歸類(lèi)思維方法，為高效學(xué)習(xí)鋪路

丁紅兵

【摘要】初中數(shù)學(xué)知識(shí)是成體系存在的，以思維方法為依據(jù)將知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行歸類(lèi)，是高效開(kāi)展學(xué)習(xí)的理想途徑。筆者從思維方法的角度出發(fā)，查閱了大量理論資料，并結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例，提煉出了幾種典型性強(qiáng)的思維歸類(lèi)方法，將之闡述于本文，望對(duì)廣大初中數(shù)學(xué)教師有所啟發(fā)。

【關(guān)鍵詞】初中；數(shù)學(xué)；思維方法

21世紀(jì)借助于互聯(lián)網(wǎng)，人們隨時(shí)隨地都可以從網(wǎng)絡(luò)獲得自己需要的知識(shí)，已經(jīng)從“知識(shí)就是力量”的時(shí)代轉(zhuǎn)為“思維就是力量”的時(shí)代。教育的任務(wù)已不僅僅是培養(yǎng)“有知識(shí)的人”，而是更注重培養(yǎng)“會(huì)思維的人”、“有智慧的人”。所以筆者認(rèn)為：想要學(xué)好初中數(shù)學(xué)，僅僅靠下苦功是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。學(xué)習(xí)需要刻苦，更需要技巧。著眼剖析初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)個(gè)具體知識(shí)內(nèi)容，便不難發(fā)現(xiàn)其中存在的相似之處，繼續(xù)結(jié)合典型問(wèn)題的分析與解答過(guò)程加以提煉，普適性的思維方法就出現(xiàn)了。從思維方法的角度進(jìn)行歸類(lèi)探尋，既是優(yōu)質(zhì)教學(xué)的高階要求，更是學(xué)生得以高效掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的一條捷徑。

一、尋找函數(shù)方程思想，促進(jìn)高效學(xué)習(xí)

縱觀整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，函數(shù)方程的思維方法稱(chēng)得上是適用最為廣泛的一種了。很多學(xué)生表示，當(dāng)分析問(wèn)題出現(xiàn)困難時(shí)，只要找到合適的等量關(guān)系，都可以借助函數(shù)方程的思想來(lái)予以解答。掌握這個(gè)堪稱(chēng)“萬(wàn)能”的思維方法，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的高效推進(jìn)來(lái)講意義重大，真可謂“函數(shù)方程是兄弟，此隱彼顯兩相依。根據(jù)需要做選擇，難題也會(huì)變?nèi)菀住薄?/p>

二、尋找數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)高效學(xué)習(xí)

“數(shù)形結(jié)合威力大，遇有難題去找它。一個(gè)問(wèn)題兩側(cè)面，根據(jù)需要來(lái)轉(zhuǎn)化。”在數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中，“數(shù)”與“形”之間始終存在著密不可分的聯(lián)系。找到數(shù)形之間的關(guān)聯(lián)，不僅能夠讓學(xué)生們更加到位地掌握知識(shí)內(nèi)容的細(xì)節(jié)與本質(zhì)，更可以在分析具體問(wèn)題時(shí)為大家提供行之有效的思維工具。從數(shù)與形的關(guān)系出發(fā)思考問(wèn)題，就是我們將要討論的數(shù)形結(jié)合思想。

例如，當(dāng)學(xué)生們完成了數(shù)軸知識(shí)的學(xué)習(xí)后，我在課堂上引入了這樣一道題目：A、B兩個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)軸上的實(shí)數(shù)a、b，這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離表示為IABI。當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)當(dāng)中有一個(gè)點(diǎn)位于原點(diǎn)上時(shí)，設(shè)點(diǎn)爿位于原點(diǎn)，如圖1所示，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|。當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)都不在原點(diǎn)上時(shí)，存在三種情況：當(dāng)兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖2所示，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=（-b）-（-a）=|a-b|；當(dāng)兩點(diǎn)均在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖3所示，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；當(dāng)兩點(diǎn)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，如圖4所示，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=（-b）+a=|a-b|。那么，（1）數(shù)軸上表示2和5的兩個(gè)點(diǎn)、表示-2和-5的兩個(gè)點(diǎn)、表示1和3的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離分別是多少？（2）數(shù)軸上表示x和-1的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是多少？若兩個(gè)點(diǎn)分別為點(diǎn)4和點(diǎn)B，且|AB|=2，則x的值是多少？（3）若要使得|x+1|+|x-2|的值取得最小，則x的取值范圍是什么？這個(gè)問(wèn)題從數(shù)軸的基本問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行了拓展延伸，雖然內(nèi)容的難度比教材中的基礎(chǔ)知識(shí)增大了，但卻在圖形的引導(dǎo)下，十分清晰地呈現(xiàn)在了學(xué)生面前。借助圖形方式思考數(shù)軸問(wèn)題的方法，也對(duì)學(xué)生們形成了啟發(fā)。

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的適用可以從兩個(gè)角度展開(kāi)：一是從問(wèn)題當(dāng)中已經(jīng)給出的圖形人手，從中盡可能多地將已知條件挖掘出來(lái)，使圖形當(dāng)中所蘊(yùn)含的信息服務(wù)于數(shù)量關(guān)系的探究。二是從新圖形的構(gòu)造入手，善于在閱讀當(dāng)前的數(shù)量關(guān)系條件之后，以圖形的方式將之加以體現(xiàn)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)整合。

三、尋找分類(lèi)討論思想，促進(jìn)高效學(xué)習(xí)

在一些關(guān)系比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多個(gè)思維拐點(diǎn)。如果學(xué)生們不能將每一種情況都考慮周全，便會(huì)造成問(wèn)題解答錯(cuò)誤的出現(xiàn)。這就對(duì)學(xué)生們的分類(lèi)討論能力提出了要求。

例如，在對(duì)直角三角形的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我請(qǐng)學(xué)生們思考這樣一道習(xí)題：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是10厘米，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，以逆時(shí)針的方向沿著正方形的邊勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2厘米，直至回到點(diǎn)A處時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。那么，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，它和點(diǎn)D之間的距離是多少？這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，可真正分析起來(lái)便會(huì)發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D和點(diǎn)P存在著多種位置關(guān)系。為此，我先請(qǐng)學(xué)生們根據(jù)已知條件將圖形畫(huà)出（如右圖所示），然后根據(jù)點(diǎn)P位于正方形不同的邊上來(lái)分別分析其中的數(shù)量關(guān)系。由此，學(xué)生們意識(shí)到，應(yīng)當(dāng)根據(jù)0≤t<5、5≤t<10、10≤t<15、15≤t≤20這四種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。果然，這樣的分類(lèi)一出，解題的思路立刻清晰起來(lái)了。從這個(gè)分析過(guò)程中，學(xué)生們也深切地感受到，對(duì)于情況復(fù)雜的問(wèn)題，分類(lèi)討論是十分必要的。明確了分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，并將每一種可能性都準(zhǔn)確列出之后，解答題目的過(guò)程自然順暢高效。這樣的嘗試也讓很多對(duì)分類(lèi)討論心存畏懼的學(xué)生們，找到了有效分析問(wèn)題的入手點(diǎn)。

分類(lèi)討論思想的培養(yǎng)，并不是靠簡(jiǎn)單的死記硬背就能實(shí)現(xiàn)的，而是要以學(xué)生們對(duì)知識(shí)內(nèi)容的到位理解與清晰有序的數(shù)學(xué)思維作為保障。教師們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程當(dāng)中，更要著重對(duì)分類(lèi)的依據(jù)與方法向?qū)W生們加以強(qiáng)調(diào)。建立起分類(lèi)討論的思維習(xí)慣之后，疑難復(fù)雜問(wèn)題便能夠應(yīng)對(duì)自如了。

四、尋找整體轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)高效學(xué)習(xí)

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，還有一種重要的思維方法很容易被學(xué)生們所忽略，那就是整體轉(zhuǎn)化思想。這種思維方法經(jīng)常會(huì)被運(yùn)用在一些比較細(xì)小的解題細(xì)節(jié)當(dāng)中，雖然不像前面幾種方法那樣引人注目，但適用得當(dāng)，卻能夠顯著提升知識(shí)學(xué)習(xí)效率。

例如，在反比例函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生們遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如下圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別是直線y=1/2x+2與x、y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P也在這條直線上，且位于第一象限。PB與x軸垂直，垂足是點(diǎn)B，△ABP的面積是9。（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？（2）若點(diǎn)R與點(diǎn)P均在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)R位于直線PB的右側(cè)，作RT⊥x軸子點(diǎn)T，要使得△BRT與△AOC相似，則點(diǎn)R的坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)是什么？不難發(fā)現(xiàn)，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵所在。那么，怎樣明確求點(diǎn)P坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)借助的條件呢？這就需要一個(gè)順暢的思維轉(zhuǎn)化了：想要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，就要先求出PB和OB的長(zhǎng)度。在具體計(jì)算的過(guò)程中，則需要將點(diǎn)P（m，n）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程或方程組來(lái)求解。經(jīng)過(guò)從這兩個(gè)角度分別進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后，學(xué)生們求解問(wèn)題的思路一下子清晰了不少。這個(gè)過(guò)程也讓大家意識(shí)到，面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不要急于下筆計(jì)算，而是要將分析問(wèn)題的思路設(shè)計(jì)好，特別是如何運(yùn)用已知條件加以轉(zhuǎn)化，有了這個(gè)大方向，才能高效準(zhǔn)確地解題。

通過(guò)解答一些比較典型的數(shù)學(xué)題目，尋找整體轉(zhuǎn)化思想并不困難。鑒于它經(jīng)常容易被學(xué)生們所忽略，教師們要做的就是在日常教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常性地引入這種思維方式，讓它成為學(xué)生們的一種思考習(xí)慣，使之于無(wú)形當(dāng)中推動(dòng)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程走向高效。

初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的知識(shí)內(nèi)容數(shù)量繁多，串連它們的思維方法自然也不在少數(shù)。當(dāng)學(xué)生們將這些規(guī)律性的思維方法一個(gè)個(gè)探索發(fā)現(xiàn)后，就好像是在手中握住了一條條繩索，逐漸將散落的數(shù)學(xué)知識(shí)串連起來(lái)了。從思維方法的角度把握數(shù)學(xué)，便可以提綱挈領(lǐng)地處理學(xué)習(xí)過(guò)程，從根本上推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高效開(kāi)展。