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    小議中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

    2017-10-13 05:05:16江蘇省南通中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年19期
    關(guān)鍵詞:定義域單調(diào)函數(shù)

    ☉江蘇省南通中學(xué) 張 勤

    小議中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

    ☉江蘇省南通中學(xué) 張 勤

    數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授科學(xué)的知識(shí),更重要的是在教學(xué)的過(guò)程中優(yōu)化學(xué)生的思想品質(zhì),讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”,即掌握數(shù)學(xué)思維方法,發(fā)展思維品質(zhì),促使學(xué)生形成多種能力.

    數(shù)學(xué)思維品質(zhì)具有四個(gè)方面的特征:靈活性、創(chuàng)造性、批判性和發(fā)散性.這四個(gè)方面是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基本標(biāo)準(zhǔn),更是學(xué)生以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和踏上社會(huì)所必需的基本能力.這就為我們指明了在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生能力的基本方向.

    一、變式編題,培養(yǎng)思維的靈活性

    數(shù)學(xué)思維的靈活性表現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題題設(shè)的整體把握的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用已有知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的能力.

    課本知識(shí)比較固定單一,所以我們的教學(xué)在基于課本的前提下,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次的剖析,可以根據(jù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),建構(gòu)新問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)也加強(qiáng)了學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng).

    例如,一元二次不等式的恒成立問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),又是教學(xué)的重點(diǎn).在課堂上先給出了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的引例:

    問(wèn)題1 若對(duì)一切x∈R,不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立,求a的范圍.

    引導(dǎo)學(xué)生分析,這個(gè)問(wèn)題是開(kāi)口向上的拋物線恒在x軸的上方,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述:函數(shù)f(x)=x2-2ax+2-a,只要對(duì)應(yīng)的判別式Δ≤0.鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和自己平時(shí)練習(xí)的反思總結(jié),進(jìn)行變式編題,挖掘這類問(wèn)題還可能出現(xiàn)的形式及解題方法,加強(qiáng)靈活性訓(xùn)練.

    (1)二次項(xiàng)系數(shù)帶字母:若對(duì)一切x∈R,不等式ax2-2ax+2-a≥0恒成立,求a的范圍.

    分析:①a=0,2≥0成立;②a>0,如上Δ≤0;③a<0,根據(jù)圖形此時(shí)無(wú)解.

    (2)函數(shù)定義域有限制條件:若對(duì)一切x≥-1,不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立,求a的范圍.

    分析:①函數(shù)f(x)=x2-2ax+2-a與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),即Δ<0;

    ②函數(shù)f(x)=x2-2ax+2-a與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),即Δ=0;

    ③函數(shù)f(x)=x2-2ax+2-a與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),即

    其他還可以改變函數(shù)的定義域,x可以用sinx等函數(shù)代換,最后要總結(jié)些問(wèn)題“萬(wàn)變不離其宗”,緊緊抓住函數(shù)在定義域上的單調(diào)性、最值,在解題的過(guò)程中要注意靈活運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等.通過(guò)這樣的自己變式編題,自己解決,對(duì)這類問(wèn)題有了一種整體的理解,便于以后靈活的處理.

    二、獨(dú)辟蹊徑,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

    數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性是在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中,通過(guò)思維運(yùn)用新思想、新方法、新觀點(diǎn),揭示問(wèn)題的本質(zhì).

    問(wèn)題2 已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且(f1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0,有

    (1)證明f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性;

    (2)若f(x)≤m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范圍.

    (1)是在已知區(qū)間上證明函數(shù)單調(diào)性,學(xué)生一般都會(huì)利用定義法證明該函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞增(為第(2)問(wèn)作鋪墊).

    (2)要使f(x)≤m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am+1≥fmax,因?yàn)閒(x)≤f(1)=1,所以m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,a∈[-1,1].

    按照一般的方法是進(jìn)行變式用m表示a,再對(duì)a的范圍進(jìn)行討論,得到m的范圍,整個(gè)過(guò)程比較煩瑣.引導(dǎo)學(xué)生是否能用其他的方法解決,比如函數(shù)思想:一次函數(shù)的保號(hào)性.

    令g(a)=-2ma+m2≥0在[-1,1]上恒成立.

    三、錯(cuò)題反思,培養(yǎng)思維的批判性

    數(shù)學(xué)思維的批判性是在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中思維嚴(yán)謹(jǐn)而不疏漏,能準(zhǔn)確地辨別和判斷,善于覓錯(cuò)、糾錯(cuò),以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動(dòng),具有這種思維品質(zhì)的學(xué)生,就會(huì)善于發(fā)現(xiàn)矛盾,一針見(jiàn)血地指出問(wèn)題的癥結(jié),然后采取直接有效的途徑,解決問(wèn)題.

    一方面,在教學(xué)中,我們可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的細(xì)微差異的辨析.例如,在平面內(nèi)任意一條直線都有傾斜角;在平面內(nèi)任意一條直線都有斜率.在深刻理解斜率概念的基礎(chǔ)上,敢于發(fā)現(xiàn)思維中的漏洞,并加以糾正.

    另一方面,可以通過(guò)典型錯(cuò)誤問(wèn)題的分析,提高學(xué)生的辨析能力.

    問(wèn)題3已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),求g(x)=f2(x)+f(x2)的最值.

    錯(cuò)解:因?yàn)閒(x)=1+log2x,所以

    因?yàn)?≤x≤4,令log2x=t,t∈[0,2],

    所以g=(t+2)2-2在[0,2]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=0時(shí),有最小值,g(x)min=2;當(dāng)t=2時(shí),有最大值,g(x)max=14.

    初見(jiàn)解題過(guò)程時(shí),看似沒(méi)問(wèn)題.要引導(dǎo)學(xué)生在思考函數(shù)問(wèn)題時(shí),還是抓住函數(shù)的定義域等性質(zhì).再經(jīng)過(guò)思考后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)到g(x)=(1+log2x)2+1+log2x2,此時(shí)定義域已經(jīng)改變?yōu)?≤x≤2,令log2x=t,t∈[0,1],所以g=(t+2)2-2在[0,1]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=0時(shí),有最小值,g(x)min=2;當(dāng)t=1時(shí),有最大值,g(x)max=7.

    在解題后的反思時(shí),重現(xiàn)剛才的思維過(guò)程,注重隱含條件的運(yùn)用,還可以引申到相關(guān)的方程、不等式中,注重此類情況的應(yīng)用遷移.

    數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的各個(gè)方面是相互聯(lián)系、相互滲透,更是相互促進(jìn)的.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,要基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)思維品質(zhì),根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生不斷的嘗試、探索,將各種思維品質(zhì)在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中有機(jī)地結(jié)合起來(lái),這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的層次.

    四、多元探索,培養(yǎng)思維的發(fā)散性

    思維品質(zhì)的發(fā)散性,是數(shù)學(xué)教學(xué)亟需培養(yǎng)的一種品質(zhì).我們知道,發(fā)散性是思維比較具備啟發(fā)的重要特性,對(duì)于學(xué)生后續(xù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有著重要的作用.培養(yǎng)發(fā)散性最好的方式,是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多元探索,從不同角度解決問(wèn)題去思考.

    問(wèn)題4 當(dāng)a為何值時(shí),不等式x2-ax+a+1>0(x∈[0,1])恒成立?

    分析:對(duì)于本題學(xué)生往往以二次函數(shù)為根基進(jìn)行初步探索,通過(guò)對(duì)圖像的分析,發(fā)現(xiàn)該函數(shù)隨著字母參數(shù)a的變換需要進(jìn)行討論,這屬于分類思想的基本使用,是問(wèn)題解決的一種基本方式;有些能力較強(qiáng)的學(xué)生則將問(wèn)題通過(guò)變換主元的角度切入,通過(guò)變換主元,發(fā)現(xiàn)本題從一次函數(shù)入手,顯得非常容易,利用函數(shù)圖像解決;更有學(xué)生將問(wèn)題分解為兩個(gè)不同函數(shù)切入,從兩個(gè)函數(shù)圖像的角度思考,也不失為一種好方式;甚至有學(xué)生從純粹的代數(shù)角度思考,將不等式的解集中,尋找問(wèn)題解決的機(jī)會(huì),盡管計(jì)算可能有些煩瑣,但是理論角度而言是可行的,而且是直覺(jué)性思維的一種體現(xiàn).

    發(fā)散性1:令函數(shù)f(x)=x2-ax+a+1(0≤x≤1),則函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為,然后分三種情況進(jìn)行討論,分別求出f(x)在各種情況下的最小值,只要使最小值大于0,即可求出a的取值范圍.

    發(fā)散性2:當(dāng)x=1時(shí),不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)a都成立,此時(shí)a∈R.當(dāng)x≠1時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為恒成立.只需求函數(shù)上的最大值ymax,使a>ymax即可.故a的范圍為(-1,+∞).

    發(fā)散性3:在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y1=x2和y2=a(x-1)-1(恒過(guò)定點(diǎn)(1,-1))的圖像.要使y1>y2在x∈[0,1]時(shí)恒成立,直線y2的斜率a應(yīng)大于-1,故a∈(-1,+∞).

    發(fā)散性4:設(shè)原不等式的解集為A,則問(wèn)題可化為:當(dāng)a的取值范圍為何時(shí),[0,1]?A?當(dāng)Δ=a2-4(a+1)<0,即時(shí),A=R,滿足[0,1]?A;當(dāng)Δ=時(shí),不 等 式 的 解 集 A 為時(shí),要使[0,1]?A,必須有或,解得-1<a≤2-或

    綜上有a∈(-1,+∞).

    問(wèn)題的解決使用了多元的探索,解決問(wèn)題不僅僅是尋求問(wèn)題的答案,而是通過(guò)不同的思考去尋找、對(duì)比更合適的問(wèn)題的解決方法.有時(shí)我們對(duì)做過(guò)的題進(jìn)行溫故的時(shí)候,會(huì)發(fā)現(xiàn)其中所含的數(shù)學(xué)思想方法是非常具有典型性和代表性的,對(duì)這些思想方法的提煉、總結(jié)、歸納,提高學(xué)生思維的發(fā)散性,會(huì)給學(xué)生今后的解決問(wèn)題以及思維品質(zhì)帶來(lái)較大的幫助.

    1.蘇小強(qiáng).例談數(shù)學(xué)教學(xué)中多解建構(gòu)探索與思考[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2014(6).

    2.楊建輝.新課程標(biāo)準(zhǔn)下教師教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)具備的幾種意識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2011(2).

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