點差法在圓錐曲線中的應用探究

王躍梅

(江蘇省射陽縣高級中學，江蘇 鹽城 224300)

點差法在圓錐曲線中的應用探究

王躍梅

(江蘇省射陽縣高級中學，江蘇 鹽城 224300)

點差法，顧名思義，設點、作差，它是利用直線與圓錐曲線的交點，再將交點坐標代回原曲線方程，并將兩式相減，即可得到一個關(guān)于弦的中點及斜率的方程，利用該方程求解一些軌跡問題.在高中數(shù)學中，點差法主要用于圓錐曲線中如下的三類計算：1)中點弦軌跡求解問題；2)圓錐曲線軌跡求解問題；3)圓錐曲線定值定點問題.在本文中，我們將結(jié)合實際習題，對點差法的應用進行討論.

高中數(shù)學；點差法；數(shù)學思想

一、點差法在中點弦方程求解中的應用

綜上可知，所求的直線方程為x+2y-4=0.

點評針對中點弦方程的求解類問題，點差法是最有效的求解方式之一.本題屬于基礎(chǔ)類的中點弦方程求解問題，因為我們已經(jīng)指明了點M位于橢圓內(nèi)部，即可直接進行求解，無需再進行驗證.對于例題中所示的題型，只要給出曲線方程及某個定點的坐標，利用點差法即可實現(xiàn)求解.若將本題進行變化，將條件“橢圓”變成“雙曲線”，則需要重新進行考慮，需要對點的位置進行討論，滿足條件的直線可能不止一條，也可能不存在.在實際求解過程中，很多學生會忽視，從而功虧一簣.

二、點差法在圓錐曲線方程求解中的應用

點評從上述解題過程可以看出，點差法貫徹了設而不求的思想，設出直線與橢圓的交點坐標，卻并沒有直接求解，而是利用和與差的關(guān)系，將解題所需的計算盡量簡化，提高解題準確率.在點差法求解圓曲線方程的過程中，依然按照固定模式，設點、作差，導出斜率.在求解橢圓長短邊的平方值過程中，還是貫徹簡化計算的理念，圍繞弦直線的斜率、中點坐標這兩個關(guān)鍵，得到相應的關(guān)系式，利用關(guān)系式簡化求解，體現(xiàn)出了點差法求解的精髓.

三、點差法在圓錐曲線定值定點問題中的應用

例3 在拋物線y2=2px(p>0)上有兩點A、B，這兩點滿足關(guān)系OA⊥OB，其中O為坐標原點，求證：(1)A、B兩點的橫縱坐標之積都是一定值；(2)直線AB過定點.

點評本題利用點差法求解圓曲線中定值定點類問題，結(jié)合直線的斜率表達式，有效地簡化了計算過程，巧妙地避免了方程組求解的繁瑣步驟.由該例可以清晰地看出，點差法在求證定點定值類問題中，通過設點、作差兩步，即可實現(xiàn)清晰有效的求證，值得注意的就是將作差所得條件向欲證信息的靠攏上，尋求合適的簡化方法，得到準確的表達形式.

總之，點差法在圓錐曲線中的應用十分廣泛，上述三類應用只是較為典型的案例而并非全部.點差法在弦中點證明、判斷兩點關(guān)于某一弦對稱及弦的垂直平分線等眾多方面均有著廣泛的應用.在點差法中，這種設而不求的數(shù)學理念值得我們一線教師進行推廣發(fā)揚.

[1]陳國輝.用點差法解圓錐曲線的弦中點問題[J].數(shù)理化解題研究，2016(01).

[2]楊亢爾.“點差法”在中點弦問題中的“意外”[J].數(shù)理化解題研究，2012(03).

G632

A

1008-0333(2017)22-0027-03

王躍梅(1976.05- )女，江蘇徐州人，本科學歷，中學一級教師，主要從事高中數(shù)學教學與研究.

責任編輯：楊惠民]