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    例析立體幾何中的“體積恒等法”

    2017-10-13 05:05:27江蘇省蘇州市吳縣中學(xué)戴蘭娟
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年19期
    關(guān)鍵詞:成角棱錐三棱錐

    ☉江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) 戴蘭娟

    例析立體幾何中的“體積恒等法”

    ☉江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) 戴蘭娟

    “體積恒等法”就是借助幾何體本身在結(jié)構(gòu)上固有的特點(diǎn),變換視角,將一個(gè)幾何體的體積等價(jià)轉(zhuǎn)化成另一個(gè)便于求出體積的幾何體,從而解決問題.立體幾何中,一般用“體積恒等法”來計(jì)算幾何體的體積、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成角等問題,解題過程中,轉(zhuǎn)化與化歸的思想無處不在.本文借助實(shí)例來談?wù)劇绑w積恒等法”在立體幾何中的具體應(yīng)用.

    一、求體積

    例1 如圖1,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1=3,點(diǎn)P在棱CC1上,則三棱錐P-ABA1的體積為______.

    解析:考慮到棱柱中CC1∥平面ABA1,所以P到平面ABA1的距離與C到平面ABA1的距離相等,這樣就把三棱錐P-ABA1的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐C-ABA1的體積.

    圖1

    圖2

    例2 如圖2,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3cm,AA1=1cm,則三棱錐D1-A1BD的體積為________cm3.

    解析:直接求D1到平面A1BD的距離有相當(dāng)大的難度.因?yàn)榇棺悴灰渍遥钥梢該Q個(gè)角度求三棱錐B-A1DD1的體積.而B到面A1DD1的距離為BA=3,

    點(diǎn)評(píng):這是兩個(gè)求幾何體體積的基礎(chǔ)題目,考查了學(xué)生對(duì)錐體體積公式的運(yùn)用,特別是對(duì)三棱錐這個(gè)特殊的四面體的認(rèn)識(shí)程度.對(duì)于三棱錐的體積問題,通常都需要變換頂點(diǎn)與底面的相對(duì)位置,以便于找到三棱錐的高,往往涉及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

    二、求點(diǎn)到平面的距離

    圖3

    例3 如圖3,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.

    (1)求證:PC⊥BC;

    (2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

    解析:(1)證明略.

    (2)要求點(diǎn)A到平面PBC的距離,其實(shí)就是求三棱錐A-PBC的一條高,可以利用體積恒等法求解.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h,由VA-PBC=VP-ABC可知PD,即

    圖4

    例4 如圖4,在圓錐VO中,O為底面圓的圓心,點(diǎn)A,B在圓O上,且OA⊥OB,若OA=VO=1,則點(diǎn)O到平面VAB的距離為__________.

    解析:本題是典型的運(yùn)用體積恒等法求距離的題目.設(shè)點(diǎn)O到平面VAB的距離為h,由VV-AOB=VO-ABV可知,,即

    點(diǎn)評(píng):在立體幾何中,求點(diǎn)到平面的距離問題,常??梢赞D(zhuǎn)化到三棱錐中,其實(shí)就是求某個(gè)特定的三棱錐的高的問題.再利用三棱錐的特殊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),運(yùn)用體積恒等法,問題就迎刃而解了.

    三、求線面所成角

    圖5

    例5 如圖5,在四棱錐PABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.求直線AB與平面PBC所成角的大小.

    點(diǎn)評(píng):在立體幾何中,求直線與平面所成角問題時(shí),關(guān)鍵要找準(zhǔn)垂足(或求出點(diǎn)到面的距離),這樣線面所成角的問題就轉(zhuǎn)化成線線所成角的問題.

    通過以上實(shí)例,不難發(fā)現(xiàn),利用“體積恒等法”可以回避尋找垂足的具體位置,降低了思維難度,省去了許多煩瑣的作圖與論證過程.在解題過程中,遇到上述問題,若能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“體積恒等法”,便能在很大程度上提高解題效率,達(dá)到事半功倍的效果.

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