從幾何直觀到邏輯推理
——例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 沈曉凱

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順

從幾何直觀到邏輯推理
——例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 沈曉凱

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順

一、引言

“注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”是進(jìn)入新世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)教育的熱點(diǎn)話(huà)題之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》［1］明確提出：培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求.數(shù)學(xué)是一門(mén)可以通過(guò)直覺(jué)學(xué)習(xí)和理解的學(xué)科，在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和幾何直觀能力十分重要.數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)新知獲取的過(guò)程可以概括為八個(gè)字：大膽猜測(cè)，小心論證.大膽猜測(cè)即是從幾何直觀上猜測(cè)對(duì)象與對(duì)象之間的關(guān)系，小心論證則是對(duì)猜測(cè)的結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理，這是數(shù)學(xué)思維方式的特點(diǎn).那么如何在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中落實(shí)和培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力，這是作為數(shù)學(xué)教師必須思考的一個(gè)問(wèn)題.本文以2017年武漢市“高三數(shù)學(xué)四月調(diào)考”中的一個(gè)圓錐曲線(xiàn)題目為例，闡述教師在講解題目的過(guò)程中應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

二、問(wèn)題展示

已知圓O：x2+y2=1和拋物線(xiàn)E：y=x2-2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)拋物線(xiàn)E上一點(diǎn)P（x0，y0）作兩直線(xiàn)PQ、PR與圓O相切，且分別交拋物線(xiàn)E于Q、R兩點(diǎn)，若直線(xiàn)QR的斜率為求點(diǎn)P的坐標(biāo).

這是筆者在某重點(diǎn)高中講課時(shí)遇到的一個(gè)調(diào)研考試題目，下面簡(jiǎn)要敘述師生共同對(duì)該問(wèn)題探究的過(guò)程.

師：這個(gè)題目突破了圓錐曲線(xiàn)一直以來(lái)分為兩小問(wèn)，第一問(wèn)求軌跡方程，第二問(wèn)求最值、定點(diǎn)、定值或線(xiàn)段長(zhǎng)度等這一類(lèi)型，而是將其分成兩個(gè)不相關(guān)的小題，這是其中的第二小題，下面我們一起來(lái)分析和探討一下這個(gè)題目.

師：首先，經(jīng)過(guò)我們的分析發(fā)現(xiàn)，這兩條直線(xiàn)的斜率都是存在的（如果其中一條直線(xiàn)的斜率不存在，則與拋物線(xiàn)不存在兩個(gè)交點(diǎn)）.所以可設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（xx0）+y0，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓O：x2+y2=1相切，則O點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于半徑1，即.整理可得，即②（其中，k1，k2為PQ、PR的斜率），如圖1所示：

圖1

三、問(wèn)題探究

師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的具體分析我們就說(shuō)到這里.下面我們?cè)倩氐綀D1，來(lái)研究一下這個(gè)圖隱藏著什么信息.同學(xué)們，請(qǐng)你們仔細(xì)觀察圖1，告訴老師你們發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生們認(rèn)真觀察圖1，仔細(xì)探究問(wèn)題，并踴躍作答.

（1）對(duì)問(wèn)題提出猜想

生1：老師，我覺(jué)得圖1中的直線(xiàn)QR可能也與圓O相切，也就是說(shuō)圓O可能是三角形PQR的內(nèi)切圓.

（2）用特殊點(diǎn)驗(yàn)證猜想

生2：我同意生1的想法，并找了一個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證.取特殊點(diǎn)P（0，-2），根據(jù)PQ、PR與圓相切求得斜率k1，

k2，并求得，可知QR與圓O相切.

師：嗯.很好！那同學(xué)們?cè)傧胍幌?，是否只存在個(gè)別特殊點(diǎn)滿(mǎn)足該性質(zhì)，還是說(shuō)對(duì)拋物線(xiàn)上所有的點(diǎn)（除x0=±1外）都滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì)呢？

（3）幾何直觀探索問(wèn)題

生3：老師，我借助幾何畫(huà)板進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，拋物線(xiàn)上所有的點(diǎn)（除x0=±1外）都滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì).

師：好，那請(qǐng)你上來(lái)給同學(xué)們演示一下.

下圖是生3的幾何畫(huà)板演示圖，如圖2所示：

圖2

生3：首先在幾何畫(huà)板中畫(huà)拋物線(xiàn)y=x2-2的圖象，并在拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作圓O的切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn)，連接Q、R，過(guò)O點(diǎn)作QR的垂線(xiàn)交QR于點(diǎn)A，測(cè)得OA的長(zhǎng)度為1cm.當(dāng)P點(diǎn)跑遍拋物線(xiàn)上（除x0=±1外）的每一點(diǎn)時(shí)，始終能保持OA的長(zhǎng)度為1cm等于半徑的大小，所以可以得出直線(xiàn)QR與圓O始終相切.因此，我們可以得出結(jié)論：過(guò)拋物線(xiàn)y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一點(diǎn)作圓O：x2+y2=1的切線(xiàn)，切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.

（4）邏輯推理證明問(wèn)題

生4：生3的方法很直觀，利用幾何畫(huà)板從動(dòng)態(tài)的、直觀的角度給我們生動(dòng)形象地展示了直線(xiàn)QR始終與圓O相切這一性質(zhì).但是從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性角度看，這一幾何直觀呈現(xiàn)過(guò)程不能算是嚴(yán)格證明，所以我從代數(shù)的角度對(duì)此猜想進(jìn)行了證明，證明得到的結(jié)果與生3的結(jié)論一樣，下面給出我的證明思路和過(guò)程.

證明思路：要想證明過(guò)拋物線(xiàn)上（除x0=±1外）的任意一點(diǎn)作圓O的切線(xiàn)，切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.只要證明圓心O到直線(xiàn)QR的距離等于半徑即可.

證明過(guò)程：由上述解答過(guò)程可知，kQR=k1+k2-2x0，Q（k1-x0，（k1-x0）2-2），可將直線(xiàn)設(shè)為y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-2，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得直線(xiàn)的一般方程為（k1+k2-由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式知：

所以，過(guò)拋物線(xiàn)y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一點(diǎn)作圓O：x2+y2=1的切線(xiàn)，切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.

同學(xué)們還在為拋物線(xiàn)的這一性質(zhì)感到神奇，這時(shí)，下課鈴聲響了，教師對(duì)這節(jié)課的探討進(jìn)行了總結(jié).

師：嗯，幾位同學(xué)回答的都很好，也掌握了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律：大膽猜想，小心論證.既從幾何直觀上找到了對(duì)象與對(duì)象間的關(guān)系，又從代數(shù)的角度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了這一猜想，經(jīng)過(guò)我們的探索，證明了當(dāng)a=2，r=1時(shí)，直線(xiàn)QR始終與圓O相切.但這個(gè)問(wèn)題還有探究下去的價(jià)值，課后請(qǐng)同學(xué)們?cè)俳又剿鬟@樣一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于任意給定的y=x2-a（只考慮a大于0的情形），是否存在圓x2+y2=r2，當(dāng)a和r滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí)，也能使直線(xiàn)QR始終與圓O相切呢？

四、問(wèn)題推廣

伴隨著上課鈴聲，到了第二天的數(shù)學(xué)課，經(jīng)過(guò)課下的認(rèn)真研究后，同學(xué)們心里都有了答案.

（1）幾何直觀探究解的存在性

生5：老師，對(duì)于您昨天提的問(wèn)題，我一開(kāi)始不敢直接去推理證明，所以我先借助了幾何畫(huà)板去探索除了a=2，r=1這種情況外，是否還存在這樣的a和r？雖然不能得到a和r之間的確切關(guān)系，但可以從幾何直觀上判斷這樣的a和r是否存在，如果存在，那我就有動(dòng)力去探索它們之間確切的關(guān)系.

于是生5上講臺(tái)借助幾何畫(huà)板進(jìn)行演示.

生5：我先固定a=4，在幾何畫(huà)板中畫(huà)出y=x2-4的圖象，再用線(xiàn)段FG控制圓O的半徑r的大小.（其余步驟與生3類(lèi)似，在此不再贅述.）要證明除了a=2，r=1這種情況外，是否還存在其他的a和r，只要證明當(dāng)a=4固定時(shí)，圓心O到直線(xiàn)QR的距離OA是否能等于半徑r即可.

這是在探索過(guò)程中截的兩副圖，圖3、圖4兩圖能說(shuō)明當(dāng)a=4時(shí)，存在這樣的r使得直線(xiàn)QR與圓O相切.當(dāng)我再進(jìn)一步移動(dòng)G點(diǎn)的位置時(shí)，可以出現(xiàn)這樣的情況，如圖5所示.

圖3

圖4

圖5 很直觀的顯示出當(dāng)a=4，r≈1.56時(shí)，過(guò)拋物線(xiàn)上（除x0=±r外）的任意一點(diǎn)作圓O的切線(xiàn)，切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.圖5進(jìn)一步說(shuō)明了這樣的a和r是存在的.

圖5

（2）邏輯推理探索a和r的關(guān)系式

師：生5的想法很棒，也很好地說(shuō)明了a和r的存在性.那其他同學(xué)有沒(méi)有確切地探索出來(lái)了a和r所滿(mǎn)足的關(guān)系式.

生6：老師，我探索出了a和r的所滿(mǎn)足的關(guān)系式，即a=r2+r時(shí)，滿(mǎn)足直線(xiàn)QR與圓O相切.具體過(guò)程如下所示：

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y=k（x-x0）+y0，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓O：x2+y2=r2相切，則O點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于半徑r，即整理可得r2=0（x0≠±r），即（其中，k1，k2為PQ、PR的斜率）.將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求Q、R的坐標(biāo)整理得：x2-kx+kx0-y0-a=0，則x1+x2=k，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)（k1-x0，（k1-x0）2-a），R點(diǎn)坐標(biāo)x2=k1+k2-2x0，所以得到過(guò)Q、R兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-a，即

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式知：

因P點(diǎn)的任意性可知與x0無(wú)關(guān)，所以可得：

由上式中的①可得（r2-a）2=r2，即a=r2+r或a=r2-r.在我們研究的問(wèn)題中，要求圓在拋物線(xiàn)里面，即，得到a＞r2，所以a=r2-r舍去.將a=r2+r代入②、③均滿(mǎn)足，即推得a和r的所滿(mǎn)足的關(guān)系式為a=r2+r.

五、問(wèn)題一般化

師：生6的推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)縝密，邏輯思維能力和計(jì)算能力都很強(qiáng)，表現(xiàn)得很好.其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題如果從平移和伸縮的角度去考慮的話(huà)，我們可以探索得到對(duì)于任意拋物線(xiàn)，都存在圓（或橢圓）滿(mǎn)足上述的性質(zhì).

首先我們考慮最基本的拋物線(xiàn)y=x2，它是由y=x2-2向上平移2個(gè)單位得到的，所以對(duì)于拋物線(xiàn)y=x2，存在圓：x2+（y-2）2=1滿(mǎn)足上述性質(zhì). 所以對(duì)于形如y=x2+bx+c（b，c∈R）拋物線(xiàn)，滿(mǎn)足這一性質(zhì)的圓均可以由圓x2+（y-2）2=1經(jīng)過(guò)上下平移和左右平移得到.

再考慮拋物線(xiàn)y=3（x2-2），從伸縮變換的角度考慮，即x不變，y變成原來(lái)的，同樣對(duì)圓x2+y2=1作此變換，得到.經(jīng)驗(yàn)證，過(guò)拋物線(xiàn)y=3（x2-2）（除x0=±1外）的任意一點(diǎn)P作橢圓的切線(xiàn)，交橢圓于Q、R兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與橢圓相切，如圖6所示（由于篇幅原因，具體證明過(guò)程省略）.

圖6

所以通過(guò)平移和伸縮變換可以得到與任意拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c存在該性質(zhì)的圓或橢圓.

六、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和解決往往依賴(lài)于幾何直觀.數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題盡量變成可借助于圖形直觀加以分析和解決的問(wèn)題，使直觀變成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?因而，借助幾何直觀進(jìn)行思考，已經(jīng)成為一種很重要的研究策略，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中起著不可替代的作用［2］.

由此可見(jiàn)，幾何直觀能力是學(xué)生必備的能力.教師在教學(xué)過(guò)程中因盡量使所研究的問(wèn)題直觀化，借助恰當(dāng)?shù)闹庇^模型，能更有利于揭示研究對(duì)象的本質(zhì)屬性.教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一道常規(guī)題目進(jìn)行探索和研究的過(guò)程中，既發(fā)現(xiàn)了具有推廣價(jià)值的性質(zhì)，又使學(xué)生的思維得到發(fā)展，更激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.但幾何直觀本身不是目的，而是一種解決問(wèn)題的手段.在幾何直觀化后得到的結(jié)論必須用邏輯推理加以證明，學(xué)生在進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理證明的同時(shí)，提高和發(fā)展了自身的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.這一探究過(guò)程很好地踐行了華羅庚先生提出的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”觀點(diǎn)，同時(shí)也大大地提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］，北京：人民教育出版社，2003.

2.孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）年版》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)［J］.課程·教材·教法，2012，32（7）.

*全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——TPACK視角下卓越教師培養(yǎng)的理論研究與實(shí)踐探索（課題編號(hào)DHA150287）.