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    巧用法向量求多面體中的距離

    2017-10-21 12:55:24謝忠
    魅力中國 2017年40期
    關鍵詞:異面多面體直角坐標

    謝忠

    向量是高中數學中的重要概念之一,利用法向量求多面體中的距離,既是高考考查的重點又是學生的難點,就此,嘗試運用向量法解題很有必要。

    下面,談談利用法向量求多面體中的距離。解題方法指導:(1)設n是平面α的法向量,AB是α的一條斜線,A∈α,則點B到平面α的距離為d=|AB·n||n| ;(2)設n是兩條異面直線L1、L2的公垂線的法向量,又C、D分別是L1、L2的任一點,則L1、L2的距離d=|CD·n||n| 。

    一、 利用平面的法向量求空間的異面直線間的距離(線線距)

    例1:M、N是棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、BB1的中點,求異

    面直線AM與CN間的距離。

    解析:建立空間直角坐標系如圖1,設AM與CN的公垂線上的法向量為n=(x,y,z),由A(1,0,0)、M(1,12 ,1)、N(1,1,12 )、C(0,1,0)

    AM=(0,12 ,1)、CN=(1,0,12 ),則AM·n=0且CN·n=0

    得12 y+z=0,且x+12 z=0,令z=2,則x=-1,y=-4

    所以n=(-1,-4,2),AC=(-1,1,0)

    故異面直線AM與CN距離d=|AC·n||n| =|-1×(-1)+(-4)×1+2×0|√(-1)2+(-4)2+22 =√217

    二、利用法量求點到平面的距離(點面距)

    例2:已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E、F分別為AB、BD的中點,求點D到平面PEF的距離。

    解析:建立空間直角坐標系如圖2,由P(0,0,1),E(1,12 ,0),F(12 ,1,0),PE=(1,12 ,-1),PF=(12 ,1,-1),設n=(x, y, z)是平面PEF的一個法向量,則PE·n=0且PF·n=0,得x+12 y-z=0且12 x+y-z=0

    令x=y=2,則z=3,所以n=(2,2,3)

    又PD=(0,0,-1)故d=|PD·n||n| =3√1717

    三、利用法向量求平行直線到平面的距離(線面距)

    例3:正三棱柱ABC—A1B1C1的九條棱均相等,D是BC上一點,AD⊥C1D,若AB=2,求直線A1B與截面ADC1的距離。

    解析:易證AD⊥BC,連結A1C交AC1于E,由A1B∥DE

    可得A1B∥面ADC1,建立空間直角坐標系如圖3:由B(1,0,0),

    A(0,-√5,0),C1(-1,0,2),AD=(0,√5,0),C1D=(1,0,-2),

    高n=(x,y,z)是面ADC1的一個法向量,則AD·n=0且C1D·n=0,

    得√5y=0且x-2z=0,令z=1,則x=2,所以n=(2,0,1),BD=(-1,0,0),故d=|BD·n||n| =2√5 =2√55

    四、利用法向量求平行平面間的距離(面面距)

    例4:棱長為1的正方體ABCD- A1B1C1D1中,M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1 、C1D1的中點,求平面AMN與平面EFDB的距離。

    解析:建立空間直角坐標系如圖4

    由A(1,0,0),M(1,12 ,1),N(12 ,0,1),B(1,1,0),

    AM(0,12 ,1),AN=(-12 ,0,1)

    設兩平面的法向量為n=(x,y,z),則有AM·n=0且AN·n=0,即12 y+z=0且-12 x+z=0令x=2,則y=-2,z=1,得n=(2,-2,1),又AB=(0,1,0)故d=|AB·n||n| =2√4+4+1 =23

    注:例3、例4可轉化為點到平面的距離來求。

    在多面體中求有關距離的問題比較多,如果能把這些問題轉化為向量運算,解答起來更省時省力,又減少了作輔助線的煩惱,體現了“數”與“形”的結合,從而減少計算量,優(yōu)化解題過程,這也是得用向量解題的獨到之處。

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