為微積分基本公式，揭示了函數(shù)的定積分與原函數(shù)（不定積分）之間內(nèi)在聯(lián)系，把定積分的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算不定積分（求原函數(shù)）的問(wèn)題.但是，對(duì)于多元函數(shù)的積分則只能將重積分化為累次積分，進(jìn)而化為一元積分的形式求值.本文給出了二元重積分及曲線積分的牛頓—萊布尼茲公式，推廣了微積分基本公式.

1.二重積分

設(shè)函數(shù)f（x，y）在矩形區(qū)域[a，b，c，d]上連續(xù).以（x，y）表示區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，令

設(shè)函數(shù)在矩形區(qū)域 上連續(xù)，如果存在一個(gè)二元函數(shù)，

則二重積分

曲線積分形式設(shè)D為單連通區(qū)域，式的聯(lián)系與在區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，若存在一個(gè)二元函數(shù)，使得在區(qū)域D中任意取兩個(gè)點(diǎn)A，B，則對(duì)連接A，B的任意一條光滑曲線L，都有

二、牛頓—萊布尼茨公式的作用

牛頓—萊布尼茨公式的產(chǎn)生，在當(dāng)時(shí)使人們找到了解決曲線的長(zhǎng)，曲線圍成的面積和曲線圍成的體積的一般方法，而后隨著積分學(xué)的不斷發(fā)展、完善以及它與其他科學(xué)之間日益密切的聯(lián)系，這個(gè)重要公式的應(yīng)用范圍也在不斷擴(kuò)大，這個(gè)公式本身解決的定積分的計(jì)算內(nèi)容也逐漸增多。從牛頓—萊布尼茨公式可以看出，只要能求出被積函數(shù)的原函數(shù)，不管原函數(shù)是初等函數(shù)還是用級(jí)數(shù)的形式給出，總可以求出這個(gè)積分的值或者滿(mǎn)足一定精確度的近似值。當(dāng)原函數(shù)是由級(jí)數(shù)的形式給出是，可用逐項(xiàng)積分的方法求的原函數(shù)，可利用牛頓—萊布尼茨公式求得積分的近似值。詳見(jiàn)級(jí)數(shù)有關(guān)內(nèi)容。endprint