例談數(shù)列解題中的常用思想

☉云南省曲靖市會澤實驗高中 許德福

例談數(shù)列解題中的常用思想

☉云南省曲靖市會澤實驗高中 許德福

眾所周知，數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點和難點.不少學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，能解決一些基本量的運算問題，但是在更難的數(shù)列學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)了解題思路不清晰的問題，這與學(xué)生數(shù)列學(xué)習(xí)的高度、數(shù)學(xué)知識理解的本質(zhì)有著重大關(guān)系.更讓筆者擔(dān)心的是，不少教師在教學(xué)中并沒有認(rèn)識到這一點，更是用高強度的訓(xùn)練去替代思考、替換思維，這種教學(xué)方式是要不得的.

數(shù)列教學(xué)在更高層次上的提高如何進(jìn)行？筆者認(rèn)為要用思想方法進(jìn)行滲透，在教學(xué)中加強數(shù)學(xué)相關(guān)知識型思想方法的滲透，在一定程度上既能開拓學(xué)生的思維眼界，也能站在系統(tǒng)的高度認(rèn)識數(shù)列知識中蘊含的豐富的數(shù)學(xué)思想，便于后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，不失為一種過程的認(rèn)識.這里筆者指出，本文中所述的數(shù)列中的思想是知識型的思想方法，并非意識形態(tài)方面的思想方法（如轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法）.

一、規(guī)律思想

數(shù)列第一課時中，我們已經(jīng)教會學(xué)生最基本的數(shù)列思考方向——找規(guī)律.因此可以說規(guī)律思想是數(shù)列最根本的、貫穿于數(shù)列學(xué)習(xí)始終的知識型思想方法，從斐波那契數(shù)列找尋規(guī)律開始，到線性遞推數(shù)列通項的求解，無不蘊含著從無意識規(guī)律到有意識規(guī)律的尋找.因此規(guī)律思想是數(shù)列教學(xué)的重要基本思想.

問題1 在等差數(shù)列｛an｝中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則

解析：這是一個基本問題，學(xué)生求解可以依賴基本量的運算實現(xiàn)，但是在運算過程中，不少學(xué)生通過條件得到了a4+a6+a8+a10+a12=120?a1+7d=24，然后思考（a1+7d）=16.從基本量得到的結(jié)果，我們可以思考，這一定是具備規(guī)律的問題，否則無法從條件兩元一次方程中得到單量a1和d，因此大膽放心地選擇基本量可以找到隱含在條件和結(jié)論中的聯(lián)系.

問題2 ｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

解析：由an+1=2an+n2遞推思考，我們不難發(fā)現(xiàn)形如an+1=pan+f（n）的數(shù)列都是一種有規(guī)律的構(gòu)造，所以，（1）形如an+1=pan+f（n），f（n）為一次函數(shù)時，如an+1=pan+bn+c，構(gòu)造an+1+λ（n+1）+u=p（an+λn+u），利用待定系數(shù)求出λ與u即可.（2）f（n）為二次函數(shù)時，構(gòu)造an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v）利用待定系數(shù)求出λ、u與v即可.因此本題可利用類似構(gòu)造解決：

令an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），

整理，得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+v-u-λ.

因此，尋找數(shù)列問題變化中的不變性，找到規(guī)律性是學(xué)習(xí)數(shù)列問題的一個重要思路.

二、函數(shù)思想

函數(shù)思想是數(shù)列教學(xué)中的重要思想，要引導(dǎo)學(xué)生理解深層次的數(shù)列問題，筆者認(rèn)為必須依托函數(shù)思想進(jìn)行深刻的思想教學(xué)，這種教學(xué)思想的滲透有助于學(xué)生從知識本質(zhì)的角度去理解數(shù)列，站在系統(tǒng)的高度更進(jìn)一步地理解等差、等比數(shù)列.

通項公式 函數(shù)本質(zhì) 求和公式 函數(shù)本質(zhì)等差數(shù)列 an=dn+a1-d 一次函數(shù)Sn= d 2 n2+a1-d 2（ ）n形如Sn=An2+Bn過原點的二次函數(shù)等比數(shù)列 an=a1·qn-1指數(shù)型函數(shù)Sn=-a11-q·qn+a1 1-q（q≠1）形如Sn=Aqn+B且A+B=0的函數(shù)

上述表格將等差數(shù)列、等比數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)進(jìn)行了充分的挖掘，將通項公式與數(shù)列求和公式的函數(shù)本質(zhì)揭示出來，從函數(shù)本質(zhì)出發(fā)可以大大簡化問題的思考道路，我們來思考下面問題：

問題3 等差數(shù)列｛an｝前n項和為Sn，滿足S30=S60，則下列結(jié)論中正確的是________（填序號）.

①S45是Sn中的最大值；

②S45是Sn中的最小值；

③S45=0；

④S90=0.

解析：本題從學(xué)生的角度來說，大部分學(xué)生是以基本量的運算進(jìn)行的思考，將S30=S60進(jìn)行分拆，結(jié)果陷入了基本量運算的復(fù)雜境地.其實我們可以退出來思考，等差數(shù)列求和公式的函數(shù)本質(zhì)是形如Sn=An2+Bn的二次函數(shù)（過原點），因此S30=S60可以推出其對稱軸為n=45處，因為其過原點，顯然S90=0是正確的，考慮到公差可為正數(shù)或負(fù)數(shù)，因此S45可能為最大值，也可能為最小值.從函數(shù)本質(zhì)的視角思考數(shù)列問題，顯然是站在系統(tǒng)的高度思考了數(shù)列本質(zhì)，不必糾結(jié)于基本量這些單量的思考，從而獲得了更深層次的認(rèn)知.這樣的問題還有不少，可以從教材的基本問題來獲得同樣的認(rèn)識.

問題4 等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前（m+n）項的和Sm+n.

解析：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則②，得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.

因為m≠n，所以A（m+n）+B=-1，

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

本題也是可以從基本量運算的角度去尋求思路，但是從函數(shù)思想考慮就不必拘泥于首項和公差這些小節(jié)，從更高的角度簡化了運算，從而獲得較快的解決思路.

三、裝配思想

問題5 記等差數(shù)列｛an｝，｛bn｝前n項和分別是An，Bn，且，求的值.

解析：等差數(shù)列通項和求和之間有著極大的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)是通過下標(biāo)可以獲得的.從等差中項的角度，我們可以裝配通項和求和之間的這種關(guān)聯(lián)，即A11=a1+…+a5+a6+a7+…+a11，即A11=11a6.同理B11=11b6，這樣就建立了和與項之間的聯(lián)系，從而.這種裝配思想，即通過一定的等差性質(zhì)將其不斷的轉(zhuǎn)換，達(dá)到聯(lián)系的目的.

四、子數(shù)列思想

數(shù)列是研究規(guī)律的，從原數(shù)列中找到新的具備規(guī)律的項，稱之為子數(shù)列問題.子數(shù)列問題對于學(xué)生往往掌握不準(zhǔn)，這是因為這個數(shù)列中的項在原來數(shù)列中的位置和新數(shù)列中的位置并不相同，要清晰地找到、分析其位置所在，才能獲得進(jìn)一步思考子數(shù)列問題的項，成為問題解決的關(guān)鍵.

問題6 已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列（d≠0），從數(shù)列｛an｝中抽取部分項ak1，ak2，…，akn成等比數(shù)列，且k1=1，k2=5，k3=17，求數(shù)列｛kn｝的通項.

解析：ak1，ak2，…，akn這些項在數(shù)列中具備雙重身份，在原數(shù)列（也稱母數(shù)列）｛an｝中，其是等差數(shù)列的項，在子數(shù)列｛akn｝中，其是等比數(shù)列的項.設(shè)母數(shù)列｛an｝首項是a1，公差是d，子數(shù)列是等比數(shù)列，公比為q，前三項是ak1，ak2，，則，這三項都來自母數(shù)列，ak1=a1+（k1-1）d=a1，ak2=a1+（k2-1）d=a1+4d，ak3=a1+（k3-1）d=a1+16d，即（a1+4d）2=a1（a1+16d），解得a1=2d.從而ak1=2d，ak2=6d，ak3=18d.因為ak1，ak2，ak3，是子數(shù)列｛ak｝n等比數(shù)列的前三項，則是子數(shù)列的第n項，由此子數(shù)列｛ak｝n=的通項是akn=ak1qn-1=2d·3n-1.在母數(shù)列｛an｝中，akn是第kn項，akn=a1+（kn-1）d=（kn+1）d，從而（kn+1）d=2d·3n-1，即kn=2·3n-1-1.

從問題的解決來看，學(xué)生困難并不在于公比，而是無法清晰地分析清楚在母數(shù)列和子數(shù)列中的具體位置，考慮到其在母數(shù)列中的位置是第幾項，在子數(shù)列等比數(shù)列中的位置是第幾項，因此通過這雙重關(guān)系建立其等式關(guān)系，從而獲得問題的突破口，子數(shù)列問題中蘊含的思想是等值關(guān)系.

五、方程思想

數(shù)列是特殊的函數(shù)，自然也免不了跟方程有千絲萬縷的聯(lián)系.方程思想正是在數(shù)列問題解決過程中，從方程視角進(jìn)行切入思考，特別是對于具備雙變量問題的時候，自然而然利用函數(shù)角度或方程角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而獲得問題的解決.來看一個高考真題：

問題7 設(shè)a1，d是實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的范圍是________.

解析：若｛an｝是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則S5S6+15=（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，化簡后得10d2+1=0，從而，解得或

筆者認(rèn)為，學(xué)生的視角必定首先想到的是首項和公差，利用基本量的化簡代入進(jìn)行基本代換，從而獲得有關(guān)于首項和公差的方程，但是學(xué)生往往受困于此.雙變量問題如何破解？那就思考如何求公差范圍？這里很明顯是一個函數(shù)問題，但是我們從等式中獲得d=f（a1）是比較困難的，因此選擇了方程視角，其實本題可以利用函數(shù)視角，即S5S6+15=0?5a3（6a3+3d）=-15，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系求解，從兩種思路我們不難理解函數(shù)視角與方程視角的聯(lián)系，大大提升了問題解決的眼界和思路.

總之，數(shù)列中具備了很多這樣的小型知識性思想，這是解決數(shù)列問題較好的、特別的、有效的方式.教學(xué)中我們不能僅僅依賴基本量的運算，這樣的方式是缺乏思考的、阻礙思維的方式，對于學(xué)生的長久發(fā)展是不利的，因此選擇一些合適的、積極的、開發(fā)思維的知識型思想在數(shù)列解題中加以滲透，有助于揭示問題的本質(zhì)，更有目的性地向函數(shù)靠攏，這種教學(xué)才是新課程標(biāo)準(zhǔn)希望教師去做的，是鍛煉思維的教學(xué)方式.

1.趙思林.關(guān)于高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的立意［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上半月），2009（1～2）.

2.沈恒.運用整體思想求數(shù)列［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上半月），2009（10）.

3.沈科.數(shù)學(xué)高考難題破解與思想方法的聯(lián)系［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（8）.