☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 沈曉凱
☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順
從幾何直觀到邏輯推理
——例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)
☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 沈曉凱
☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順
“注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”是進(jìn)入新世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)教育的熱點(diǎn)話(huà)題之一,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》[1]明確提出:培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力,是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求.數(shù)學(xué)是一門(mén)可以通過(guò)直覺(jué)學(xué)習(xí)和理解的學(xué)科,在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和幾何直觀能力十分重要.數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)新知獲取的過(guò)程可以概括為八個(gè)字:大膽猜測(cè),小心論證.大膽猜測(cè)即是從幾何直觀上猜測(cè)對(duì)象與對(duì)象之間的關(guān)系,小心論證則是對(duì)猜測(cè)的結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理,這是數(shù)學(xué)思維方式的特點(diǎn).那么如何在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中落實(shí)和培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力,這是作為數(shù)學(xué)教師必須思考的一個(gè)問(wèn)題.本文以2017年武漢市“高三數(shù)學(xué)四月調(diào)考”中的一個(gè)圓錐曲線(xiàn)題目為例,闡述教師在講解題目的過(guò)程中應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究,激發(fā)學(xué)生的探索興趣,從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.
已知圓O:x2+y2=1和拋物線(xiàn)E:y=x2-2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)拋物線(xiàn)E上一點(diǎn)P(x0,y0)作兩直線(xiàn)PQ、PR與圓O相切,且分別交拋物線(xiàn)E于Q、R兩點(diǎn),若直線(xiàn)QR的斜率為求點(diǎn)P的坐標(biāo).
這是筆者在某重點(diǎn)高中講課時(shí)遇到的一個(gè)調(diào)研考試題目,下面簡(jiǎn)要敘述師生共同對(duì)該問(wèn)題探究的過(guò)程.
師:這個(gè)題目突破了圓錐曲線(xiàn)一直以來(lái)分為兩小問(wèn),第一問(wèn)求軌跡方程,第二問(wèn)求最值、定點(diǎn)、定值或線(xiàn)段長(zhǎng)度等這一類(lèi)型,而是將其分成兩個(gè)不相關(guān)的小題,這是其中的第二小題,下面我們一起來(lái)分析和探討一下這個(gè)題目.
師:首先,經(jīng)過(guò)我們的分析發(fā)現(xiàn),這兩條直線(xiàn)的斜率都是存在的(如果其中一條直線(xiàn)的斜率不存在,則與拋物線(xiàn)不存在兩個(gè)交點(diǎn)).所以可設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(xx0)+y0,因?yàn)橹本€(xiàn)與圓O:x2+y2=1相切,則O點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于半徑1,即.整理可得,即②(其中,k1,k2為PQ、PR的斜率),如圖1所示:
圖1
師:對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的具體分析我們就說(shuō)到這里.下面我們?cè)倩氐綀D1,來(lái)研究一下這個(gè)圖隱藏著什么信息.同學(xué)們,請(qǐng)你們仔細(xì)觀察圖1,告訴老師你們發(fā)現(xiàn)了什么?
學(xué)生們認(rèn)真觀察圖1,仔細(xì)探究問(wèn)題,并踴躍作答.
(1)對(duì)問(wèn)題提出猜想
生1:老師,我覺(jué)得圖1中的直線(xiàn)QR可能也與圓O相切,也就是說(shuō)圓O可能是三角形PQR的內(nèi)切圓.
(2)用特殊點(diǎn)驗(yàn)證猜想
生2:我同意生1的想法,并找了一個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證.取特殊點(diǎn)P(0,-2),根據(jù)PQ、PR與圓相切求得斜率k1,
k2,并求得,可知QR與圓O相切.
師:嗯.很好!那同學(xué)們?cè)傧胍幌?,是否只存在個(gè)別特殊點(diǎn)滿(mǎn)足該性質(zhì),還是說(shuō)對(duì)拋物線(xiàn)上所有的點(diǎn)(除x0=±1外)都滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì)呢?
(3)幾何直觀探索問(wèn)題
生3:老師,我借助幾何畫(huà)板進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn),拋物線(xiàn)上所有的點(diǎn)(除x0=±1外)都滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì).
師:好,那請(qǐng)你上來(lái)給同學(xué)們演示一下.
下圖是生3的幾何畫(huà)板演示圖,如圖2所示:
圖2
生3:首先在幾何畫(huà)板中畫(huà)拋物線(xiàn)y=x2-2的圖象,并在拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)作圓O的切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn),連接Q、R,過(guò)O點(diǎn)作QR的垂線(xiàn)交QR于點(diǎn)A,測(cè)得OA的長(zhǎng)度為1cm.當(dāng)P點(diǎn)跑遍拋物線(xiàn)上(除x0=±1外)的每一點(diǎn)時(shí),始終能保持OA的長(zhǎng)度為1cm等于半徑的大小,所以可以得出直線(xiàn)QR與圓O始終相切.因此,我們可以得出結(jié)論:過(guò)拋物線(xiàn)y=x2-2上(除x0=±1外)的任意一點(diǎn)作圓O:x2+y2=1的切線(xiàn),切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.
(4)邏輯推理證明問(wèn)題
生4:生3的方法很直觀,利用幾何畫(huà)板從動(dòng)態(tài)的、直觀的角度給我們生動(dòng)形象地展示了直線(xiàn)QR始終與圓O相切這一性質(zhì).但是從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性角度看,這一幾何直觀呈現(xiàn)過(guò)程不能算是嚴(yán)格證明,所以我從代數(shù)的角度對(duì)此猜想進(jìn)行了證明,證明得到的結(jié)果與生3的結(jié)論一樣,下面給出我的證明思路和過(guò)程.
證明思路:要想證明過(guò)拋物線(xiàn)上(除x0=±1外)的任意一點(diǎn)作圓O的切線(xiàn),切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.只要證明圓心O到直線(xiàn)QR的距離等于半徑即可.
證明過(guò)程:由上述解答過(guò)程可知,kQR=k1+k2-2x0,Q(k1-x0,(k1-x0)2-2),可將直線(xiàn)設(shè)為y=(k1+k2-2x0)(x-k1+x0)+(k1-x0)2-2,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得直線(xiàn)的一般方程為(k1+k2-由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式知:
所以,過(guò)拋物線(xiàn)y=x2-2上(除x0=±1外)的任意一點(diǎn)作圓O:x2+y2=1的切線(xiàn),切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.
同學(xué)們還在為拋物線(xiàn)的這一性質(zhì)感到神奇,這時(shí),下課鈴聲響了,教師對(duì)這節(jié)課的探討進(jìn)行了總結(jié).
師:嗯,幾位同學(xué)回答的都很好,也掌握了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律:大膽猜想,小心論證.既從幾何直觀上找到了對(duì)象與對(duì)象間的關(guān)系,又從代數(shù)的角度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了這一猜想,經(jīng)過(guò)我們的探索,證明了當(dāng)a=2,r=1時(shí),直線(xiàn)QR始終與圓O相切.但這個(gè)問(wèn)題還有探究下去的價(jià)值,課后請(qǐng)同學(xué)們?cè)俳又剿鬟@樣一個(gè)問(wèn)題,對(duì)于任意給定的y=x2-a(只考慮a大于0的情形),是否存在圓x2+y2=r2,當(dāng)a和r滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí),也能使直線(xiàn)QR始終與圓O相切呢?
伴隨著上課鈴聲,到了第二天的數(shù)學(xué)課,經(jīng)過(guò)課下的認(rèn)真研究后,同學(xué)們心里都有了答案.
(1)幾何直觀探究解的存在性
生5:老師,對(duì)于您昨天提的問(wèn)題,我一開(kāi)始不敢直接去推理證明,所以我先借助了幾何畫(huà)板去探索除了a=2,r=1這種情況外,是否還存在這樣的a和r?雖然不能得到a和r之間的確切關(guān)系,但可以從幾何直觀上判斷這樣的a和r是否存在,如果存在,那我就有動(dòng)力去探索它們之間確切的關(guān)系.
于是生5上講臺(tái)借助幾何畫(huà)板進(jìn)行演示.
生5:我先固定a=4,在幾何畫(huà)板中畫(huà)出y=x2-4的圖象,再用線(xiàn)段FG控制圓O的半徑r的大小.(其余步驟與生3類(lèi)似,在此不再贅述.)要證明除了a=2,r=1這種情況外,是否還存在其他的a和r,只要證明當(dāng)a=4固定時(shí),圓心O到直線(xiàn)QR的距離OA是否能等于半徑r即可.
這是在探索過(guò)程中截的兩副圖,圖3、圖4兩圖能說(shuō)明當(dāng)a=4時(shí),存在這樣的r使得直線(xiàn)QR與圓O相切.當(dāng)我再進(jìn)一步移動(dòng)G點(diǎn)的位置時(shí),可以出現(xiàn)這樣的情況,如圖5所示.
圖3
圖4
圖5 很直觀的顯示出當(dāng)a=4,r≈1.56時(shí),過(guò)拋物線(xiàn)上(除x0=±r外)的任意一點(diǎn)作圓O的切線(xiàn),切線(xiàn)交拋物線(xiàn)于Q、R兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與圓O相切.圖5進(jìn)一步說(shuō)明了這樣的a和r是存在的.
圖5
(2)邏輯推理探索a和r的關(guān)系式
師:生5的想法很棒,也很好地說(shuō)明了a和r的存在性.那其他同學(xué)有沒(méi)有確切地探索出來(lái)了a和r所滿(mǎn)足的關(guān)系式.
生6:老師,我探索出了a和r的所滿(mǎn)足的關(guān)系式,即a=r2+r時(shí),滿(mǎn)足直線(xiàn)QR與圓O相切.具體過(guò)程如下所示:
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y=k(x-x0)+y0,因?yàn)橹本€(xiàn)與圓O:x2+y2=r2相切,則O點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于半徑r,即整理可得r2=0(x0≠±r),即(其中,k1,k2為PQ、PR的斜率).將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求Q、R的坐標(biāo)整理得:x2-kx+kx0-y0-a=0,則x1+x2=k,可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)(k1-x0,(k1-x0)2-a),R點(diǎn)坐標(biāo)x2=k1+k2-2x0,所以得到過(guò)Q、R兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為:y=(k1+k2-2x0)(x-k1+x0)+(k1-x0)2-a,即
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式知:
因P點(diǎn)的任意性可知與x0無(wú)關(guān),所以可得:
由上式中的①可得(r2-a)2=r2,即a=r2+r或a=r2-r.在我們研究的問(wèn)題中,要求圓在拋物線(xiàn)里面,即,得到a>r2,所以a=r2-r舍去.將a=r2+r代入②、③均滿(mǎn)足,即推得a和r的所滿(mǎn)足的關(guān)系式為a=r2+r.
師:生6的推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)縝密,邏輯思維能力和計(jì)算能力都很強(qiáng),表現(xiàn)得很好.其實(shí),這個(gè)問(wèn)題如果從平移和伸縮的角度去考慮的話(huà),我們可以探索得到對(duì)于任意拋物線(xiàn),都存在圓(或橢圓)滿(mǎn)足上述的性質(zhì).
首先我們考慮最基本的拋物線(xiàn)y=x2,它是由y=x2-2向上平移2個(gè)單位得到的,所以對(duì)于拋物線(xiàn)y=x2,存在圓:x2+(y-2)2=1滿(mǎn)足上述性質(zhì). 所以對(duì)于形如y=x2+bx+c(b,c∈R)拋物線(xiàn),滿(mǎn)足這一性質(zhì)的圓均可以由圓x2+(y-2)2=1經(jīng)過(guò)上下平移和左右平移得到.
再考慮拋物線(xiàn)y=3(x2-2),從伸縮變換的角度考慮,即x不變,y變成原來(lái)的,同樣對(duì)圓x2+y2=1作此變換,得到.經(jīng)驗(yàn)證,過(guò)拋物線(xiàn)y=3(x2-2)(除x0=±1外)的任意一點(diǎn)P作橢圓的切線(xiàn),交橢圓于Q、R兩點(diǎn),連接這兩點(diǎn)的直線(xiàn)始終與橢圓相切,如圖6所示(由于篇幅原因,具體證明過(guò)程省略).
圖6
所以通過(guò)平移和伸縮變換可以得到與任意拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c存在該性質(zhì)的圓或橢圓.
在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中,很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和解決往往依賴(lài)于幾何直觀.數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題盡量變成可借助于圖形直觀加以分析和解決的問(wèn)題,使直觀變成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?因而,借助幾何直觀進(jìn)行思考,已經(jīng)成為一種很重要的研究策略,在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中起著不可替代的作用[2].
由此可見(jiàn),幾何直觀能力是學(xué)生必備的能力.教師在教學(xué)過(guò)程中因盡量使所研究的問(wèn)題直觀化,借助恰當(dāng)?shù)闹庇^模型,能更有利于揭示研究對(duì)象的本質(zhì)屬性.教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一道常規(guī)題目進(jìn)行探索和研究的過(guò)程中,既發(fā)現(xiàn)了具有推廣價(jià)值的性質(zhì),又使學(xué)生的思維得到發(fā)展,更激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣,提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.但幾何直觀本身不是目的,而是一種解決問(wèn)題的手段.在幾何直觀化后得到的結(jié)論必須用邏輯推理加以證明,學(xué)生在進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理證明的同時(shí),提高和發(fā)展了自身的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.這一探究過(guò)程很好地踐行了華羅庚先生提出的“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”觀點(diǎn),同時(shí)也大大地提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[S],北京:人民教育出版社,2003.
2.孔凡哲,史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)年版》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程·教材·教法,2012,32(7).
*全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——TPACK視角下卓越教師培養(yǎng)的理論研究與實(shí)踐探索(課題編號(hào)DHA150287).