基于建構(gòu)主義的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例及分析

廖婷+庫(kù)在強(qiáng)

【摘要】建構(gòu)主義理論作為一種全新的認(rèn)識(shí)論論，在知識(shí)觀、學(xué)習(xí)觀、教學(xué)觀等方面對(duì)教師提出了新的要求。目前許多研究者基于建構(gòu)主義理論提出了一系列教學(xué)設(shè)計(jì)，但很少具體到數(shù)學(xué)實(shí)際課堂。基于這一現(xiàn)狀，本文把研究重點(diǎn)放高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施過(guò)程上，提出知識(shí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程、創(chuàng)設(shè)情景是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)、合作交流是學(xué)習(xí)的重要方式等教學(xué)啟示，并由此給出具體的高中數(shù)學(xué)必修5二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的教學(xué)設(shè)計(jì)案例及分析。

【關(guān)鍵詞】建構(gòu)主義；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)；案例

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）07-0253-02

一、建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的主要觀點(diǎn)及教學(xué)啟示

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的主要觀點(diǎn)：（1）知識(shí)觀。建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)知識(shí)不是主體對(duì)客體簡(jiǎn)單、被動(dòng)的反映，而是主體通過(guò)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為依托進(jìn)行積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。這就要求教師在教學(xué)中充當(dāng)輔導(dǎo)者、引導(dǎo)者、合作者，將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人；（2）學(xué)習(xí)觀。建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)人的知識(shí)本質(zhì)是主體的“構(gòu)造”過(guò)程。這意味學(xué)生在學(xué)習(xí)中，往往是以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，對(duì)新知識(shí)進(jìn)行編碼，而這個(gè)過(guò)程中需要學(xué)生獨(dú)立思考，必要的時(shí)候還需要老師的指導(dǎo)；（3）教學(xué)觀。建構(gòu)主義認(rèn)為教師不是簡(jiǎn)單地將知識(shí)呈現(xiàn)或傳遞給學(xué)生，而是促進(jìn)、幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。這就要求教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)有利于學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的學(xué)習(xí)環(huán)境，以支持和幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示：（1）知識(shí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。在治學(xué)求進(jìn)的過(guò)程中，教師首先要讓學(xué)生感受到他們才是學(xué)習(xí)的主人，尊重不同學(xué)生的情感、思維、興趣、愛(ài)好，允許學(xué)生對(duì)問(wèn)題的不同看法。學(xué)生只有在身心自由時(shí)，才有可能進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，進(jìn)而養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，最后讓學(xué)生掌握建構(gòu)知識(shí)的學(xué)習(xí)方法。（2）創(chuàng)設(shè)情景是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景中，教師首先考慮學(xué)生的實(shí)際情況，其次是注意情景的真實(shí)性、可接受性、誘發(fā)性、層次性，最后創(chuàng)設(shè)出一系列吸引學(xué)生的教學(xué)情景，如信息情景、生活情景、懸念情景等。（3）合作交流是學(xué)習(xí)的重要方式。在合作交流的過(guò)程中，就要求教師合理建組、科學(xué)分工。

二、建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論下高中數(shù)學(xué)微課教學(xué)設(shè)計(jì)案例及分析

下文以“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從實(shí)際現(xiàn)實(shí)情景中抽象出數(shù)學(xué)模型，引發(fā)一系列學(xué)生感興趣的問(wèn)題。在整個(gè)課堂中，教師注重學(xué)生原有的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，并積極參與課堂探索過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生之間良好的合作精神。

1.創(chuàng)設(shè)情景，引出課題

通過(guò)PPT課件展示：牛奶和果汁。媽媽希望明明多喝牛奶，以保證每天充足的營(yíng)養(yǎng)，但明明更喜歡喝果汁，為了讓媽媽放心明明的營(yíng)養(yǎng)問(wèn)題，又讓明明可以喝上果汁，一起對(duì)營(yíng)養(yǎng)早餐做一個(gè)合理的安排。

設(shè)計(jì)意圖：教師提出的問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)生活情景，幫助學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

牛奶、果汁中都含有兩種重要的營(yíng)養(yǎng)元素M、N元素，每立方分米牛奶中含有營(yíng)養(yǎng)素M、N分別是2mg、1mg，每立方分米果汁中含有營(yíng)養(yǎng)素M、N分別是1mg、2mg，成人每天需要的M元素為12mg，每天需要的N元素為18mg，每天喝多少立方分米牛奶和果汁才能滿足營(yíng)養(yǎng)要求？

設(shè)每天喝牛奶和果汁各x、y（x、y屬于正整數(shù)）立方分米，才能滿足營(yíng)養(yǎng)要求。

則：

求解二元一次方程組（方法：代入消元法、加減消元法）。

變式：如果明明每天需要的M元素不少于12mg，每天需要的N元素為不多于18mg，又有什么樣的式子呢？

，等價(jià)于：

設(shè)計(jì)意圖：充分考慮學(xué)生認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)從二元一次方程（組）到二元一次不等式（組）的過(guò)渡。總結(jié)得出：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式，且由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組[7]。

2.知識(shí)回顧，探索方案

一元一次不等式（組）的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，那么二元一次不等式（組）的解集該如何表示呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)（x，y），而有序數(shù)對(duì)（x，y）與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，求解二元一次不等式（組）。

3.歸納探究，形成概念

首先探究2x+y-12≥0在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形表示。為了解決這個(gè)問(wèn)題，先研究2x+y-12=0在平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示。

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，2x+y-12=0表示一條直線，平面內(nèi)的點(diǎn)被直線2x+y-12=0分成3類：在直線2x+y-12=0上的點(diǎn)；在直線2x+y-12=0右上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；在直線2x+y-12=0左下方的區(qū)域內(nèi)的。

滿足2x+y-12>0的點(diǎn)有哪些？在直角坐標(biāo)系中任意取一點(diǎn)代入2x+y-12，會(huì)有怎樣的猜想？

圖1直線的示意圖；圖2直線右上方任意點(diǎn)；圖3不等式組表示的平面區(qū)域。

猜想：2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方點(diǎn)組成的平面區(qū)域。

設(shè)計(jì)意圖：由于直線將整個(gè)坐標(biāo)平面僅分為兩個(gè)區(qū)域，因此只需要在平面中任取一點(diǎn)帶入不等式左邊的表達(dá)式，判斷與0的大小關(guān)系，進(jìn)而得出猜想，以便自然過(guò)渡猜想的證明。

證明：2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方點(diǎn)組成的平面區(qū)域。

如圖2，在2x+y-12=0右上方任取一點(diǎn)P（x，y1），過(guò)點(diǎn)P作平行與y軸的直線交直線2x+y-12=0于A（x，y2），則y1>y2，

∵2x+y1-12-（2x+y2-12）=y1-y2>0。endprint

∴2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方點(diǎn)組成的平面區(qū)域。

證明發(fā)現(xiàn)，只需要取一個(gè)點(diǎn)就可以判斷不等式所表示的區(qū)域。最后進(jìn)一步得出結(jié)論：

結(jié)論一：線定界。一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax+By+Cy>0表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，此時(shí)直線畫成虛線，表示區(qū)域不包括邊界，不等式Ax+By+Cy≥0表示平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線。

結(jié)論二：特殊點(diǎn)定界。在二元一次不等式中，當(dāng)常數(shù)C不等于0時(shí)，可以取特殊點(diǎn)原點(diǎn)（0，0），代入不等式中，判斷不等式表示的區(qū)域。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)證明得出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的作圖方法，進(jìn)一步使學(xué)生回憶思考作圖過(guò)程，深刻理解結(jié)論1、2，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

1.前后呼應(yīng)，解決問(wèn)題

掌握了二元一次不等式表示的平面區(qū)域，那么二元一次不等式組表示的平面區(qū)域呢？

分析：由于所求平面區(qū)域點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足四個(gè)不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的公共部分。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類比一元一次不等式（組）解的表示方法，發(fā)現(xiàn)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域也是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的交集，更加易于理解和記憶。

課前實(shí)際問(wèn)題，解題步驟如下：

解：不等式2x+y-12≥0表示的是直線2x+y-12=0右上方的區(qū)域，不等式x+2y-18≤0表示的是直線x+2y-18=0左下方的區(qū)域，不等式x≥0表示x軸上方的區(qū)域，不等式y(tǒng)≥0表示y軸右方的區(qū)域，取四個(gè)區(qū)域重疊的部分，如圖3中陰影部分（整點(diǎn)坐標(biāo)）就表示原不等式的解集。明明每天喝的牛奶和果汁只要控制在陰影區(qū)域，就可以達(dá)到營(yíng)養(yǎng)要求。

設(shè)計(jì)意圖：呈現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的解題步驟，有利于學(xué)生注意解決同類問(wèn)題解題步驟。

多個(gè)不等式表示的區(qū)域，如何不重不漏的表示出來(lái)？

采用先畫出邊界，然后再利用方向箭頭來(lái)表示該不等式表示的區(qū)域，最后確定公共部分。這種方法又快又準(zhǔn)，且不容易出錯(cuò)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的便捷方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

1.拓展知識(shí)，鞏固發(fā)展

明明通過(guò)閱讀報(bào)紙，發(fā)現(xiàn)牛奶和果汁中含有一種特殊的營(yíng)養(yǎng)元素Q，每立方分米的牛奶和果汁中含有Q營(yíng)養(yǎng)元素分別是3mg、2mg，問(wèn)每天喝多少立方分米果汁和飲料，才能吸收最多的Q營(yíng)養(yǎng)元素？

設(shè)計(jì)意圖：該題是在課前實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，屬于最優(yōu)化問(wèn)題，為下一節(jié)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題做鋪墊。在授課中教師可提醒學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容，就可以解決這個(gè)問(wèn)題。此設(shè)計(jì)有利于讓學(xué)生感受知識(shí)的連貫性和挑戰(zhàn)性。

1.歸納小結(jié)，作業(yè)布置

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況布置必做題和選做題，具體作業(yè)如下：

必做題：課本習(xí)題3.3A組第1題，B組第1題。

選做題：請(qǐng)畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域，若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)有利于幫助大部分學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，以及引導(dǎo)個(gè)別成績(jī)較差的學(xué)生說(shuō)出心中疑惑。作業(yè)布置中的必做題和選做題的形式，幫助不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生達(dá)到自我的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2016.endprint