以課例點評談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育*

☉安徽省阜陽市太和中學(xué) 岳 峻

☉安徽省教育科學(xué)研究院數(shù)學(xué)教研所 李院德

以課例點評談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育*

☉安徽省阜陽市太和中學(xué) 岳 峻

☉安徽省教育科學(xué)研究院數(shù)學(xué)教研所 李院德

某中學(xué)今年舉行了中青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽，筆者結(jié)合參賽數(shù)學(xué)教師的課例點評，對如何理解教材、理解教學(xué)、理解技術(shù)、理解數(shù)學(xué)，如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱挠^點，與諸位同行交流.

一、提升理解教材的悟性

案例（一）雙曲線的標準方程

1.引入

教師甲借助于多媒體播放網(wǎng)絡(luò)歌曲《悲傷雙曲線》的片斷引發(fā)學(xué)生了解雙曲線的興趣，然后借助于幾何畫板設(shè)計了一個動畫引入雙曲線：

圓F1與圓F2的半徑相同，點P是圓F1上的動點，線段PF2的垂直平分線與PF1的延長線交于M，拖動點P時，請觀察點M的運動軌跡是什么？（如圖1所示）改變兩圓的半徑的大小呢？（如圖2所示）

圖1

圖2

2.設(shè)計初衷

教師甲：教材的拉鏈實驗活動，太普通，太接近我們的生活，沒有新意，為此，不拘泥于教材的“陳舊”的拉鏈實踐活動的設(shè)置，利用多媒體技術(shù)創(chuàng)新地設(shè)計了一個動畫引入雙曲線的定義.

3.反思

本單元教材設(shè)置的引入的第一個環(huán)節(jié)是：“思考：我們知道，與兩個定點距離的和為非零常數(shù)（大于兩定點的距離）的點的軌跡是橢圓，那么，與兩個定點距離的差為非零常數(shù)的點的軌跡是什么呢？”這個環(huán)節(jié)的設(shè)置滲透了類比的思想，是引領(lǐng)學(xué)生獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基本技能、基本思想.

第二個環(huán)節(jié)是拉鏈實驗活動，如圖3，是最本真的數(shù)學(xué)實驗.這個環(huán)節(jié)的設(shè)置很好地將雙曲線這個比較抽象的定義進行了形象、直觀地演示，使得學(xué)生獲得豐富的基本活動經(jīng)驗，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于實踐，又指導(dǎo)實踐，提升學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的自覺性，可以取得事半功倍的效果.

圖3

第三個環(huán)節(jié)是：“思考：類比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？”這個環(huán)節(jié)的設(shè)置目的是引領(lǐng)學(xué)生提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，培育學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

教材承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向，滲透著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，同時也體現(xiàn)了高考改革的發(fā)展趨向.教材上出現(xiàn)的任何信息都有它存在的價值，課本的結(jié)構(gòu)是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是千錘百煉的，習(xí)題是精挑細選的，課本的每個素材的選取、問題的設(shè)置、規(guī)律的呈現(xiàn)等都具有極高價值.教材是編者集體智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，又是教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”的主要資源.

教師甲不拘泥于教材的意圖是無可厚非的，但是，她缺乏“理解教材”的意識，忽略了核心素養(yǎng)的培育.引例的設(shè)計，不僅應(yīng)該將數(shù)學(xué)概念與學(xué)生熟悉的生活場景聯(lián)系起來，起點要低，讓抽象、難懂的數(shù)學(xué)概念更貼近學(xué)生生活，變得直觀、生活化，使其成為“有效”的引入，使所有學(xué)生都能順利接受、理解，而且要揭示概念的本質(zhì)屬性，將學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗過程由感性認識提升至理性認識的高度，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會到數(shù)學(xué)與實際生活之間密不可分，進而培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).而教師甲的幾何畫板的演示比較突兀，好似天外來客，沒有了基本活動經(jīng)驗的生成，呈現(xiàn)了雙曲線“冰冷”的美麗，澆滅了學(xué)生的“火熱”的思考，學(xué)生只知其然，只有感慨：“高明！但，想說愛你不容易！”

教師的首要任務(wù)就是研讀教材，可以結(jié)合學(xué)生的認知水平，不拘泥于教材，但是，要尊重教材，揣摩教材編者的設(shè)計意圖，將教材這一“靜態(tài)文本”背后的“動態(tài)故事”恰當(dāng)?shù)亟o學(xué)生進行解讀和“翻譯”，結(jié)合自己的創(chuàng)造性，搭建學(xué)生思維馳騁的平臺，給學(xué)生留下廣闊的思維空間，打造精彩交融的培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“生命”課堂［1］.

二、注重理解教學(xué)的真諦

案例（二）直線的傾斜角與斜率

1.引入

在講授直線的斜率概念時，究竟采用傾斜角α的哪個三角函數(shù)值為直線的斜率，教師乙畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx在區(qū)間［0，π）上的圖像，讓它們來個“公開、公正的競聘”，看到底哪個函數(shù)能勝出.教室里出現(xiàn)了激烈的討論，教師根據(jù)學(xué)生討論的結(jié)果進行點撥、評析：正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0，π）函數(shù)值都是非負的，且對于不同的角，可能有相同的函數(shù)值，不利于直線問題的學(xué)習(xí)與研究，因此它失去了“當(dāng)選”的資格；對于余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間［0，π）上雖然單調(diào)，也能保證一個斜率值對應(yīng)一類位置確定互相平行的直線，但美中不足的是，即當(dāng)傾斜角時，直線的斜率k=0，而此時直線垂直于x軸，“傾斜程度夠大”，得其斜率k=0，這顯然不合乎情理，它也不具備“勝出”的條件；y=tanx在區(qū)間上雖然不單調(diào)，但它確保了一個斜率值對應(yīng)于一類位置確定互相平行的直線，并且當(dāng)直線垂直于x軸時，直線變豎直了，“傾斜程度”大的達到極限位置，一點也不傾斜了，而此時的y=tanα→∞，即斜率就不存在了，這是多么和諧與自然！

2.設(shè)計初衷

教師乙：尊重教材，忠于教材，但不局限于“復(fù)制”“粘貼”地照本宣科，將教材中隱含的思維“找回來”，激活教材，洞察數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì).

3.反思

教師乙不拘泥于教材的做法是值得提倡的，結(jié)合三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx在區(qū)間［0，π）上的圖像，讓三者的函數(shù)值“競聘”表示直線的斜率，善于將教材中抽象的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于接受的“火熱”的思維，實現(xiàn)思維過程的重構(gòu)，有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的真諦，還呆板的課堂一個自然和諧、興趣盎然的動態(tài)生成的“思維演練場”.

事實上，每一個數(shù)學(xué)概念雖然是千錘百煉的數(shù)學(xué)精華，其起源與產(chǎn)生都是自然和諧的產(chǎn)物，然而，受篇幅的限制，教材不可能將它的來龍去脈一一展示出來，所經(jīng)歷的“火熱”思考也無法呈現(xiàn)，這就需要教師“智慧”教材，還原其發(fā)生、發(fā)展過程的情境，體驗“數(shù)學(xué)化”的思想，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

三、正待多媒體技術(shù)的助力

案例（三）余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.引入

2.設(shè)計初衷

教師丙：在已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后，引領(lǐng)學(xué)生“五點法”畫圖，以“幾何畫板”的動畫形式演示余弦函數(shù)的圖像的生成過程，最后強化性質(zhì)的應(yīng)用.

3.反思

教師丙借助于“幾何畫板”以動畫的形式動態(tài)地演示余弦函數(shù)的圖像的生成過程，更為貼合教材的理念，也有利于學(xué)生理解誘導(dǎo)公式的功能，理解有待學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖像變換，是值得提倡的，也是多媒體技術(shù)的價值之所在.但是，余弦函數(shù)的性質(zhì)也借助于PPT技術(shù)一屏一屏地展示，不給學(xué)生思考的過程，扼殺了學(xué)生的激情，特別是后續(xù)的“鞏固深化”“發(fā)展思維”“高考鏈接”等，例、習(xí)題也沒有“留白”，多達30屏之多，純屬“填鴨”，表面上看，多媒體技術(shù)的應(yīng)用非常熟練，比較“引人入勝”，知識目標已達成，還挺“高效”的.事實上，學(xué)生毫無激情可言，學(xué)生的異口同聲更顯“演戲”，浮于表面而已，全然忽視核心素養(yǎng)的培育.

數(shù)學(xué)的高度抽象等特點都是非常人思維的結(jié)晶，數(shù)學(xué)教學(xué)是重心，多媒體技術(shù)是工具.對多媒體技術(shù)感興趣的部分教師在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上為了突破難點進行多媒體微課制作，是難能可貴的，但炫耀多媒體技術(shù)是誤區(qū).“核心素養(yǎng)引領(lǐng)，媒體技術(shù)助力！”這才是正道.

四、耐心聚焦素養(yǎng)的引領(lǐng)

案例（四）雙曲線標準方程的推導(dǎo)

1.引入

在歸納出雙曲線的定義后，教師丁啟發(fā)學(xué)生，提出探究問題：“請問，你能類比橢圓的標準方程的推導(dǎo)過程來推導(dǎo)雙曲線的標準方程嗎？”然后巡視，個別輔導(dǎo)，4~5分鐘后略作點評進入下一個環(huán)節(jié).

2.設(shè)計初衷

學(xué)生已經(jīng)熟悉了橢圓標準方程的推導(dǎo)過程，因此，學(xué)生應(yīng)用類比的方法推導(dǎo)雙曲線的標準方程，應(yīng)該有能力完成的.

3.反思

教師丁應(yīng)用類比的方法是完全合理有效的，點評課例時，筆者問到：“給你5分鐘的時間，你能順利地推導(dǎo)出雙曲線的標準方程嗎？”

其實，雙曲線的標準方程的推導(dǎo)過程承載著以下功能：

③特征量a，b，c數(shù)量關(guān)系b2=c2-a2的由來，而不再是橢圓中的b2=a2-c2；

④數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)培育的基本經(jīng)驗活動中，對數(shù)學(xué)的簡潔美的體驗.

教師丁的處理并沒有給學(xué)生充足的時間，使得學(xué)生缺失了基本技能的形成，沒有經(jīng)歷基本經(jīng)驗活動的歷程，使得培育核心素養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的絕佳時機喪失.

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有漸進性，特別是數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸形成和發(fā)展起來的，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要注重過程性.這里的“過程”主要體現(xiàn)在兩個方面：一是數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程；二是學(xué)生的思維活動過程.注重“過程”，教師就要遵循學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生簡約地經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程.而雙曲線的標準方程的推導(dǎo)恰好是培育學(xué)生的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的極佳途徑之一，教師應(yīng)該給予學(xué)生充分的時間，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界，通過建立和求解數(shù)學(xué)模型解決實際問題，通過抽象符號或直觀圖形表示具有某種共同特征的對象，通過精確計算定量地分析問題，通過推理探尋解決問題的路徑，通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)的特征化繁為簡，在基本經(jīng)驗活動中體驗數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的功能，提高了學(xué)生自己分析和解決問題的能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界［2］.

以上筆者結(jié)合參賽數(shù)學(xué)教師的課例點評，對如何領(lǐng)悟教材的意圖、理解教學(xué)的真諦、正待多媒體的助力、聚焦核心素養(yǎng)的引領(lǐng)，如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升教學(xué)品位，作了一些思考和探討.筆者的思考也許是幼稚的，認識也許是膚淺的，但總可以拋磚引玉，供方家批評指正.

1.岳峻，梅磊.領(lǐng)悟教材意圖 提升教學(xué)品位——以數(shù)學(xué)歸納法為例［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（5）.

2.岳峻.以數(shù)學(xué)審題 探核心素養(yǎng)如何落地［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（11）.

*本文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐途徑與策略的研究》的階段成果；安徽省阜陽市教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于微課的翻轉(zhuǎn)課堂的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究》（編號FJK16054）的階段成果；岳峻名師工作室的初步研究成果.