基于理解的動態(tài)立體幾何問題的求解

浙江省春暉中學(xué) 林國夫 (郵編:312353)

基于理解的動態(tài)立體幾何問題的求解

浙江省春暉中學(xué) 林國夫 (郵編:312353)

理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),脫離了理解,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就失去了靈魂,甚至?xí)萦谛问交慕虠l,學(xué)習(xí)的意義也就蕩然無存．因此在學(xué)習(xí)和教學(xué)中我們都應(yīng)該基于理解,有意義地學(xué)習(xí)和思考,以便有效促進(jìn)自身思維能力的提升．本文結(jié)合筆者自身的教學(xué)實踐,通過理解性的分析來深度剖析若干動態(tài)幾何的綜合性問題,以展示理解在問題求解中的重要性,同時也從側(cè)面來揭示這些問題的本源,啟發(fā)讀者了解和掌握解決動態(tài)立體幾何中常見處理技巧和策略．

1 理解助力問題的正確求解

翻折問題作為動態(tài)立體幾何問題最典型的類型,能將立體幾何中的核心知識和方法融入其中,有效甄別個體的立體幾何的數(shù)學(xué)素養(yǎng),因此歷來都受到命題者的青睞．對于翻折問題,筆者以為不管問題的呈現(xiàn)形式如何,在求解問題時我們都需要正確理解翻折前后間的某些不變性,借助這些不變性就可以很好地作圖和分析,深入理解問題,并順利尋求解決問題的途徑．那么翻折問題我們?nèi)绾稳フ_理解其不變性呢?

圖1

空間翻折問題本質(zhì)是一個局部的旋轉(zhuǎn)問題,其旋轉(zhuǎn)軸即為翻折的折線,因此它具備旋轉(zhuǎn)的特點．如圖1(1),在△ABC中,點D是線段BC上異于端點的點,將△ABD沿著AD翻折至平面AB′D,當(dāng)平面ABD重合于平面ADC時,設(shè)此時點B的位置為B′,如圖1(2)．要把握翻折問題,我們關(guān)鍵在于把握翻折中的不變量．那么在翻折中哪些量是不變的呢?顯而易見的是,對于翻折的兩個半平面ABD,ADC中的點、線、角等幾何元素,它們的位置關(guān)系和度量值都是不變的,下面我們分析內(nèi)隱性不變量．

我們過點B作AD的垂線,垂足為H,延長交AC于點E．顯然在翻折過程中,BH⊥AD,EH⊥AD,故AD⊥平面BB′E,即平面BB′E⊥平面ADC．從而在翻折過程中,點B′在平面ADC內(nèi)的射影始終在直線BHEB′上．此外由于在翻折過程中,BH＝B′H,故點B′在以H為圓心,半徑為BH 的圓上,且圓所在平面BB′B′E與翻折線AD垂直．

從上述分析我們可以得到把握翻折過程的以下關(guān)鍵不變量:在翻折前的平面圖形中過翻折線(圖1中的直線AD)的垂線l(圖1中的直線BHE),在翻折過程中,垂線l被折成的平面(圖2中的平面BB′E)垂直翻折線;翻折前的任意一點P(比如點B)與翻折后對應(yīng)點P′(比如點B′)的連線PP′垂直翻折線,且P′在空間的軌跡為圓．筆者認(rèn)為,理解這些關(guān)鍵不變量對于我們把握空間翻折中的線、面位置關(guān)系非常重要．

圖2

例1(2017年杭州市二模)如圖2,在等腰直角△ABC中,AB⊥AC,BC＝2,M為BC中點,N為AC中點,D為BC邊上一個動點,△ABD沿AD翻

折至平面AB′D,使B′D⊥DC,點A 在面B′CD上的投影為點O,當(dāng)點D在BC上運動時,以下說法錯誤的是( )

A．線段NO為定長

B．|CO|∈ [1,2)

C．∠AMO＋∠ADB′＞180°

D．點O的軌跡是圓弧

圖3

解析如圖3,過點B作AD的垂線,垂足為E,則對于給定的點D,△ABD沿AD翻折至平面AB′D的過程中,點B在以點E為圓心、半徑為BE的圓上運動,且點B′在平面ACD內(nèi)的射影在直線BE上．

圖4

如圖4,設(shè)點B′在平面ACD內(nèi)的射影為點H,過點D作BC的垂線PQ,則點H在BE上．由于B′D⊥DC,從而DH ⊥DC,由此可知點H為BE與PQ的交點．顯然由B′D⊥DC,DH⊥DC得DC⊥平面B′DH,故平面B′DH⊥平面B′DC．

圖5

為了尋找點A在面B′CD上的投影點O,我們首先需要尋找過點A的平面B′CD的垂面,考慮到平面B′DH⊥ 平面B′DC,我們只需求作過點A且與平面B′DH平行的面即可．如圖5,由于AM ⊥DC,DH⊥DC,則DH//AM,再過點M作B′D的平行線交B′C于點K,從而平面AKM//平面B′DH,則點O在KM上,即只需過點A作KM的垂線,垂足即為點O．

有了上述的作圖分析,下面我們可以比較方便地分析選項了．

對于選項A:由于AO⊥平面B′DC,則AO⊥OC,則在Rt△AOC中,由N為AC中點可知,從而選項A正確．

對于選項B:由于點O始終在平面AMK上,且CD⊥平面AMK,從而故OC的長|CO|最短為點C到平面AMK的距離CM＝1,最長不超過CA＝ 2,從而|CO|∈[1,2)．

對于選項D:由于在點D運動時,點O始終在固定的平面AMK上,又由于從而點O又在以點N為球心,半徑為的球面Γ上運動．因此點O的軌跡是球面Γ與平面AMK相交而成的圓,故點O的軌跡是圓．

對于選項C:由于AM//DH,MO//B′D,從而∠AMO＝∠B′DH．根據(jù)線面角的最小性可知:B′D 與 平 面ACD 所 成 角 ∠B′DH ≤∠B′DE,從而180°－ ∠B′DH ≥180°－∠B′DE, 即 ∠B′DQ ≥ ∠ADB′ (又∠B′DQ＝180°－∠B′DH＝180°－∠AMO),從而180°－∠AMO≥∠ADB′,從而可得∠AMO＋∠ADB′≤180°,選項C錯誤．

圖6

在上述問題分析的過程中,我們牢牢抓住了翻折前后的不變性,從而理解了在翻折后各個空間元素的具體位置,因此也就比較準(zhǔn)確有效地理解問題,解決問題也就水到渠成了．當(dāng)然在分析過程中我們也使用了下列簡單的事實:線面角的最小性．

如圖6,已知直線AP是平面α的一條斜線,斜足為點A．

點P在平面α內(nèi)的射影為點O,直線l是平面α內(nèi)過點A的任意直線．

過點O作直線l的垂線,垂足為B．顯然∠PAO是直線AP與平面α所成的角．設(shè)∠PAO＝θ1,∠OAB＝θ2,∠PAB＝θ,易得,從而cosθ＝cosθ1·cosθ2,故cosθ＝cosθ1·cosθ2≤cosθ1,考慮到且f(x)＝cosx在 [0,上單調(diào)遞減,從而θ≥θ1,當(dāng)且僅當(dāng)θ2＝0時取等號．

由此,我們得到下述兩個結(jié)果:

①cosθ＝cosθ1·cosθ2;②平面的斜線與其在平面內(nèi)的射影所成角(即直線與平面所成角)是該斜線與平面內(nèi)任意直線所成角中最小者．

上述兩個結(jié)果對于我們理解有關(guān)線面角和異面直線所成角的最值問題非常有用．

圖7

例2(2017年金華十校4月?？?如圖7,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,點M,N分別是直線CD、AB上的動點,點P是△A1C1D內(nèi)的動點(不包括邊界),記直線D1P與MN所成角為θ,若θ的最小值為,試分析點P的軌跡．

解析根據(jù)直線與平面所成角的最小性可知:當(dāng)直線MN是直線D1P在平面ABCD內(nèi)的射影時,直線D1P與MN所成角θ最小,因此我們可知直線D1P與平面ABCD所成角為故直線D1P與直線D1D所成角為．因此點P在以D1D為軸、軸截面的頂角為的圓錐面上運動,又點P在△A1C1D內(nèi),且平面A1C1D與軸線D1D所成角為α且,因此點P的軌跡為橢圓的一部分．

2 理解助力問題求解的優(yōu)化

對于定量化的動態(tài)立體幾何問題,構(gòu)建函數(shù)模型是解決問題非常重要的途徑．函數(shù)模型的建構(gòu)則需要基于一定的問題理解力,問題理解深淺程度則嚴(yán)重影響函數(shù)模型的優(yōu)劣．

例3(2017年臺州高三期末)如圖8,在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝6,四邊形AEFG為邊長為2的正方形．現(xiàn)將矩形ABCD沿過點F的動直線MN翻折,使翻折后的點C在平面AEFG上的射影C1落在直線AB上．若點C在折痕l上的射影為C2,求的最小值．

圖8

解析按照我們對翻折問題的理解,我們作如下分析:如圖9,設(shè)平面MCDN翻折后至平面MC′D′N．過點C作直線MN的垂線,垂足為C2,則在翻折過程中,點C在平面AEFG的射影在直線CC2上,從延長CC2交AB,此交點即為點C1．由此即為二面角C′－MN－A的平面角的余弦值．這樣我們就將問題轉(zhuǎn)化為如圖8中的平面中的問題．考慮到該動態(tài)問題由直線MN的位置唯一確定,因此我們可以考慮建立直角坐標(biāo)系,通過斜率來刻畫MN的位置．

圖9

建立以點A為坐標(biāo)原點的直角坐標(biāo)系,則C(4,6),從而PQ:y＝k(x－2)＋2(k＜0),則－kx＋y＋2k－2＝0,故由,可得點C1(6k＋4,0),則,從而故要使得取最小,則－k＋2＝ 5,故的最小值為3(2

根據(jù)不同的理解,我們還可以構(gòu)建其他函數(shù)的模型．考慮到翻折前后與翻折線MN垂線的直線CC2C1特點:CC1⊥MN,則點C2在以CF為直徑的圓上,因此本動態(tài)問題也可以由點C2的位置來確定．故要確定點C2的位置,我們可以設(shè)∠C2CF＝θ,為簡便記∠FCB＝α,則．從而CC2＝FCcosθ＝25cosθ,CC1＝

顯然不同的理解方式和理解深度對于函數(shù)模型的建構(gòu)影響深遠(yuǎn)．

3 理解助力深入問題本源

立體幾何的空間軌跡是近年來?？汲Ｐ碌臒狳c．分析空間的軌跡常常會結(jié)合所求軌跡的特點,將我們熟悉的圓(特別是平面內(nèi)到兩定點的距離的比為非1的常數(shù)的動點軌跡為圓,此即阿波羅尼斯圓)和圓錐曲線的定義遷移至空間來直觀求解．但是對于一些隱性的軌跡,我們還是需要在理解的基礎(chǔ)上作圖和分析．

圖10

例4(2017年臺州4月模考)如圖10,在棱長為2的正四面體A－BCD中,E、F分別為直線AB、CD上的動點,且 EF ＝．若記EF中點P的軌跡為L,求 L ．(注:L 表示L的測度,在本題L為曲線、平面圖形、空間幾何體時,L 分別對應(yīng)長度、面積、體積．)

圖11

解析從直觀看,點P的軌跡應(yīng)該在平行于AB、CD的“中位面”內(nèi)．取線段AB、CD的中點M、N,則MN是異面直線AB、CD的公垂線．如圖11,分別過AB、CD分別作垂直于公垂線MN的平面α、β,過MN的中點O作垂直于MN的垂面γ．在平面γ內(nèi)分別過點O作平行于AB、CD的平行線a、b,設(shè)點E、F在平面γ內(nèi)的射影分別為E′、F′．顯然線段EF的中點P也為E′F′的中點,且點P在平面γ內(nèi)．

在平面γ內(nèi),由于|E′F′|＝1,OE′⊥OF′,從而我們可知線段E′F′的中點P是以O(shè)為圓心,半徑為的圓,從而點P的軌跡的長度為π．

至此我們已解決問題,但是在分析中我們發(fā)現(xiàn)AB、CD具有垂直關(guān)系,顯然按照上述的理解,我們自然可以將問題轉(zhuǎn)化為一般的情形,從而實現(xiàn)問題的一般化,

也即下面的問題:

圖12

例5如圖12,已知MN為異面直線a、b的公垂線,且a、b之間的夾角為2θ,|MN|＝m．點E、F分別為a、b上的動點,且|EF|＝n．當(dāng)點E,F運動時,求線段EF的中點P空間軌跡．

解析如圖12,分別過點M、N及線段MN的中點O分別作垂直MN的平面α、β、γ,點E、F在平面γ的射影為E′、F′．則點P均是EF、E′F′的中點,且在平面γ內(nèi),并且|E′F′|＝,并設(shè)L＝

圖13

在平面γ內(nèi)過點O作直線a、b的平行線a′、b′,則a′、b′所成角為2θ．由此問題轉(zhuǎn)化為平面γ內(nèi)求點P的軌跡．如圖13,在平面γ內(nèi),以O(shè)為坐標(biāo)原點,以a′、b′所成角的角平分線作為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系．

兩條直線l1、l2把平面分成I、II、III、V 四個區(qū)域．由對稱性,先設(shè)點當(dāng)點P在區(qū)域I、III時．設(shè)|OA|＝s,|OB|＝t,則由余弦定理得s2＋t2－2stcos2θ＝L2．

設(shè)點A(x1,x1tanθ),B(x2,－x2tanθ),則s

設(shè)點P(xP,yP),則

顯然當(dāng)l1⊥l2時,線段AB的中點P的軌跡方程為為圓的方程;當(dāng)l1、l2不垂直時,線段AB的中點P的軌跡為橢圓．

圖14

最后,我們利用上面的結(jié)果可快速解決問題:

例6已知正方體ABCD－A1B1C1D1的邊長為2,點E、F分別在直線AB1、BC1上運動,且點P是線段EF的中點．若在空間中存在兩點S、T,使得|PS|＋|PT|為定值,求該定值|PS|＋|PT|．

解析由于BC1//平面AB1D1,則異面直線AB1、BC1的公垂線段MN的長度|MN|即為點B到平面AB1D1的距離,也即為點A1到平面AB1D1的距離,故且AB,1BC1所成角為

結(jié)合圖12,設(shè)點P的軌跡所在平面為平面γ,點E、F在平面γ內(nèi)的射影分別為E′、F′．則|E′F′|＝ |EF|2－|MN|2＝2．由于異面直線AB1、BC1所成角為60°,則在平面γ內(nèi)點P的軌跡方程為,即,從而根據(jù)橢圓的定義可知|PS|＋|PT|＝23．

盡管動態(tài)立體幾何的問題千變?nèi)f化,有在變化過程中分析空間元素的位置關(guān)系,有在變化中求解某個量的最值或范圍,有在變換中分析某個點的軌跡等等．但是只要我們用心去理解問題,探尋解決問題的方法,反思和摸索問題解決的一般性策略,那么我們自然就提高了解決問題的效率,數(shù)學(xué)思維也會長足進(jìn)步,才能在問題解決過程中享受數(shù)學(xué)無窮的樂趣．

1 林國夫．探析空間翻折問題的求解策略[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州)．2016年(11):42-45

2017-07-26)

本文系紹興市規(guī)劃課題《基于學(xué)生思維發(fā)展的高中數(shù)學(xué)選修課程的開發(fā)與實踐》(立項序號SJG17270)階段性成果．