☉安徽省阜陽市太和中學(xué) 岳 峻
☉安徽省教育科學(xué)研究院數(shù)學(xué)教研所 李院德
以課例點評談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育*
☉安徽省阜陽市太和中學(xué) 岳 峻
☉安徽省教育科學(xué)研究院數(shù)學(xué)教研所 李院德
某中學(xué)今年舉行了中青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽,筆者結(jié)合參賽數(shù)學(xué)教師的課例點評,對如何理解教材、理解教學(xué)、理解技術(shù)、理解數(shù)學(xué),如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱挠^點,與諸位同行交流.
案例(一)雙曲線的標準方程
1.引入
教師甲借助于多媒體播放網(wǎng)絡(luò)歌曲《悲傷雙曲線》的片斷引發(fā)學(xué)生了解雙曲線的興趣,然后借助于幾何畫板設(shè)計了一個動畫引入雙曲線:
圓F1與圓F2的半徑相同,點P是圓F1上的動點,線段PF2的垂直平分線與PF1的延長線交于M,拖動點P時,請觀察點M的運動軌跡是什么?(如圖1所示)改變兩圓的半徑的大小呢?(如圖2所示)
圖1
圖2
2.設(shè)計初衷
教師甲:教材的拉鏈實驗活動,太普通,太接近我們的生活,沒有新意,為此,不拘泥于教材的“陳舊”的拉鏈實踐活動的設(shè)置,利用多媒體技術(shù)創(chuàng)新地設(shè)計了一個動畫引入雙曲線的定義.
3.反思
本單元教材設(shè)置的引入的第一個環(huán)節(jié)是:“思考:我們知道,與兩個定點距離的和為非零常數(shù)(大于兩定點的距離)的點的軌跡是橢圓,那么,與兩個定點距離的差為非零常數(shù)的點的軌跡是什么呢?”這個環(huán)節(jié)的設(shè)置滲透了類比的思想,是引領(lǐng)學(xué)生獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基本技能、基本思想.
第二個環(huán)節(jié)是拉鏈實驗活動,如圖3,是最本真的數(shù)學(xué)實驗.這個環(huán)節(jié)的設(shè)置很好地將雙曲線這個比較抽象的定義進行了形象、直觀地演示,使得學(xué)生獲得豐富的基本活動經(jīng)驗,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于實踐,又指導(dǎo)實踐,提升學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的自覺性,可以取得事半功倍的效果.
圖3
第三個環(huán)節(jié)是:“思考:類比橢圓的定義,你能給出雙曲線的定義嗎?”這個環(huán)節(jié)的設(shè)置目的是引領(lǐng)學(xué)生提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,培育學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
教材承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向,滲透著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育,同時也體現(xiàn)了高考改革的發(fā)展趨向.教材上出現(xiàn)的任何信息都有它存在的價值,課本的結(jié)構(gòu)是反復(fù)考量的,語言是字斟句酌的,例題是千錘百煉的,習(xí)題是精挑細選的,課本的每個素材的選取、問題的設(shè)置、規(guī)律的呈現(xiàn)等都具有極高價值.教材是編者集體智慧的結(jié)晶,是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體,又是教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”的主要資源.
教師甲不拘泥于教材的意圖是無可厚非的,但是,她缺乏“理解教材”的意識,忽略了核心素養(yǎng)的培育.引例的設(shè)計,不僅應(yīng)該將數(shù)學(xué)概念與學(xué)生熟悉的生活場景聯(lián)系起來,起點要低,讓抽象、難懂的數(shù)學(xué)概念更貼近學(xué)生生活,變得直觀、生活化,使其成為“有效”的引入,使所有學(xué)生都能順利接受、理解,而且要揭示概念的本質(zhì)屬性,將學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗過程由感性認識提升至理性認識的高度,讓學(xué)生深刻領(lǐng)會到數(shù)學(xué)與實際生活之間密不可分,進而培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).而教師甲的幾何畫板的演示比較突兀,好似天外來客,沒有了基本活動經(jīng)驗的生成,呈現(xiàn)了雙曲線“冰冷”的美麗,澆滅了學(xué)生的“火熱”的思考,學(xué)生只知其然,只有感慨:“高明!但,想說愛你不容易!”
教師的首要任務(wù)就是研讀教材,可以結(jié)合學(xué)生的認知水平,不拘泥于教材,但是,要尊重教材,揣摩教材編者的設(shè)計意圖,將教材這一“靜態(tài)文本”背后的“動態(tài)故事”恰當(dāng)?shù)亟o學(xué)生進行解讀和“翻譯”,結(jié)合自己的創(chuàng)造性,搭建學(xué)生思維馳騁的平臺,給學(xué)生留下廣闊的思維空間,打造精彩交融的培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“生命”課堂[1].
案例(二)直線的傾斜角與斜率
1.引入
在講授直線的斜率概念時,究竟采用傾斜角α的哪個三角函數(shù)值為直線的斜率,教師乙畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx在區(qū)間[0,π)上的圖像,讓它們來個“公開、公正的競聘”,看到底哪個函數(shù)能勝出.教室里出現(xiàn)了激烈的討論,教師根據(jù)學(xué)生討論的結(jié)果進行點撥、評析:正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,π)函數(shù)值都是非負的,且對于不同的角,可能有相同的函數(shù)值,不利于直線問題的學(xué)習(xí)與研究,因此它失去了“當(dāng)選”的資格;對于余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,π)上雖然單調(diào),也能保證一個斜率值對應(yīng)一類位置確定互相平行的直線,但美中不足的是,即當(dāng)傾斜角時,直線的斜率k=0,而此時直線垂直于x軸,“傾斜程度夠大”,得其斜率k=0,這顯然不合乎情理,它也不具備“勝出”的條件;y=tanx在區(qū)間上雖然不單調(diào),但它確保了一個斜率值對應(yīng)于一類位置確定互相平行的直線,并且當(dāng)直線垂直于x軸時,直線變豎直了,“傾斜程度”大的達到極限位置,一點也不傾斜了,而此時的y=tanα→∞,即斜率就不存在了,這是多么和諧與自然!
2.設(shè)計初衷
教師乙:尊重教材,忠于教材,但不局限于“復(fù)制”“粘貼”地照本宣科,將教材中隱含的思維“找回來”,激活教材,洞察數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì).
3.反思
教師乙不拘泥于教材的做法是值得提倡的,結(jié)合三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx在區(qū)間[0,π)上的圖像,讓三者的函數(shù)值“競聘”表示直線的斜率,善于將教材中抽象的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于接受的“火熱”的思維,實現(xiàn)思維過程的重構(gòu),有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的真諦,還呆板的課堂一個自然和諧、興趣盎然的動態(tài)生成的“思維演練場”.
事實上,每一個數(shù)學(xué)概念雖然是千錘百煉的數(shù)學(xué)精華,其起源與產(chǎn)生都是自然和諧的產(chǎn)物,然而,受篇幅的限制,教材不可能將它的來龍去脈一一展示出來,所經(jīng)歷的“火熱”思考也無法呈現(xiàn),這就需要教師“智慧”教材,還原其發(fā)生、發(fā)展過程的情境,體驗“數(shù)學(xué)化”的思想,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語言表達世界,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).
案例(三)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1.引入
2.設(shè)計初衷
教師丙:在已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后,引領(lǐng)學(xué)生“五點法”畫圖,以“幾何畫板”的動畫形式演示余弦函數(shù)的圖像的生成過程,最后強化性質(zhì)的應(yīng)用.
3.反思
教師丙借助于“幾何畫板”以動畫的形式動態(tài)地演示余弦函數(shù)的圖像的生成過程,更為貼合教材的理念,也有利于學(xué)生理解誘導(dǎo)公式的功能,理解有待學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖像變換,是值得提倡的,也是多媒體技術(shù)的價值之所在.但是,余弦函數(shù)的性質(zhì)也借助于PPT技術(shù)一屏一屏地展示,不給學(xué)生思考的過程,扼殺了學(xué)生的激情,特別是后續(xù)的“鞏固深化”“發(fā)展思維”“高考鏈接”等,例、習(xí)題也沒有“留白”,多達30屏之多,純屬“填鴨”,表面上看,多媒體技術(shù)的應(yīng)用非常熟練,比較“引人入勝”,知識目標已達成,還挺“高效”的.事實上,學(xué)生毫無激情可言,學(xué)生的異口同聲更顯“演戲”,浮于表面而已,全然忽視核心素養(yǎng)的培育.
數(shù)學(xué)的高度抽象等特點都是非常人思維的結(jié)晶,數(shù)學(xué)教學(xué)是重心,多媒體技術(shù)是工具.對多媒體技術(shù)感興趣的部分教師在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上為了突破難點進行多媒體微課制作,是難能可貴的,但炫耀多媒體技術(shù)是誤區(qū).“核心素養(yǎng)引領(lǐng),媒體技術(shù)助力!”這才是正道.
案例(四)雙曲線標準方程的推導(dǎo)
1.引入
在歸納出雙曲線的定義后,教師丁啟發(fā)學(xué)生,提出探究問題:“請問,你能類比橢圓的標準方程的推導(dǎo)過程來推導(dǎo)雙曲線的標準方程嗎?”然后巡視,個別輔導(dǎo),4~5分鐘后略作點評進入下一個環(huán)節(jié).
2.設(shè)計初衷
學(xué)生已經(jīng)熟悉了橢圓標準方程的推導(dǎo)過程,因此,學(xué)生應(yīng)用類比的方法推導(dǎo)雙曲線的標準方程,應(yīng)該有能力完成的.
3.反思
教師丁應(yīng)用類比的方法是完全合理有效的,點評課例時,筆者問到:“給你5分鐘的時間,你能順利地推導(dǎo)出雙曲線的標準方程嗎?”
其實,雙曲線的標準方程的推導(dǎo)過程承載著以下功能:
③特征量a,b,c數(shù)量關(guān)系b2=c2-a2的由來,而不再是橢圓中的b2=a2-c2;
④數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)培育的基本經(jīng)驗活動中,對數(shù)學(xué)的簡潔美的體驗.
教師丁的處理并沒有給學(xué)生充足的時間,使得學(xué)生缺失了基本技能的形成,沒有經(jīng)歷基本經(jīng)驗活動的歷程,使得培育核心素養(yǎng),特別是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的絕佳時機喪失.
學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有漸進性,特別是數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸形成和發(fā)展起來的,因此,數(shù)學(xué)教學(xué)要注重過程性.這里的“過程”主要體現(xiàn)在兩個方面:一是數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程;二是學(xué)生的思維活動過程.注重“過程”,教師就要遵循學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律,讓學(xué)生簡約地經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程.而雙曲線的標準方程的推導(dǎo)恰好是培育學(xué)生的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的極佳途徑之一,教師應(yīng)該給予學(xué)生充分的時間,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界,通過建立和求解數(shù)學(xué)模型解決實際問題,通過抽象符號或直觀圖形表示具有某種共同特征的對象,通過精確計算定量地分析問題,通過推理探尋解決問題的路徑,通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)的特征化繁為簡,在基本經(jīng)驗活動中體驗數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的功能,提高了學(xué)生自己分析和解決問題的能力,學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界[2].
以上筆者結(jié)合參賽數(shù)學(xué)教師的課例點評,對如何領(lǐng)悟教材的意圖、理解教學(xué)的真諦、正待多媒體的助力、聚焦核心素養(yǎng)的引領(lǐng),如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升教學(xué)品位,作了一些思考和探討.筆者的思考也許是幼稚的,認識也許是膚淺的,但總可以拋磚引玉,供方家批評指正.
1.岳峻,梅磊.領(lǐng)悟教材意圖 提升教學(xué)品位——以數(shù)學(xué)歸納法為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2016(5).
2.岳峻.以數(shù)學(xué)審題 探核心素養(yǎng)如何落地[J].數(shù)學(xué)通報,2016(11).
*本文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐途徑與策略的研究》的階段成果;安徽省阜陽市教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于微課的翻轉(zhuǎn)課堂的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究》(編號FJK16054)的階段成果;岳峻名師工作室的初步研究成果.