基于切換系統(tǒng)下的DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題

劉譽(yù)潔

[摘 要]近年來，由于企業(yè)養(yǎng)老金本身發(fā)揮的作用越來越大，金融市場的不斷動(dòng)蕩以及人口老齡化的加劇，對養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置的研究越來越深入。文章將給付損失最小化作為目標(biāo)函數(shù)，研究在養(yǎng)老金積累與支付的統(tǒng)一框架下，繳費(fèi)與工資有關(guān)的養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題，將資產(chǎn)置于與收益率有關(guān)的切換系統(tǒng)的投資組合中，利用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，建立HJB方程，求解得出資產(chǎn)配置的最優(yōu)比例以及給付水平的顯式解。

[關(guān)鍵詞]切換系統(tǒng)；DC型養(yǎng)老金；資產(chǎn)配置

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.055

1 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及人們對未來生活水平要求的提高，養(yǎng)老金作為人們未來生活的保障在我國社會保障體系中發(fā)揮著舉足輕重的影響。人口老齡化的加劇以及不斷動(dòng)蕩的金融市場也對養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題提出了更高的要求。目前，企業(yè)養(yǎng)老金主要分為兩種類型，一種是給付確定型（DB型）養(yǎng)老金，另一種是繳費(fèi)確定型（DC型）養(yǎng)老金。給付確定型養(yǎng)老金由企業(yè)采取統(tǒng)一賬戶的方式對養(yǎng)老金投資進(jìn)行統(tǒng)一的管理，養(yǎng)老金領(lǐng)取者退休后給付額是事先確定的，只需根據(jù)投資收益來調(diào)整繳費(fèi)額，投資的風(fēng)險(xiǎn)由企業(yè)承擔(dān)。繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金采用個(gè)人賬戶的方式對養(yǎng)老金進(jìn)行投資，養(yǎng)老金領(lǐng)取者的繳費(fèi)額是事先確定的，未來的給付額則隨著投資收益的變化而變化，投資風(fēng)險(xiǎn)由個(gè)人承擔(dān)。由于各種不確定性因素使給付確定型養(yǎng)老金承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越來越大，繳費(fèi)確定型的養(yǎng)老金因成功地將養(yǎng)老金的投資風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給投保人而被廣泛應(yīng)用。目前，我國養(yǎng)老金主要采用DC型養(yǎng)老金的形式，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在風(fēng)險(xiǎn)投資組合中，資產(chǎn)配置決定了投資的大部分的收益，因此DC 型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題成為了研究的熱點(diǎn)。

Merton（1971）[1]最早提出了運(yùn)用隨機(jī)控制的方法來研究養(yǎng)老金最優(yōu)資產(chǎn)配置問題，并將其用于投資消費(fèi)決策中，給研究DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置提供了一種新的思路，之后隨機(jī)最優(yōu)控制理論在養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置中的應(yīng)用越來越廣泛，如：Jianwu Xiao等（2007）[2]在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從CEV模型的假設(shè)下，運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制方法建立HJB方程并求得養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的解。雖然CEV模型較之幾何布朗運(yùn)動(dòng)來說，對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的不確定性做了更好的解釋，但這個(gè)模型很難求解并且波動(dòng)率隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的升高而減小的情況與現(xiàn)實(shí)不符。王力平、張?jiān)迹?014）[3]假定死亡率服從指數(shù)分布，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益服從擴(kuò)散過程，將養(yǎng)老金的積累過程與發(fā)放過程置于統(tǒng)一框架中，運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制方法建立并求解HJB方程，得到統(tǒng)一框架下考慮死亡率的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置比例，結(jié)果顯示養(yǎng)老金積累階段風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例比養(yǎng)老金支付階段的比例低，但死亡強(qiáng)度的逐漸減小，使支付階段的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例的變化過程變得相對緩慢。張初兵、榮喜民、常浩（2013）[4]假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從CEV模型，將工資看作一個(gè)隨機(jī)變化的過程，基于對數(shù)效用函數(shù)，研究有隨機(jī)工資過程的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。Ball&Torous（1983）[5]證實(shí)了金融市場中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格會因突發(fā)性事件的影響而呈現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。趙培標(biāo)、李遠(yuǎn)帥（2014）[6]則考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格服從跳—擴(kuò)散過程，將最大化期末財(cái)富的效用作為目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制方法建立基于對數(shù)效用函數(shù)的HJB方程，求解得出最優(yōu)資產(chǎn)配置比例，并進(jìn)一步研究工資服從跳—擴(kuò)散過程，目標(biāo)函數(shù)為均值—方差模型的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題。

葉燕程、高隨祥（2007）[7]將給付損失最小化作為目標(biāo)函數(shù)，研究在固定繳費(fèi)和隨機(jī)繳費(fèi)兩種情形下，DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略和給付水平并運(yùn)用蒙特卡洛方法對固定繳費(fèi)的DC型養(yǎng)老金進(jìn)行仿真模擬，得到最優(yōu)投資比例隨時(shí)間的推移而增大，而最優(yōu)給付水平則出現(xiàn)相反的變化過程。Gerrad（2006）[8]將最小化財(cái)富水平的損失作為目標(biāo)函數(shù)，得出了DC型養(yǎng)老金在有限時(shí)間和無限時(shí)間的情況下的最優(yōu)投資問題的解。Paolo Battocchio等（2004）[9]用最大化財(cái)富效用作為目標(biāo)函數(shù)，效用函數(shù)選取指數(shù)效用函數(shù)，得出考慮隨機(jī)利率過程、隨機(jī)通貨膨脹過程的最優(yōu)資產(chǎn)配置比例。Cairns等（2006）[10]基于冪效用函數(shù)的條件下，得出考慮隨機(jī)工資過程的最優(yōu)資產(chǎn)配置比例。將期末財(cái)富最大化作為目標(biāo)函數(shù)，很難在現(xiàn)實(shí)中有很好的應(yīng)用，由于效用函數(shù)的形式有多種，而效用函數(shù)的選擇又沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，因此效用函數(shù)的選擇在實(shí)際的操作中面臨很大的困難。鑒于效用函數(shù)的局限性，文章假定一個(gè)理想化的預(yù)期支付水平，將實(shí)際支付水平與預(yù)期支付水平差的平方的最小值作為目標(biāo)函數(shù)。

然而，前人研究的DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題，未考慮到預(yù)期收益率對DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資比例的影響。當(dāng)出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率低于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率的情形時(shí)，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率不僅低而且還需承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資比例有待研究。文章在預(yù)期收益率影響下的，將原本投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的部分資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間進(jìn)行切換，研究切換模型下的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資比例。文章將實(shí)際支付水平與預(yù)期支付水平之間的差額平方的最小值作為目標(biāo)函數(shù)，通過建立HJB方程并求解得到最優(yōu)投資比例和給付水平的解。并對養(yǎng)老金的積累階段與支付階段分別進(jìn)行討論，得出退休前與退休后（即養(yǎng)老金積累階段與發(fā)放階段）的最優(yōu)投資比例和給付水平。

2 模型建立

2.1 金融市場

在金融市場中，由兩基金分離定理，市場由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)兩部分組成。文章僅考慮將養(yǎng)老金投資于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)價(jià)格變化過程服從下面的微分方程：

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)價(jià)格變化過程服從下面的微分方程：

其中，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，r0是投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率，S0（t）是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，S1（t）是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，μt是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)動(dòng)態(tài)價(jià)格變化過程的漂移系數(shù)，σt是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)動(dòng)態(tài)價(jià)格變化過程的擴(kuò)散系數(shù)，Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。endprint

假定養(yǎng)老金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為πt，投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為（1-πt）。由于市場因素的影響風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有很大的波動(dòng)，很有可能出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率低于無風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)期收益率的情況，此時(shí)養(yǎng)老金持有者不會將養(yǎng)老金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，基于這種情況，文章將切換模型置于DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題中。投資價(jià)值的動(dòng)態(tài)變化過程為：

2.2 養(yǎng)老金市場

已知繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金每期的繳費(fèi)額或繳費(fèi)率是確定的，文章假定繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金每期的繳費(fèi)率是確定的，繳費(fèi)率是一個(gè)常數(shù)k（k>0），繳費(fèi)人在t時(shí)刻的工資水平為L（t），繳費(fèi)人在t=0時(shí)刻開始繳費(fèi)，退休時(shí)間為T。

繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金每期的支付額P（t）是不確定的，取決于養(yǎng)老金的投資收益。

2.3 養(yǎng)老金的財(cái)富過程

設(shè)養(yǎng)老金的財(cái)富水平為Rt，并且根據(jù)收益判斷養(yǎng)老金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。在養(yǎng)老金的財(cái)富過程中考慮養(yǎng)老金的積累或支付過程，可以得到養(yǎng)老金財(cái)富滿足如下的微分方程：

2.4 目標(biāo)函數(shù)

已知繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題一般圍繞最小化投資風(fēng)險(xiǎn)和最大化期末財(cái)富這兩個(gè)最優(yōu)化問題進(jìn)行研究。文章給定了一個(gè)預(yù)期支付水平P1，定義了二次損失函數(shù)，將最小的實(shí)際支付水平與預(yù)期支付水平之間的差額平方作為目標(biāo)。將目標(biāo)函數(shù)寫作：

3 最優(yōu)化問題求解

綜合目標(biāo)函數(shù)以及養(yǎng)老金的財(cái)富過程，建立下面的最優(yōu)化問題：

4 數(shù)值分析

4.1 養(yǎng)老金積累階段

當(dāng)0

4.2 養(yǎng)老金支付階段

當(dāng)t>T時(shí)，φt=0，即為退休后的養(yǎng)老金支付階段，此時(shí)πt=-（μt-r）Rt+P13rRtχσ2t，P（t）=ρ+2r+（μt-r）2σ2t-P13r-Rt+P1，無須對養(yǎng)老金進(jìn)行繳費(fèi)，只需根據(jù)投資收益對養(yǎng)老金進(jìn)行支付。若χ=0，此時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率低于投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率，仍將全部養(yǎng)老金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以獲得更大的收益。若χ=1時(shí)，πt=-（μt-r）Rt+P13rRtσ2t，當(dāng)Rt<-P13r時(shí)，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例πt隨風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率σt增大而降低，隨風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（μt-r）增大而提高，隨預(yù)期支付額P1的增大而提高。最優(yōu)支付額P（t），隨風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率σt增大而減小，隨風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（μt-r）增大而增大，隨預(yù)期支付額的增大而增大。

5 總 結(jié)

文章將給付損失最小化作為目標(biāo)函數(shù)，研究在養(yǎng)老金積累與支付的統(tǒng)一框架下，繳費(fèi)與工資有關(guān)的養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題，將資產(chǎn)置于與收益率有關(guān)的切換模型的投資組合中，利用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，建立HJB方程，求解得出資產(chǎn)配置的最優(yōu)比例以及給付水平的顯式解。結(jié)論顯示，基于切換模型下的DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置，相較于其他模型在投資收益方面有更明顯的優(yōu)勢且承擔(dān)更小的風(fēng)險(xiǎn)。本文還將養(yǎng)老金的積累階段與支付階段分開討論，研究繳費(fèi)與工資有關(guān)的情況下，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例與工資之間的關(guān)系，可以看出，積累階段的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例隨工資的增大而增大。支付階段有預(yù)期支付額的情況下，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例與預(yù)期支付額之間的關(guān)系，可以得到，支付階段的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例隨預(yù)期支付額的增大而增大。在今后的研究中，可以考慮工資水平含跳躍項(xiàng)的情況下，對DC型養(yǎng)老金的投資比例的影響，且本文的研究沒有考慮通貨膨脹這個(gè)因素，而通貨膨脹的影響是不可避免的。

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