王躍梅
(江蘇省射陽縣高級中學,江蘇 鹽城 224300)
點差法在圓錐曲線中的應用探究
王躍梅
(江蘇省射陽縣高級中學,江蘇 鹽城 224300)
點差法,顧名思義,設點、作差,它是利用直線與圓錐曲線的交點,再將交點坐標代回原曲線方程,并將兩式相減,即可得到一個關(guān)于弦的中點及斜率的方程,利用該方程求解一些軌跡問題.在高中數(shù)學中,點差法主要用于圓錐曲線中如下的三類計算:1)中點弦軌跡求解問題;2)圓錐曲線軌跡求解問題;3)圓錐曲線定值定點問題.在本文中,我們將結(jié)合實際習題,對點差法的應用進行討論.
高中數(shù)學;點差法;數(shù)學思想
綜上可知,所求的直線方程為x+2y-4=0.
點評針對中點弦方程的求解類問題,點差法是最有效的求解方式之一.本題屬于基礎(chǔ)類的中點弦方程求解問題,因為我們已經(jīng)指明了點M位于橢圓內(nèi)部,即可直接進行求解,無需再進行驗證.對于例題中所示的題型,只要給出曲線方程及某個定點的坐標,利用點差法即可實現(xiàn)求解.若將本題進行變化,將條件“橢圓”變成“雙曲線”,則需要重新進行考慮,需要對點的位置進行討論,滿足條件的直線可能不止一條,也可能不存在.在實際求解過程中,很多學生會忽視,從而功虧一簣.
點評從上述解題過程可以看出,點差法貫徹了設而不求的思想,設出直線與橢圓的交點坐標,卻并沒有直接求解,而是利用和與差的關(guān)系,將解題所需的計算盡量簡化,提高解題準確率.在點差法求解圓曲線方程的過程中,依然按照固定模式,設點、作差,導出斜率.在求解橢圓長短邊的平方值過程中,還是貫徹簡化計算的理念,圍繞弦直線的斜率、中點坐標這兩個關(guān)鍵,得到相應的關(guān)系式,利用關(guān)系式簡化求解,體現(xiàn)出了點差法求解的精髓.
例3 在拋物線y2=2px(p>0)上有兩點A、B,這兩點滿足關(guān)系OA⊥OB,其中O為坐標原點,求證:(1)A、B兩點的橫縱坐標之積都是一定值;(2)直線AB過定點.
點評本題利用點差法求解圓曲線中定值定點類問題,結(jié)合直線的斜率表達式,有效地簡化了計算過程,巧妙地避免了方程組求解的繁瑣步驟.由該例可以清晰地看出,點差法在求證定點定值類問題中,通過設點、作差兩步,即可實現(xiàn)清晰有效的求證,值得注意的就是將作差所得條件向欲證信息的靠攏上,尋求合適的簡化方法,得到準確的表達形式.
總之,點差法在圓錐曲線中的應用十分廣泛,上述三類應用只是較為典型的案例而并非全部.點差法在弦中點證明、判斷兩點關(guān)于某一弦對稱及弦的垂直平分線等眾多方面均有著廣泛的應用.在點差法中,這種設而不求的數(shù)學理念值得我們一線教師進行推廣發(fā)揚.
[1]陳國輝.用點差法解圓錐曲線的弦中點問題[J].數(shù)理化解題研究,2016(01).
[2]楊亢爾.“點差法”在中點弦問題中的“意外”[J].數(shù)理化解題研究,2012(03).
G632
A
1008-0333(2017)22-0027-03
王躍梅(1976.05- )女,江蘇徐州人,本科學歷,中學一級教師,主要從事高中數(shù)學教學與研究.
責任編輯:楊惠民]