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    商榷2017年高考題中表述欠嚴謹?shù)膸椎李}

    2017-10-16 05:18:35北京豐臺二中甘志國郵編100071
    中學數(shù)學教學 2017年5期
    關鍵詞:人民教育出版社充分條件高考題

    北京豐臺二中 甘志國 (郵編:100071)

    商榷2017年高考題中表述欠嚴謹?shù)膸椎李}

    北京豐臺二中 甘志國 (郵編:100071)

    一年一度的高考是考生、老師、家長、學校乃至全社會關注的重點話題.2017年的高考已塵埃落定,作為一名高中數(shù)學老師,也抓緊時間認真鉆研了本年度的高考數(shù)學真題(文理共計15套,其中上海、浙江文理同卷,江蘇文理除附加題外同卷),發(fā)現(xiàn)了它們有試題常規(guī)、情景新穎、杜絕偏怪、難度在較大幅度的降低、文理相同題或姊妹題在增多等特點,這也與新課改的精神、教育乃培養(yǎng)人的活動、數(shù)學本來應當是人人能夠喜愛的美的科學合拍.

    但筆者發(fā)現(xiàn)有少量高考題在表述上欠嚴謹:雖然原題不會太影響考生正確答題,但作為高考題的權威性及引用的廣泛性,還是要注意表述上的嚴謹.

    筆者出版的著作[1]及發(fā)表的文獻[2]、[3]分別對2016、2015、2014年的高考題在表述上欠嚴謹之處也作了商榷.

    題1(2017年高考浙江卷第20題)已知函數(shù)

    (1)求fx()的導函數(shù);

    題2(2017年高考江蘇卷第20題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,且導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)

    (1)求b關于a的函數(shù)關系式,并寫出定義域;

    (2)證明:b2>3a;

    (3)若f(x)、f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍.

    商榷普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-2·A版》(人民教育出版社,2007年第2版)第9頁寫到:“當x變化時,f′x()便是x的一個函數(shù),我們稱它為fx()的導函數(shù)(derivativefunction)(簡稱導數(shù))”.既然教科書中已寫到“導函數(shù)簡稱導數(shù)”,數(shù)學表述應以簡潔為標準,所以建議把題1中的“(1)求fx()的導函數(shù)”改 為 “(1)求fx()的 導 數(shù)”或 “(1)求f′x()”;建議把題2中的“導函數(shù)f′(x)”改為“導數(shù)f′(x)”或“f′(x)”.

    題3(1)(2017年高考天津卷文科第2題)設x∈R,則“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )

    A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

    (2)(2017年高考天津卷理科第4題)設θ∈R,則是的( )

    A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

    C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

    (3)(2017年高考浙江卷第6題)已知等差數(shù)列 an{}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )

    A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

    (4)(2017年高考北京卷理科第6題即文科第7題)設m、n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )

    A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

    C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

    商榷普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-1·A版》(人民教育出版社,2007年第2版)(下簡稱《選修2-1》)第11頁寫到:“……此時,我們說,p是q的充分必要條件,簡稱充要條件(sufficientandnecessarycondition)”.既然教科書中已寫到“充分必要條件簡稱充要條件”,數(shù)學表述應以簡潔為標準,所以建議把本題第(3),(4)小題選項C中的“充分必要條件”均改為“充要條件”.建議把《選修2-1》第30頁第2(3)題末的“充分必要條件”也改為“充要條件”.

    與《選修2-1》配套使用的《教師教學用書》(人民教育出版社,2007年第2版)第11頁給出的《選修2-1》第12頁第3題的答案是“(1)充分條件,或充分不必要條件;(2)充要條件;(3)既不是充分條件,也不是必要條件;(4)充分條件,或充分不必要條件.”所以建議把本題第(1)、(2)題選項A、B中的“而”字均去掉.

    題4(2017年高考山東卷理科第18題)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1、A2、A3、A4、A5、A6和4名女志愿者B1、B2、B3、B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.

    (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的頻率.

    (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望EX.

    商榷建議把題4末的“EX”改為“E(X)”,這樣才與現(xiàn)行教材一致.

    題5(2017年高考全國卷II理科第13題)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=____________.

    解1.96.可得X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×0.98=1.96.

    商榷建議把題5中的“DX”改為“D(X)”,這樣才與現(xiàn)行教材一致.

    題6(2017年高考上海卷第15題)已知a、b、c為實常數(shù),數(shù)列 xn{}的通項xn=an2+bn+c,n∈N?,則“存在k∈N?,使得x100+k、x200+k、x300+k成 等 差 數(shù) 列 ”的 一 個 必 要 條 件 是( )

    A.a(chǎn)≥0 B.b≤0

    C.c=0 D.a(chǎn)-2b+c=0

    商榷建議把題6中的“通項”改為“通項公式”,這樣才與現(xiàn)行教材一致.

    普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學5·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第3版)第29頁寫到“如果數(shù)列 an{}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.”

    在現(xiàn)行教材中沒有把“通項公式”簡稱為“通項”的說法.在普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-3·A版》(人民教育出版社,2009年第3版)第30頁寫到:“我們看到(a+b)n的二項展開式……,式中的叫做二項展開式的通項.”這應當是現(xiàn)行教材中出現(xiàn)的 “通項”的意義.

    題72017年高考全國卷I文科第17題)記Sn為等比數(shù)列 an{}的前n項和.已知S2=2,S3=-6.

    (1)求 an{}的通項公式;

    (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.

    商榷題末的句號應改為問號.

    題8(2017年高考全國卷I理科第19題)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布Nμ,σ2( ).

    (1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在 μ-3σ,μ+3σ(

    )之外的零件數(shù),求PX≥1( )及X的數(shù)學期望;

    (

    2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在μ-3σ,μ+3σ()之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

    (i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

    (ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:

    附若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ ,σ2),則P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.

    0.997416≈ 0.9592,0.008 ≈ 0.09.

    商榷普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版,2015年第2次印刷)第73頁給出的數(shù)據(jù)是

    而該書“2016年第3次印刷”時給出的數(shù)據(jù)是

    這次高考題中給出的數(shù)據(jù)又是“Pμ-3σ≤X≤μ+3σ

    ()=0.9974”,建議給出權威、統(tǒng)一的數(shù)據(jù).

    題9(2017高考北京卷文科第15題)已知等差數(shù)列 an{}和等比數(shù)列 bn{}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

    (1)求 an{}的通項公式;

    (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.

    解(1)(過程略)an=2n-1.

    (2)設等比數(shù)列 bn{}的公比為q,由題設可得,

    ①當q2=3時,b2n-1=b1(q2)n-1=3n-1,所以

    ② 當q2=-3 時,b2n-1=b1(q2)n-1=(-3)n-1,所以

    評注該解法(在復數(shù)范圍內(nèi)求解)顯然不是出題者的初衷,但是目前的文科、理科高三學生都學習了復數(shù),所以以上解法并無不妥.

    題10(2017高考北京卷理科第10題)若等差數(shù)列 an{}和等比數(shù)列 bn{}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則

    解答題2時也會遇到這樣題1的情形.所以建議把題1及題2中的“等比數(shù)列”都改成“各項都是實數(shù)的等比數(shù)列”.

    早在2014年筆者出版的著作[4]第292-293頁就闡述了“對于數(shù)列問題應強調(diào)在實數(shù)范圍內(nèi)求解”的觀點.

    題11(2017年高考上海卷第6題)設雙曲線的焦點為F1、F2,P為該雙曲線上的一點.若|PF1|=5,則|PF2|=______.

    商榷建議把題中的“焦點為”改為“左、右焦點分別為”.還建議把題中的“b>0”改為“b≥”,因為文獻[5]中證得了如下結論:

    定理雙曲線左支上任一點P到左焦點F的距離PF 的取值范圍是[c-a,+∞),右支上任一點Q到左焦點F的距離 QF 的取值范圍是[c+a,+∞).

    證明設P(x,y)(x≤-a),得

    由x≤-a,可得 PF 的取值范圍是[ca,+∞).

    同理可證,QF 的取值范圍是[c+a,+∞).

    由定理可得,在題3中應有|PF1|=5≥,還可證明當b∈(0,時,均滿足題意.

    題12(2017年高考北京卷文科、理科第8題)根據(jù)有關資料,圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是( )(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)

    A.1033B.1053C.1073D.1093

    商榷對于題11,北京教育考試院起初公布的答案是D.但筆者認為正確答案是C(高考改卷時,選C或選D都給分),詳見本書的文章《商榷幾道高考題》中對“高考題9”的論述.

    1 甘志國.2016年高考理科數(shù)學真題研究[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2017.598-601

    2 甘志國.商榷2015年高考題中表述欠嚴謹?shù)?0道題[J].中學數(shù)學教學,2015(5):55-59

    3 甘志國.商榷2014年高考題中表述欠嚴謹?shù)牧李}[J].數(shù)學教學研究,2014(12):24-25

    4 甘志國.高考數(shù)學真題解密[M].北京:清華大學出版社,2015

    5 甘志國.對《選修2-1》中一道習題的研究.數(shù)理化學習(高一二版),2014(1):20

    2017-07-19)

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