基于變分理論的局部自適應高保真圖像去噪算法

錢 偉，劉 謙，陳蘭英

(中國民用航空飛行學院 飛機修理廠，四川 廣漢 618307)

基于變分理論的局部自適應高保真圖像去噪算法

錢 偉，劉 謙，陳蘭英

(中國民用航空飛行學院 飛機修理廠，四川 廣漢 618307)

針對現(xiàn)有的圖像去噪模型不能很好保留圖像邊緣及紋理的缺點，在變分理論的基礎上提出了改進的局部自適應圖像去噪算法，該算法基于圖像局部特性計算保真參數(shù)，利用小波變換進行噪聲方差估計，采用小的自適應窗確定保真參數(shù)，并利用該高保真去噪算法對疊加高斯噪聲的圖像進行了降噪處理，結果顯示比全局變分采用最速下降自動選擇保真參數(shù)的去噪效果要好，峰值信噪比(PSNR)在不同高斯噪聲背景下都有0.2-0.5dB的提升。

圖像去噪；變分理論；小波變換；局部自適應

0 引言

去噪是圖像還原中的必要過程，但圖像在降噪的過程中，其邊緣、細節(jié)、紋理和輪廓等重要信息不可避免會受到平滑，因而不同程度地導致圖像模糊。普通的線性方法和非線性方法不能解決去噪與保留圖像細節(jié)和紋理之間的矛盾，而基于偏微分方程的變分模型因為良好的性能，為解決這對矛盾提供了可能[1-2]。目前基于偏微分方程理論的去噪方法已被成功地應用于圖像處理中，一類經典的去噪模型就是總變分模型，該方法能夠保留圖像邊緣，因此受到廣大學者青睞，普通的傳統(tǒng)全變分TV去噪方法雖然能夠很好地去除噪聲，但對圖像中一些重要的信息，如細節(jié)和紋理信息不能很好地保留，特別是在處理紋理豐富或較豐富的圖像時，易丟失重要信息[3]。對此，Guy Gilboa等人提出了一種基于總變分的高效保留圖像紋理和細節(jié)的方法[4]，根據(jù)殘差得到其局部能量，并認為這是噪聲方差的近似，然而圖像中邊緣和細節(jié)總是具有突變性，因此這種保真方法在去噪的同時勢必造成圖像的模糊，影響圖像的質量。本文提出了一種改進的能保留圖像細節(jié)和紋理的高保真去噪算法，通過基于圖像局部特性計算保真參數(shù)，采用小的自適應窗，在小的自適應窗下確定保真參數(shù)，從而實現(xiàn)局部圖像信息的自適應保真參數(shù)選擇，使圖像在降噪的同時，保留圖像的細節(jié)和紋理。不僅能改善去噪后圖像的視覺效果，而且有利于對圖像的后續(xù)處理。

1 基于變分法的去噪模型

變分法的基本思想是將去噪問題歸結為一個泛函最小化問題，然后求出相應的偏微分方程，再數(shù)值求解。在基于偏微分方程的模型中，Rudin、Osher和Fatemi[5]在1992年提出的變分極小化模型，TV是經典的去噪模型之一，該算法是在圖像的能量泛函中找平衡態(tài)，即求最小化能量ETV：

(1)

式中，f表示去噪后的圖像，Ω表示圖像區(qū)域；f0為帶噪的觀測圖像；f=(fx,fy)T，表示在坐標(x,y)處的梯度，|f|表示梯度的模，λ為大于0的正則化參數(shù)。 等式中的第一項為保真項又稱為逼近項，控制著圖像f和觀測圖像f0間的差異；等式右端第二項稱為正則項，為圖像f的總變分TV范數(shù)，它依賴于圖像的邊緣，正則項在TV模型中起到很重要的作用，它使得圖像中可以有不連續(xù)的部分，但不允許振蕩存在，λ在正則項和保真項中起平衡作用。因此基于總變分模型的方法能夠有效地去除噪聲并保留圖像細節(jié)和紋理。

利用變分理論，最小化ETV問題轉化為求解帶有Neumann邊界條件的Euler-Lagrang方程：

(2)

式中，?Ω為圖像的邊界，n為邊界?Ω處的單位外法向量，div(·)表示散度，其它符號的意義同上。函數(shù)φ(|f|)的選擇對圖像處理的影響很大，要求函數(shù)φ(t)在圖像連續(xù)區(qū)域，即|f|較少的區(qū)域，應該有大的平滑；在棱邊附近，|f|很大。為了保存棱邊，要求平滑系數(shù)在梯度方向η方向上減少到0，比梯度正交的方向ξ方向上減少要快。即要求φ(t)滿足：

(3)

(4)

2 高保真參數(shù)估計

2.1 噪聲估計

本文選用高斯白噪聲模型來逼近實際中的噪聲模型，根據(jù)Euler-Lagrang方程求解λ，此時參數(shù)λ可以表示為：

(5)

式中，σ2表示噪聲方差，|Ω|表示圖像的面積。即參數(shù)λ的選擇和噪聲方差σ2有關，但實際中圖像的噪聲方差往往是未知的，因此要實現(xiàn)自動保真參數(shù)選擇，必須有一種魯棒的自適應強的噪聲方差估計方法，否則不能保證參數(shù)λ的合理選擇。目前學者們針對噪聲方差的估計提出了諸多方法[6-8]，這些方法一般可分為兩類，一類是基于概率統(tǒng)計的方法，這類方法具有一定的適用性，但對細節(jié)和紋理較豐富的圖像來說，方法誤差大，因此不具有普適性；另一類是基于小波理論的噪聲估計方法，該方法根據(jù)圖像的噪聲主要存在于高頻部分這一特點，對高頻部分HH的小波系數(shù)yi取模，并取其中位數(shù)做為圖像噪聲方差的估計。本文選用基于小波理論的噪聲估計方法，并改進計算公式估計方差：

(6)

因高頻部分HH的個數(shù)為偶數(shù)，所以其中值取中間兩個數(shù)的平均值。median(·)是一個求平均值的函數(shù)，abs(·)是一個取絕對值的函數(shù)。

2.2 自適應高保真的參數(shù)選擇機理

變分法處理后的圖像與原圖相比都存在不同程度的模糊，圖像清晰度降低，其原因在于保真項中的參數(shù)是基于全局的。要使圖像在降噪的同時，保留圖像的細節(jié)和紋理，就要求對圖像細節(jié)和邊緣部分有小的平滑，這就要求其保真項中的保真參數(shù)必須基于圖像局部特性。為了實現(xiàn)局部圖像信息的自適應保真參數(shù)選擇，一個簡單的基本想法是采用小的自適應窗，在這個小的自適應窗下根據(jù)式(5)確定保真參數(shù)。

設選擇的自適應窗口大小為Ω1，窗口的中心位置在(x,y)處，則式(5)可以表述為：

(7)

其中，f-f0得到的圖像的殘差Ir，而圖像的殘差主要由圖像的紋理、細節(jié)、邊緣、噪聲構成。為了降低噪聲對保真系數(shù)的影響，可以將普通窗換成高斯窗，因為高斯函數(shù)有好的光滑性，從而可以減少噪聲對參數(shù)的影響。設窗口的大小為Ω，即整個圖像，Ω1以外的區(qū)域值為0。

設wx,y(x1,y1)=w(|x-x1|,|y-y1|)是一個以(x,y)為中心的標準的高斯分布函數(shù)。則式(7)可以表示為：

(8)

設殘差

Ir=f-f0,

(9)

定義殘差的局部能量P，

(10)

則式(8)可以寫為

(11)

3 算法實現(xiàn)及驗證

3.1 自適應高保真去噪算法

輸入?yún)?shù)：噪聲圖像

輸出圖像：去噪圖像

步驟1：估計噪聲方差：對含噪圖像進行小波分解，估計其噪聲標準差，本文采用Harr小波；

步驟2：求解殘差的局部能量

1)初始化λ=0、f=f0、步長dt、迭代次數(shù)iter、容差tol，本文取dt=0.2，iter=10，tol= 0.01;

2)對含噪圖像利用最速下降法求解最優(yōu)的原始圖像的估計：

while(mean(mean(‖f-f0‖))≤tol)；

利用最速下降法實現(xiàn)圖像降噪；

調用降噪后圖像完成保真參數(shù)的自動選擇；

End while.

3)計算殘差Ir；

4)計算殘差的局部能量P。

步驟3：實現(xiàn)高保真的自適應去噪

1)初始化矩陣λ為0矩陣、f=f0、步長dt、迭代次數(shù)iter、容差tol，本文取dt=0.2，iter=10，tol= 0.001;

2)利用最速下降法求解最優(yōu)的原始圖像的估計：

while(mean(mean(‖f-f0‖))≤tol);

利用最速下降法實現(xiàn)圖像降噪;

利用式(8)計算保真參數(shù)矩陣λ；

End while.

步驟4：結束。

3.2 實驗仿真驗證

基于上述高保真去噪算法對加了高斯噪聲的圖像進行了降噪處理，結果發(fā)現(xiàn)本文提出的方法比全局采用最速下降保真參數(shù)自動選擇的去噪效果要好，不易使圖像模糊，細節(jié)和紋理特征能夠得到更好地保留。

圖1 原始灰度圖像

圖1是用于加噪的原始灰度圖像，給該原始圖像分別加上標準方差分別為5、10、15、20的高斯白噪聲，圖像的峰值信噪比(PSNR)分別為33.192dB、27.256dB、23.686dB、21.897dB，其相應的加噪圖像及處理圖像見表1。從表1中可以看出，全局保真參數(shù)的去噪方法在保護圖像細節(jié)和紋理方面較差，致使圖像清晰度大大降低；本文的方法在保留細節(jié)和紋理方面有所提高。為了定量地描述圖像質量的改善，采用峰值信噪比對三種方法進行了比較，其結果見表2。從表2可以看出本文的方法改善信噪比最多，這也表明本文方法性能優(yōu)于全局保真降噪算法。

4 結語

本文針對高斯噪聲模型，首先分析了變分去噪模型的去噪機理，然后介紹了全局保真參數(shù)選擇的機理和相應的去噪方法，針對確定全局保真參數(shù)要求準確知道噪聲方差這一特點，提出了一種改進的基于小波變換的噪聲方差估計方法，通過對高保真的參數(shù)選擇機理進行推理和分析，提出一種基于局部保真的去噪算法，最后的仿真實驗結果證明本文所提的高保真方法在去噪的同時，能很好地保護圖像細節(jié)和紋理。在不同的噪聲背景下，計算得到的峰值信噪比均比全局保真算法高出0.2-0.5dB。

表1 本文方法和全局保真參數(shù)去噪效果比較

續(xù)表1

加噪圖像本文方法全局保真參數(shù)去噪噪聲標準方差15噪聲標準方差20

表2 本文方法與全局保真方法比對

[1] 馬瑜,趙九龍,李振興,等.三維圖像分數(shù)階微積分去噪增強算法[J].計算機工程與設計,2015,36(6):1586-1591.

[2] 于欣妍,王亮,羅四維.基于微分流形的圖像復原方法[J].北京交通大學學報,2015,39(5):1-8.

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[4] GILBOA G,ZEEVI Y Y,SOCHEN N.Texture Preserving Variational Denoising Using an Adaptive Fidelity Term [J].Proceedings of the Workshop on Variational and Level Set Methods(VLSM),2003(3):8.DOI:10.1.1.116.3593.

[5] RUDIN L I,OSHER S,FATEMI E.Nonlinear Total Variation based Noise Removal Algorithms [J].Physica D:Nonlinear Phenomena,1992,60(1-4):259-268.

[6] 張旭升,周桃庚,沙定國.數(shù)字圖像噪聲估計的方法及數(shù)學模型[J].光學技術,2005,31(5):719-722.

[7] 楊濤,方帥,程文娟.基于熵的圖像噪聲方差估計[J].中國科學技術大學學報,2015,45(4):337-344.

[8] 方帥,夏秀山,曹洋,等.基于噪聲水平估計的圖像盲去噪[J].模式識別與人工智能,2015,28(1):50-58.

[責任編輯、校對：郝杰]

Abstract：To solve the problem that the existing image denoising model can not preserve the image edge and image texture,an improved local adaptive image denoising algorithm based on the traditional variable theory was proposed.The algorithm calculates high-fidelity(Hi-Fi)parameters on the basis of local image features,estimates noise variance via wavelet transform,and determines high-fidelity (Hi-Fi) parameters with a smaller adaptive window.A image with Gauss noise was processed through this high-fidelity denoising algorithm,and the results show that the method proposed in this paper is able to produce better image denoising effect in comparison with the global variable using the steepest descent to automatically select the high-fidelity parameters,and the peak signal-to-noise ratio(PSNR)of the proposed method is improved by 0.2～0.5dB under different Gauss noise backgrounds.

Keywords：image denoising;variational theory;wavelet transform;local adaptation

ResearchonAnHigh-fidelityLocalAdaptiveImageDnoisingMethodBasedontheVariationalTheory

QIANWei,LIUQian,CHENLan-ying

(Aircraft Repair Depot,Civil Aviation Flight University of China,Guanghan 618307,China)

TP391.41

A

1008-9233(2017)05-0081-04

2017-08-20

中國民航飛行學院面上基金項目(J2015-09)

錢偉(1986-)，男，四川峨邊人，工程師，主要從事檢測自動化、圖像處理研究。