概率解題錯(cuò)誤分析

☉湖北省武漢中學(xué) 田 靖

概率解題錯(cuò)誤分析

☉湖北省武漢中學(xué) 田 靖

在概率解題過(guò)程中常常陷入一些誤區(qū)，讓人覺(jué)察不到自己的錯(cuò)誤.其原因是因?yàn)闆](méi)有真正理解概率的模型，以及事件的度量，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤思維的發(fā)生.本文以如下幾道高考模擬題為例進(jìn)行分析.

例1在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng).已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是

（1）記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為x，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率.

解析：（1）由題意可得x的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.

（2）設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，包含恰好投進(jìn)4個(gè)球，恰好投進(jìn)5個(gè)球，恰好投進(jìn)6個(gè)球共三種情況，故P（A）=，所以教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為

這道題能得到這樣的解法其實(shí)是一件很自然的事情，但是有時(shí)多思考一會(huì)，覺(jué)得第一問(wèn)如果換一種分析方式是不是也正確呢？

投球事件的結(jié)果只能有這7種可能，分別投進(jìn)0個(gè)球，1個(gè)球，2個(gè)球，3個(gè)球，…，6個(gè)球.所以有：

出現(xiàn)這樣截然不同的結(jié)果，原因在于求概率時(shí)將概率模型誤當(dāng)成了古典概型.例如：“第一個(gè)球投進(jìn)，后五個(gè)球投不進(jìn)”這個(gè)事件的概率與“第一個(gè)球投進(jìn)，后五個(gè)球也都投進(jìn)”這個(gè)事件的概率是不等的.

例2設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出2只球.

（1）求這2只球都是白球的概率；

（2）求這2只球中1只是白球，1只是黑球的概率.

解析：我們把4只白球分別標(biāo)為1，2，3，4號(hào)，2只黑球標(biāo)為5，6號(hào).則基本事件有：（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，3），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，5），共30個(gè).

（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A=｛（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）｝，共12個(gè).

（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B=｛（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4）｝，共16個(gè).

錯(cuò)解：一次摸出2只球，觀察結(jié)果只能是（白，白），（白，黑），（黑，黑）3種情況.

（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A=｛（白，白）｝，所以P（A）=

（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B=｛（白，黑）｝，所以P（B）=

出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因是：（白，白），（白，黑），（黑，黑）3種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的.

例3在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率.

錯(cuò)解：如圖1，點(diǎn)M隨機(jī)地落在線(xiàn)段AB上，故線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為基本事件的度量.

當(dāng)M位于線(xiàn)段AD（不含端點(diǎn)AC=AD）上時(shí)，AM＜AD，所以線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為所求事件的度量.

圖1

出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因是：本題是在∠ACB內(nèi)作射線(xiàn)CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置，因此基本事件的度量應(yīng)是∠ACB的大小，而不是線(xiàn)段AB的長(zhǎng).

正解：AM＜AC的概率應(yīng)該為滿(mǎn)足條件的∠ACM與∠ACB大小的比，即P（AM＜AC）=

變式：已知等腰Rt△ACB，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率.

解析：因?yàn)镸點(diǎn)可以等可能地取遍線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，所以P（AM＜AC）=

概率是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，如果對(duì)概率知識(shí)理解不夠透徹就往往會(huì)陷入困境.所以，在解答概率問(wèn)題時(shí)，需要認(rèn)清概率模型，找到事件正確的度量，對(duì)號(hào)入座，才能給出正確的答案.