善于追問(wèn) 一氣呵成

黃相紅

已知直線l：y=k（x-1），橢圓C：■+y2=1

判斷直線l和橢圓C的位置關(guān)系.

（2） 若k=■，直線l和橢圓C相交于M，N求|MN|的值.

（3）設(shè)M N的中點(diǎn)P，是否存在k，使得OP⊥MN？

（4） 設(shè)MN的中點(diǎn)P，當(dāng)k變化時(shí)候，請(qǐng)求出P點(diǎn)的軌跡方程.

題（1）分析

師：今天，老師為大家準(zhǔn)備了這個(gè)內(nèi)容，和大家探討下。（彈出課題），停頓，請(qǐng)看題（1），（彈出幾何畫板，不過(guò)只彈出橢圓，由于直線中有k，暫時(shí)不彈出），巡視，誰(shuí)有結(jié)論？

生：相交.

老師追問(wèn)：你是怎么做的 ？

生：直線過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)（1，0）

師贊嘆：你太厲害了，做出圖形，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)。（幾何畫板上標(biāo)出直線）

師追問(wèn)：那常規(guī)的其他方法有嗎？

生：列方程組，判斷解的個(gè)數(shù).

師總結(jié)：判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)列方程，消元，得出關(guān)于x的一元二次方程，若一元二次方程中△大于0，則直線和橢圓相交，若△等于0，則直線和橢圓相切，若△小于0，則直線和橢圓相離.

師：若△的值有時(shí)候大于0，有時(shí)候小于0呢？

眾生：相交或相離.

師：什么時(shí)候可以由圖像直接判斷直線和橢圓的位置關(guān)系？

眾生：直線上存在點(diǎn)在橢圓內(nèi).

【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生會(huì)有兩種可能解答此題，法一是列方程組，法二是發(fā)現(xiàn)直線通過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn).最好先用繁瑣的聯(lián)立方程的方法，然后再簡(jiǎn)單，總結(jié)中提醒注意直線中右邊=0，橢圓中右邊=1，老師要思考上課用短句，指令準(zhǔn)確，不可模糊。解答后板書直線和橢圓的位置關(guān)系判定的代數(shù)法和幾何（直觀觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)）.

題（2）分析

師：同學(xué)們，在三種關(guān)系中，大量的問(wèn)題集中在相交上，我們今天主要研究下相交時(shí)候的情形。請(qǐng)看題（2）。（停頓，巡視，發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多同學(xué)想把兩點(diǎn)的坐標(biāo)具體求出）

師提示：同學(xué)們，我們最終要求的是弦長(zhǎng)，請(qǐng)先把兩點(diǎn)距離公式中4個(gè)字母減少為x1，x2 （稍等，等學(xué)生寫，老師自己直接同步在黑板書寫）

師提示：請(qǐng)將x1，x2用求根公式直接代入.（巡視，老師黑板上給出弦長(zhǎng)公式|MN|=■×■，）

師總結(jié)：請(qǐng)注意弦長(zhǎng)公式使用時(shí)候先簡(jiǎn)單推導(dǎo)，寫出|MN|=■，然后再給出|MN|=■×■，分清公式中三個(gè)字母，k代表直線斜率，a代表消掉y之后的關(guān)于x的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，△是該一元二次方程中的.

師：請(qǐng)求出該題的弦長(zhǎng). 經(jīng)過(guò)片刻后，老師給出答案：■

【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生求點(diǎn)坐標(biāo)，難解，卡住，此時(shí)老師提示用弦長(zhǎng)公式，此時(shí)老師作好推導(dǎo)準(zhǔn)備，若學(xué)生已知弦長(zhǎng)公式，則直接寫出公式，提醒注意是消y的，當(dāng)然消x也可以，老師給出另外一條|MN|=■×■.并注意區(qū)別比較.另外值得注意的是對(duì)于學(xué)生不會(huì)的，老師要將不會(huì)的分解，切不可從頭講到底，卡在哪里，老師在卡的地方提示，讓學(xué)生充分去發(fā)揮.待此題學(xué)生獨(dú)自解完后，老師在黑板也留下老師所寫的解答過(guò)程，學(xué)生把自己所寫的和老師所寫的進(jìn)行比較，掌握正確的解答格式.

題（2）引申：

師：能否求AM的長(zhǎng)呢？ A是（1，0），M在橢圓上方.巡視，停頓，學(xué)生發(fā)表.

老師提示：A是焦點(diǎn)。過(guò)焦點(diǎn)的直線有定義可利用.（巡視， 然后老師補(bǔ)充上圖形，學(xué)生思緒有了，寫完，校對(duì)，總結(jié)）

【學(xué)情預(yù)設(shè)】很多學(xué)生，想求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，但是發(fā)現(xiàn)數(shù)字繁瑣，若學(xué)生用焦半徑公式，老師說(shuō)，焦半徑公式是課外的，我們能否用書上現(xiàn)有的去解呢？求長(zhǎng)度歸納到三角形中，或者求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)生在提示下用余弦定理完成長(zhǎng)度的求法.此問(wèn)加入是為了完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，既要掌握弦長(zhǎng)又要初步掌握特殊的半弦長(zhǎng)——焦半徑的求法.也是想把高中里求長(zhǎng)度最重要的公式正余弦聯(lián)系起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

題（3）分析

師：同學(xué)們請(qǐng)回想下直線和圓相交時(shí)候，如何求弦長(zhǎng)？

學(xué)生答：由弦心距，半徑，半弦構(gòu)造直角三角形；

老師提問(wèn)：那么此處能否也像該方法去求呢？

學(xué)生運(yùn)算后回答，不行，因?yàn)橄抑悬c(diǎn)和原點(diǎn)相連的線沒(méi)有和弦垂直.

老師追問(wèn)，k不取根號(hào)3，取有些其他位置，是否存在垂直呢？

彈出問(wèn)題3.巡視.

生：我發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)位置可以，分別是x=1，和y=0

其他學(xué)生： y=0時(shí)候O，P重合，沒(méi)有構(gòu)成線段，所以舍去.

師：非常好，在求解存在性問(wèn)題，要注意驗(yàn)證.那么x=1是否也符合題意？

生：不行，因?yàn)榇藭r(shí)k不存在.而題意要求是k存在.

師：太棒了，我們同學(xué)在解題時(shí)要注意你設(shè)的直線中有k，那就意味該直線不會(huì)和x軸垂直.

師：此題我們判斷了兩個(gè)特殊位置時(shí)候， OP和MN是不垂直的，那是否在其他位置有可能存在垂直？（巡視，適當(dāng)時(shí)候提醒，將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率相乘為-1）

生：他們不可能垂直，因?yàn)樾甭手e為-■，橢圓中a，b不相等，所以斜率之積不是-1.

師：很好，圓中我們理解為-1，是因?yàn)闄E圓變形成長(zhǎng)軸，短軸相等，所以得出-1，看來(lái)呀，圓中的求弦長(zhǎng)的由弦心距，半徑，半弦構(gòu)造直角三角形的求法在橢圓中的求法不可行.

師：能否用平面幾何知識(shí)直接求解呢？

師：若存在k，使得OP⊥MN？P是MN的中點(diǎn)，則OM=ON，則M，N在以原點(diǎn)為圓心的圓上，作出圓和橢圓的圖像，發(fā)現(xiàn)四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成正方形.

【學(xué)情預(yù)設(shè)】先讓學(xué)生思考，有學(xué)生用韋達(dá)，有學(xué)生用了OM=ON，得到圓，但是不可能。只有一種平放著，不行；豎直的，斜率不存在也，不行.總結(jié)：圓中相乘是-1，橢圓中不是-1，所以不垂直，讓學(xué)生用代數(shù)手段解決垂直問(wèn)題.經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，你發(fā)現(xiàn)什么定值問(wèn)題嗎？經(jīng)過(guò)一番追問(wèn)，上課的探究味道就出來(lái)了，學(xué)生的積極性得到很大的提高，此時(shí)老師做的幾何畫板派上用場(chǎng)，通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)定值為-■：一般情況-■，

題（3）引申： 師：請(qǐng)思考，這個(gè)定值問(wèn)題能推廣嗎？即弦任意做，原先的弦是過(guò)定點(diǎn)（0，1），現(xiàn)在不過(guò)（0，1）.則Kmm×Kop=-■嗎？（巡視，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式，字母多）

師：請(qǐng)?jiān)O(shè)直線為斜截式y(tǒng)=kx+b，（學(xué)生做，老師板書，寫完校對(duì)）

【學(xué)情預(yù)設(shè)】任意做弦，然后取弦的中點(diǎn)，則弦和原點(diǎn)連線的斜率于弦的斜率相乘仍舊為定值。老師多媒體展示，得出定值，解完題目后，提醒學(xué)生，請(qǐng)同學(xué)們以后多一些思考，還有更多優(yōu)美的結(jié)論。值得注意的是本課堂沒(méi)有叫學(xué)生上黑板板演，而是學(xué)生在下面做，老師在黑板上寫（或者學(xué)生寫完，老師給出投影校對(duì)），寫完做比較.解答題3時(shí)候有個(gè)步驟是直線和橢圓聯(lián)列方程，然后消掉y，剩余的式子：（■+k2）x2-2k2+k2-1=0，這塊內(nèi)容要一直保留在黑板上.

題（4）分析：

師：接在題3后， 設(shè)MN的中點(diǎn)P，當(dāng)k變化時(shí)候，請(qǐng)求出P點(diǎn)的軌跡方程.（巡視，提示將P的坐標(biāo)都用k表示，然后消k.）

生：老師，我已經(jīng)寫出xp=■，接下來(lái)呢？

師：P點(diǎn)在直線MN上，所以yp=■，接下來(lái)請(qǐng)把k消除掉，得出xp，yp的等式.

生：k=■，代入yp=k（xp-1），得軌跡方程：2x2-2x-y2=0

【學(xué)情預(yù)設(shè)】軌跡方程的求法是學(xué)生的薄弱，此處除了上述解法外，還有種方法是設(shè)而不求法.或者利用題3的結(jié)論Kmm×Kop=-■，將Kmm=-■，代入kop=■.解答完后進(jìn)行幾何畫板演示發(fā)現(xiàn)是一個(gè)橢圓內(nèi)部的新橢圓.

最后總結(jié)：通性通法是聯(lián)立方程，判別位置時(shí)候△，中點(diǎn)，弦長(zhǎng)用到韋達(dá)定理。課后成績(jī)好的補(bǔ)充兩道題：

（5） 若k=■，求△FMN的面積.

（6）在x軸上是否存在點(diǎn)T，使得∠MTA=∠NTA始終成立.

因此一堂課是否成功激發(fā)了學(xué)生的求知欲，關(guān)鍵在于老師的追問(wèn)，而追問(wèn)的前提是巧妙設(shè)計(jì)，追問(wèn)到底，一氣呵成！讓學(xué)生享受一堂課！endprint