高職定積分應用的教學研究舉例

田宇 鮑婕

高職定積分應用的教學研究舉例

田宇 鮑婕

定積分是高職數(shù)學教學中非常重要的一部分教學內(nèi)容，定積分應用的問題是對現(xiàn)代社會經(jīng)濟現(xiàn)象定性及定量分析的一個重要內(nèi)容。這就要求學生不僅要學會定積分的基本計算，還要會用定積分處理相關的實際問題。本文以定積分教學為背景，給出定積分在社會生活中的一些實例，從實際應用的角度來說明定積分的應用和使用。

高職；微元法；定積分應用

一、 微元法的實質

微元法簡單地說，就是先把研究對象分為無限多個有限小的微元，這些小的微元具有一些一般的性質，再從局部到全體綜合起來加以考慮，即定積分實際上就是無窮多個微元累加求和，“微元求和”的思想，就是定積分的實質。微元法把定積分的四個步驟簡化為“化整為零，積零為整”兩個步驟，有了微元法，用定積分在解決實際問題的時候就容易很多，凡是不規(guī)則的變化過程，想要求總變化量，都可以按微元法的思想來求解。無論是在科學研究還是生活中，不規(guī)則的變化無處不在，要準確求出其變化總量，定積分都是最合適的科學計算工具?？梢哉f微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟等問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。

二、 利用定積分求資本現(xiàn)值

在企業(yè)經(jīng)營中，經(jīng)常需要將不同時間的資金轉換為相同時期的資金進行比較，這時就要用到資本現(xiàn)值的概念。比如，對企業(yè)現(xiàn)有的固定資產(chǎn)應該投資還是應該融資租賃做出經(jīng)濟決策，這兩種方案因為沒有在相同的時間，所以無法直接比較，這時要用到的概念就是資本現(xiàn)值，利用的計算工具就是定積分。

例1某航空公司為了發(fā)展新航線的航運業(yè)務，需要增加5架波音747客機。如果購進一架客機需要一次支付5000萬美金，客機的使用壽命為15年。如果租用一架客機，每年需要支付600萬美元的租金，租金以均勻貨幣流的方式支付。若銀行的年利率為12%，請問購買客機與租用客機哪種方案最佳？

當r=12%，A=600，T=15時，

因為租金總額的現(xiàn)值小于5000萬美金，所以租客機更合適。

三、 利用定積分求產(chǎn)量、利潤=(1-e-0.12×15)問題

在市場經(jīng)濟，企業(yè)為獲得最大經(jīng)濟利潤，時常需要根據(jù)經(jīng)濟環(huán)境，決策類似如何計劃生產(chǎn)、使用什么樣的銷售方式才能夠獲得最大利潤的問題，在這些問題的解決過程中，有很多量都是變化的，那么在計算求解時也需利用定積分的思想方法。

例2企業(yè)產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為R′(Q)=60-8Q，總成本函數(shù)為C(Q)=2+Q2，若企業(yè)實行產(chǎn)品直銷，則利潤最大時的總銷售量是多少？最大利潤是多少？

解：因為C(Q)=2+Q2，所以C′(Q)=2Q。

從上面的例題中可以顯然地看出來，企業(yè)實行差別價格后所獲利潤高于原利潤。所以，在經(jīng)濟生產(chǎn)中，企業(yè)要想增加利潤，在方法和手段上可以有多種方式。

由上可以看出，在積分的經(jīng)濟應用中，不論是什么樣的經(jīng)濟問題，只要由邊際函數(shù)求總函數(shù)(即原函數(shù))，既可以用不定積分的方法，也可以用定積分的方法。如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則應用定積分更方便簡潔。

四、 利用定積分求交流電的電功率

在電工學中，交流電通過純電阻R時，電流強度i=i(t)不是常數(shù)，要想求其在時間t內(nèi)消耗在電阻R上的電功W，不可以使用公式W=I2Rt。此時可以使用微元法的思想，利用定積分進行求解。

例4設交流電i(t)=Imsinωt，其中Im是電流的峰值，ω為角頻率，周期為T=2π，計算i(t)通過阻值為R的純電阻電路時的平均功率。

在社會的不斷進步中，數(shù)學與社會的關系也越來越密切，我們結合實例說明了定積分在經(jīng)濟、物理等各學科的應用。在實際教學中，我們可以將生活實例與理論教學相結合，引導學生掌握新的思維方式與方法，讓學生可以將微元法的理論應用到實際生活當中，解決具體的問題。

[1]王梅.淺談定積分的應用[J].重慶科技學院學報(自然科學版)，2007(2).

[2]吳贛昌.微積分(經(jīng)管類)簡明版[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]皇甫榮.淺談如何計算資金流量的現(xiàn)值[J].青海師專學報，2002，(5)：68-69.

田宇，鮑婕，黑龍江省哈爾濱市，黑龍江職業(yè)學院通識教育。