相關(guān)點(diǎn)法在求軌跡方程中的應(yīng)用
——由教材中的一道例題說(shuō)起

☉南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 高銘秀

相關(guān)點(diǎn)法在求軌跡方程中的應(yīng)用
——由教材中的一道例題說(shuō)起

☉南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 高銘秀

教材是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要載體，由于教材容量的有限，不可能將重要題型、主要方法都面面俱到，因此需要我們深入研究、透徹理解、拓展引申教材內(nèi)容，也包括對(duì)教材中例題或習(xí)題的探究.下面以一道例題為例說(shuō)明.

圖1

例1 如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

本例的給出為我們求軌跡方程提供了一種重要的方法——代入法，也稱相關(guān)點(diǎn)法.

點(diǎn)M的軌跡由點(diǎn)P的軌跡決定，而點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，故可分別設(shè)出點(diǎn)M、P的坐標(biāo)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，代入已知圓的方程即可知點(diǎn)M的軌跡方程為橢圓.

下面就相關(guān)點(diǎn)法在求軌跡方程時(shí)的應(yīng)用，簡(jiǎn)舉幾例.

一、以橢圓為背景

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

解 析 ：（ 1）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），則

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C上，所以，因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.

（2）略.

評(píng)注：本題與例1根出同源，可以視為例1的逆向變換，求解中利用相關(guān)點(diǎn)法，結(jié)合已知條件將所求點(diǎn)P的坐標(biāo)用已知點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，再代入橢圓方程即可求解.

二、以圓為背景

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)A（2，0），曲線y=上的動(dòng)點(diǎn)B，第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，構(gòu)成等腰Rt△ABC，且∠A=90°，則線段|OC|的最大值是________.

圖2

圖3

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N.易知Rt△BAM≌Rt△ACN，所以BM=AN，MA=CN.

設(shè)C（x，y），則B（2-y，x-2）.而點(diǎn)B在圓x2+y2=1（y≥0）上，所以（2-y）2+（x-2）2=1，即點(diǎn)C在以（2，2）為圓心，1為半徑的圓上.

評(píng)注：本題求解中利用平面幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確找到點(diǎn)C與B坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而利用相關(guān)點(diǎn)法求得點(diǎn)C的軌跡方程.

另外也可利用三角換元法解答本題：

設(shè)B（cosθ，sinθ）（0≤θ≤π），C（m，n）（m，n＞0）.因?yàn)锳B⊥AC，則

由①②解得m=2+sinθ，n=2-cosθ或m=2-sinθ，n=cosθ-2（舍去）.

三、以拋物線為背景

圖4

例4 如圖4，拋物線C1：x2=4y；C2：x2=-2py（p＞0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，過(guò)M作C1的切線，切點(diǎn)為A、B（M為原點(diǎn)O時(shí)，A、B重合于O），當(dāng)時(shí) ，切線MA的斜率為

（1）求p的值；

（2）當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程（A、B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）.

解析：（1）p=2.（過(guò)程略）

聯(lián)立③④得MA、MB的交點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)為x0=.根據(jù)條件又有M（x0，y0）在C2上，即所以

當(dāng)x1=x2時(shí)，A、B重合于O，AB的中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足

評(píng)注：本題是典型的求解線段中點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問(wèn)題.這類題目的特點(diǎn)是需要聯(lián)立多個(gè)方程，計(jì)算量比較大且每個(gè)方程之間環(huán)環(huán)相扣，要求書寫認(rèn)真、運(yùn)算準(zhǔn)確.

四、以雙曲線為背景

例5 已知雙曲線x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn).

（2）略.

解析：由條件知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），則

將式①代入②化簡(jiǎn)得（x-6）2-y2=4.

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x1=x2=2，求得M（8，0），也滿足上述方程.

所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x-6）2-y2=4.

（2）略.

評(píng)注：本題以雙曲線為背景，在利用相關(guān)點(diǎn)法求解中，也利用了點(diǎn)差法，同時(shí)要注意對(duì)AB的斜率不存在的情況進(jìn)行討論.

綜上，求曲線軌跡方程的方法除相關(guān)點(diǎn)法以外，還有直接法、定義法、待定系數(shù)法等.高三一輪復(fù)習(xí)在回歸課本、夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)要注重知識(shí)結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)體系的形成，以便提高復(fù)習(xí)的有效性和高考的針對(duì)性，這樣就真的達(dá)到了“做一題，會(huì)一類”的效果.F