動(dòng)中求“變”，變中促“辨”

李相林

摘 要：創(chuàng)新能力是一個(gè)國家的核心競爭力，兒童的基本能力與創(chuàng)新能力的中間地帶，存在著一條少有察覺卻不可或缺的隱形通道，就是辨析力。在比較中明晰實(shí)質(zhì)，在辨別中溝通聯(lián)系，在分析中融合創(chuàng)新。本文力圖從“動(dòng)”與“變”的縱橫聚散中，探尋如何生長兒童的辨析力。

關(guān)鍵詞：辨析力；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想

中國教育已經(jīng)進(jìn)入核心素養(yǎng)時(shí)代，核心素養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂上，需要找到“人（學(xué)生）”，發(fā)展“人（學(xué)力）”。“辨析力”是強(qiáng)調(diào)辨別、分析、批判關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)能力。布盧姆在《學(xué)習(xí)、教學(xué)和評估的分類學(xué)》中將認(rèn)知過程分為六種維度：記憶、理解、運(yùn)用、分析、評價(jià)和創(chuàng)造。辨析能力其實(shí)是關(guān)于理解和分析兩個(gè)高層次認(rèn)知過程中比較、區(qū)分、組織和歸屬等綜合能力的表現(xiàn)。它是一種能動(dòng)的“思考型”學(xué)力，也是對學(xué)生終身發(fā)展有益的“DNA”。

筆者嘗試從“動(dòng)”與“變”的演繹中，在教學(xué)中基于知識、技能、經(jīng)驗(yàn)和思想的四個(gè)層面生長學(xué)生的辨析力。

一、動(dòng)態(tài)生成中演變：基于知識的形成發(fā)展辨析力

數(shù)學(xué)知識形成的核心是理解，而理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過程。因此知識就是理解狀態(tài)的某種心理表征，而這個(gè)結(jié)果又影響下一次知識的形成，構(gòu)成一個(gè)所謂的理解循環(huán)。

小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識的形成，一般是具有實(shí)際背景的材料經(jīng)歷表象表征，進(jìn)而抽象化的過程。這一過程不是獨(dú)立、單一、隔離的，可以從一個(gè)更廣泛的層面在動(dòng)態(tài)生成中演示變化，辨別知識的本質(zhì)，分析知識的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的辨析能力。

例如課堂教學(xué)片段：蘇教版數(shù)學(xué)三年級（下）“認(rèn)識小數(shù)”。教師直接出示如圖1所示的數(shù)軸，要求學(xué)生填數(shù)。

教師提問：第一個(gè)點(diǎn)為什么可以用0.1表示？

生1：超過10。

生2：超過0。

生3：是1厘米的。

生4：是1的。

教師未做置評，再次示范講解。

一個(gè)小小的課堂教學(xué)片段折射出思維培養(yǎng)的大問題，四名學(xué)生不同回答的背后蘊(yùn)含著四種不同層次的理解，此處不做深究。蘇教版數(shù)學(xué)教材，在各學(xué)段均大量出現(xiàn)數(shù)軸。每一次數(shù)軸的出現(xiàn)既幫助學(xué)生直觀認(rèn)識新數(shù)的形成，又是一次數(shù)體系的自我完善和發(fā)展的過程?？梢曰跀?shù)軸知識的形成，在動(dòng)態(tài)生成中演變，在知識的關(guān)聯(lián)和擴(kuò)張中發(fā)展學(xué)生的辨析能力。

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的一種特定幾何圖形。由生活中的彈簧秤、溫度計(jì)到具有表象特征的數(shù)字小火車、珠子圖、殘缺的直尺圖，再到抽象的數(shù)軸，對數(shù)軸的要素學(xué)生已經(jīng)隱隱有所覺察。教學(xué)中，在各個(gè)時(shí)段可以在數(shù)軸上進(jìn)行數(shù)知識的動(dòng)態(tài)生成，不斷變化完善數(shù)知識體系。學(xué)生在數(shù)軸上建立基本的基數(shù)和序數(shù)概念后，將數(shù)軸沿正方向無限延長，在單位長度上產(chǎn)生更多、更大的自然數(shù)，在動(dòng)態(tài)延伸中認(rèn)識到自然數(shù)的無窮；認(rèn)識自然數(shù)后，將數(shù)軸上單位長度動(dòng)態(tài)十等分，產(chǎn)生十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，借助十進(jìn)制分?jǐn)?shù)建立小數(shù)的概念，十分之幾是一位小數(shù)，百分之幾是兩位小數(shù)……認(rèn)識小數(shù)后，將數(shù)軸上單位長度動(dòng)態(tài)縮放n等分，生成分?jǐn)?shù)；認(rèn)識分?jǐn)?shù)后，將數(shù)軸從原點(diǎn)向反方向延伸，生成與正數(shù)一一對應(yīng)的負(fù)數(shù)。從自然數(shù)到小數(shù)，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從正數(shù)到負(fù)數(shù)，數(shù)的知識體系在數(shù)軸的縮放伸展之間一次一次地?cái)U(kuò)張、完善。在這一動(dòng)態(tài)生成演變的過程中，學(xué)生在一個(gè)更廣泛的體系中認(rèn)識新數(shù)，理解整數(shù)包含正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0，自然數(shù)是0與正整數(shù)的集合，小數(shù)其實(shí)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，更深刻地把握到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以說明小數(shù)的性質(zhì)，整數(shù)數(shù)位順序表與小數(shù)數(shù)位順序表是相融相通的……在辨別、比較、區(qū)分中明晰各知識區(qū)別于相關(guān)知識的本質(zhì)特征，厘清了它們的內(nèi)在聯(lián)系，把握它們性質(zhì)方面的互通互聯(lián)，逐步發(fā)展主動(dòng)辨析的能力。

很多原理類數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，也可以采用動(dòng)態(tài)生成演變的方法，發(fā)展辨析能力?？梢詫㈤L度單位、面積單位、體積（容積）單位、質(zhì)量單位和時(shí)間單位等從更廣泛的層面，在動(dòng)態(tài)變化生成的過程中聯(lián)系、辨析、互通起來，對相關(guān)的周長、面積和體積等知識的學(xué)習(xí)產(chǎn)生聯(lián)系、融通的作用，從而將辨析能力遷移運(yùn)用到新的情境中，生成新方法，解決新問題。

二、逆向聯(lián)動(dòng)中裂變：基于技能的運(yùn)用催化辨析力

數(shù)學(xué)技能是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，通過訓(xùn)練得以順利完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的一種行動(dòng)方式或心智行動(dòng)方式，可以分為操作技能和心智技能。為了達(dá)成技能的熟練化、自動(dòng)化，日常教學(xué)常陷入枯燥單一、機(jī)械重復(fù)的低層次訓(xùn)練泥潭中。當(dāng)前，國際上對于高層次數(shù)學(xué)思維技能的研究相當(dāng)活躍，具有深刻、靈活、批判、敏捷等技能特征的高層次技能極具創(chuàng)新性。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)技能雖然處于基礎(chǔ)階段，也應(yīng)著眼于未來向高層次思維技能發(fā)展?？梢詮母l(fā)散的層面，在練習(xí)中逆向設(shè)計(jì)、裂變衍生，基于技能的運(yùn)用催化辨析能力。

例如，為了促進(jìn)學(xué)生小數(shù)簡算技能深刻性、靈活性的遷移蛻變，辨析技能運(yùn)用背后的性質(zhì)、規(guī)律等，筆者逆向聯(lián)動(dòng)，設(shè)計(jì)了“五變”練習(xí)。

一變：將基本練習(xí)中的“5.47+1.9+0.53”變?yōu)椤?.47+1.9 ”，要求學(xué)生補(bǔ)充成一道小數(shù)簡算習(xí)題。二變：變“5.47+1.9 ”為“5.47-1.9 ”。三變：變“5.47-1.9+0.53-3.1”為“ ×

+ × ”。四變：變“ × + × ”為“ × + ”。五變：變“ × + ”為“ ×

”。最后，教師要求學(xué)生組內(nèi)互選習(xí)題寫出關(guān)鍵步驟并說出根據(jù)。

一變基本題為半命題，轉(zhuǎn)換了角色，運(yùn)用加法運(yùn)算律編題還算簡單；二變加號為減號，加法運(yùn)算律和減法的性質(zhì)在加減的對比中交融；三變變出乘法分配律的經(jīng)典模型，對于后進(jìn)生有了挑戰(zhàn)；四變變出乘法分配律的省略形式，對運(yùn)算律的理解有了更高要求；五變由繁至簡，形簡意難，涉及拆數(shù)及乘法分配律反運(yùn)用。五次變化，逆向而行，由淺入深，由此及彼，關(guān)聯(lián)辨析。技能運(yùn)用的難度在習(xí)題的精心設(shè)計(jì)下不斷展現(xiàn)，學(xué)生的思維技能在每次變化中不斷釋放，每道題都飽含著學(xué)生自己的思考體驗(yàn)，還受到同伴的啟發(fā)，在辨析中獨(dú)創(chuàng)，課堂上百花齊放、精彩紛呈。

變換角度，逆向而行，裂變衍生，關(guān)聯(lián)變化，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生靈活地運(yùn)用技能以實(shí)現(xiàn)技能的有效遷移。以辨析的觀點(diǎn)，從與眾不同的“新”角度辨別問題，分析問題背后隱藏的本質(zhì)聯(lián)系，產(chǎn)生不同的解題方法和結(jié)果，不受常規(guī)束縛，富于聯(lián)想，產(chǎn)生有別于常規(guī)正統(tǒng)的創(chuàng)造性思維。

三、真實(shí)活動(dòng)中深變：基于經(jīng)驗(yàn)的積累生成辨析力

小學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)后留下的直接感受、體驗(yàn)和感悟，是知識性成分、體驗(yàn)性成分與觀念性成分的“組合體”，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的產(chǎn)物。沒有真實(shí)的活動(dòng)便沒有真正的經(jīng)驗(yàn)，沒有深刻的活動(dòng)便很難有高層次多維辨析的經(jīng)驗(yàn)。因此，設(shè)計(jì)和組織好的數(shù)學(xué)活動(dòng)成為經(jīng)驗(yàn)積累的關(guān)鍵。教學(xué)中，可以從更深刻的層面，設(shè)計(jì)組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，在真實(shí)深入的活動(dòng)中展開變化，將“做”數(shù)學(xué)的過程與“思考”的過程統(tǒng)一起來，讓學(xué)生主動(dòng)深刻地從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，在行為操作的經(jīng)驗(yàn)和思維操作的經(jīng)驗(yàn)中關(guān)聯(lián)比較，基于經(jīng)驗(yàn)的積累，生成辨析能力。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級（下）“圖形的運(yùn)動(dòng)復(fù)習(xí)”中有一道思考題：如圖2，兩個(gè)同樣大的正方形，其中一個(gè)正方形的頂點(diǎn)固定在另一個(gè)正方形的中心點(diǎn)上。旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)正方形，重疊部分的面積變了沒有？

為了積累豐富多維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將操作經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)比較，筆者精心設(shè)計(jì)了真實(shí)深入的數(shù)學(xué)活動(dòng)：為學(xué)生提供同樣大小的紅、藍(lán)兩種透明正方形塑片及小圖釘，要求學(xué)生獨(dú)立有序地進(jìn)行操作，并在實(shí)驗(yàn)操作過程中觀察、記錄、猜想、推理、驗(yàn)證。

學(xué)生按照要求獨(dú)立進(jìn)行了真實(shí)有序地操作，在親身經(jīng)歷中，清晰地觀察到重疊部分形狀在變化，通過重疊部分增減的運(yùn)動(dòng)軌跡猜測面積沒有變。

在分析驗(yàn)證階段，學(xué)生通過分割、平移、旋轉(zhuǎn)、組合等給出了多種證明方法，如圖3。

最后，學(xué)生關(guān)聯(lián)辨析多種途徑，提出終極方法“旋轉(zhuǎn)十字架”：這個(gè)問題本質(zhì)上可以看成相交于正方形中心且相互垂直的兩條直線，無論繞中心怎樣旋轉(zhuǎn)，都將正方形四等分（如圖4）。

數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生做與不做是有區(qū)別的，真實(shí)深入地做與泛泛地做獲得的經(jīng)驗(yàn)層次也是不同的。對比讓學(xué)生直接畫圖解題、用白紙泛泛操作或用課件演示，教師匠心獨(dú)運(yùn)地提供利于操作、觀察的材料，對活動(dòng)過程的指揮和干涉卻很少，這樣可以盡最大可能讓學(xué)生自主經(jīng)歷探究過程，去感受與體驗(yàn)。這一過程中，學(xué)生深刻地經(jīng)歷，外部的感官操作和內(nèi)隱的心智操作相輔相成，在辨別區(qū)分、分類歸屬中獲得豐富、獨(dú)特、動(dòng)態(tài)且富有創(chuàng)新價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)，在“變與不變”的演繹中提升了經(jīng)驗(yàn)層次，生成操作經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)相融合的辨析能力。

四、心動(dòng)想象中聚變：基于思想的感悟生長辨析力

數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想的生成，有利于學(xué)生下位知識的理解和學(xué)習(xí)，有助于認(rèn)清形式背后的本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。真正具有思想深度的教學(xué)，會將數(shù)學(xué)的烙印深深地印在學(xué)生的內(nèi)心深處，最終成為一種精神、一種信仰、一種觀念。

小學(xué)階段蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法主要有：抽象、分類、歸納、轉(zhuǎn)化、模型、數(shù)形結(jié)合、方程、對應(yīng)等。教學(xué)中，可以從更集中的層面聚焦方法的變化，關(guān)聯(lián)、融通對應(yīng)方法的精神實(shí)質(zhì)，基于思想的感悟生長辨析能力。

案例：一道錯(cuò)解生長的辨析力。

棱長3 cm的正方體擺成圖如5的圖形，求表面積和體積。

學(xué)生求體積的錯(cuò)誤解法：9×6×3+3×3×3。

筆者敏銳地捕捉到這個(gè)契機(jī)：可不可以將錯(cuò)就錯(cuò)，引發(fā)學(xué)生思考，辨析感悟背后的數(shù)學(xué)思想呢？源于學(xué)生自身的教學(xué)資源更具親切感和探究性，學(xué)生對于這種解法的判斷是一致否定。“你能讀懂這種解法嗎？”教師的質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生再次審視這種解法。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)其實(shí)這位同學(xué)想把這個(gè)立體圖形分成9×6×3的大長方體和4個(gè)小正方體。在這種方法的啟發(fā)下，學(xué)生展開心理想象操作，提出多種解法并做出相應(yīng)解釋：①33×10，用一份數(shù)乘份數(shù)，在整體由多個(gè)相同量組成時(shí)很簡潔；②9×6×3+33×4，分割成一個(gè)規(guī)則形體和4個(gè)小正方體，需要一定的想象力；③9×9×3+33，轉(zhuǎn)化成一個(gè)規(guī)則形體和1個(gè)小正方體，需要具備轉(zhuǎn)化的意識；④15×6×3，比解法③更進(jìn)一步，直接將10個(gè)小正方體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大長方體……聚焦反思解法的變化，關(guān)聯(lián)辨析多種方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用轉(zhuǎn)化的思想方法來統(tǒng)攝思考，解法上更靈活多變，無論怎樣轉(zhuǎn)化，體積是不變的。

“那求表面積是否也可以將形體進(jìn)行轉(zhuǎn)化？”教師將問題遷移到新的情境?！安荒?！”學(xué)生的第一反應(yīng)是不能移動(dòng)小正方體，因?yàn)橐灰苿?dòng)就會多出或少掉一些面，表面積就變了。嘴上這樣說，不少同學(xué)心里已經(jīng)展開想象操作，希冀有新的發(fā)現(xiàn)。最后，學(xué)生將表面積與三視圖聯(lián)系起來，只要保證移動(dòng)過程中三視圖的對應(yīng)，圖形的表面積是不變的，再次深化了對應(yīng)思想。

在心動(dòng)想象過程中，聚焦解法的變化，關(guān)聯(lián)辨析多種方法，學(xué)生對轉(zhuǎn)化、對應(yīng)及從整體考慮的數(shù)學(xué)思想方法有了更深刻的感悟，基于思想的感悟進(jìn)一步生長了辨析能力，提升了創(chuàng)新力。這種辨析的力量在后面的學(xué)習(xí)中得到印證，學(xué)生在解決課本上用6個(gè)相同正方體擺出規(guī)定三視圖中的兩個(gè)面時(shí)，竟直接通過心動(dòng)想象快速給出二十幾種擺法，聚焦學(xué)生一系列的動(dòng)作變化路徑，映射出他們基于整體考慮思想統(tǒng)攝下的一種關(guān)聯(lián)與辨析。

總之，在教學(xué)實(shí)踐中摸爬滾打，于理論學(xué)習(xí)中上下求索。“在信息的世界里，我們的知識在哪里；在知識的世界里，我們的智慧在哪里？”英國詩人艾略特的沉吟久久回蕩在耳際。在高速發(fā)展、信息爆炸的時(shí)代，生長兒童辨析力也許可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育向智慧彼岸的擺渡。