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    多想少算視角下2017年全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題分析*

    2017-10-13 05:05:25內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院黃成世
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年19期
    關(guān)鍵詞:成角內(nèi)江解析

    ☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃成世

    ☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

    多想少算視角下2017年全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題分析*

    ☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃成世

    ☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

    數(shù)學(xué)作為思維的科學(xué),其核心價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)就是想問(wèn)題和想問(wèn)題如何解決.因此,高考數(shù)學(xué)命題將“多考點(diǎn)想,少考點(diǎn)算”作為一條基本的命題理念.[1]“多想少算”就自然成為高考數(shù)學(xué)命題的基本原則.研究發(fā)現(xiàn),“多想少算”的命題理念在2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷(共六套)中得到了充分體現(xiàn),值得思考與玩味.這六套試題中的一些題目,若能靈活運(yùn)用“多想少算”的一些策略(如利用重要結(jié)論,利用對(duì)稱性,利用補(bǔ)體法,觀察法,將問(wèn)題特殊化,利用極限,發(fā)掘隱含條件,回避分類討論,利用設(shè)而不求等),就能充分感受“多想少算”的威力與魅力.

    一、利用重要結(jié)論

    利用重要結(jié)論解題,大大簡(jiǎn)化運(yùn)算,尤其是對(duì)于選擇題和填空題可以達(dá)到秒殺的效果.需要說(shuō)明的是,數(shù)學(xué)中的重要結(jié)論不應(yīng)去死記硬背,而是應(yīng)在理解或直覺(jué)的基礎(chǔ)上去記憶.

    例1(2017年全國(guó)卷Ⅰ理)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為( ).

    A.16 B.14 C.12 D.10

    二、利用對(duì)稱性

    對(duì)稱美是一種重要的數(shù)學(xué)美.高考命題專家特別青睞用“對(duì)稱美”理念設(shè)計(jì)試題.考生若有數(shù)學(xué)審美意識(shí),充分發(fā)掘題目中的數(shù)學(xué)美的信息(包括圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等),往往能快速找到解題思路,并大幅度減少運(yùn)算量,從而達(dá)到“想美少算”的目的.

    例2(2017年全國(guó)卷Ⅲ理)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( ).

    解析:由于函數(shù)y=x2-2x的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱,且函數(shù)ex-1+e-x+1的圖像也關(guān)于x=1對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有唯一零點(diǎn),所以零點(diǎn)只能為x=1,因此(f1)=-1+2a=0,解得.故選C.

    例3 (2017年全國(guó)卷Ⅰ文)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則( ).

    A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增

    B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減

    C.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱

    D.y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

    解析:由于f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故選C.

    評(píng)注:如果函數(shù)f(x),滿足?x∈D,恒有f(a+x)=f(bx),那么函數(shù)的圖像有對(duì)稱軸;如果函數(shù)f(x),滿足?x∈D,恒有f(a-x)=-f(b+x),那么函數(shù)f(x)的圖像有對(duì)稱中心這兩個(gè)結(jié)論是處理對(duì)稱問(wèn)題的基本工具,很有用.

    三、利用補(bǔ)體法

    補(bǔ)體法的本質(zhì)是從宏觀的角度看待和處理立體幾何問(wèn)題.補(bǔ)體法就是將原已知幾何體進(jìn)行修補(bǔ)與改造(即“造形”),使新幾何體成為比較熟悉的特殊的幾何體,如正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、錐體、臺(tái)體、球體等,再利用新幾何體的性質(zhì),探求問(wèn)題簡(jiǎn)便解法的思想方法.“造形”是構(gòu)造圖形的簡(jiǎn)稱.“造形”含有創(chuàng)造性的成分,這需要考生具有創(chuàng)新意識(shí).

    例4(2017年全國(guó)卷Ⅱ理)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( ).

    解析:此題把直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,把直線BC1平移到AD1,則異面直線AB1與BC1所成角為∠B1AD1.

    因?yàn)椤螦BC=120°,所以∠B1A1D1=180°-120°=60°,從而

    在△AB1D1中,由余弦定理,得cos∠B1AD1=,故選D.

    例5 (2017年全國(guó)卷Ⅲ理)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:

    ①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角;

    ②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角;

    ③直線AB與a所成角的最小值為45°;

    ④直線AB與a所成角的最大值為60°.

    其中正確的是______.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))

    解析:由題意,AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由AC⊥a,AC⊥b,又AC⊥圓錐底面,所以在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B,作BD∥a,交底面圓C于點(diǎn)D,如圖1所示,連接DE,則DE⊥BD,所以DE∥b.

    老頭子慢慢的從一堆破舊衣服里爬出來(lái),露出一個(gè)白發(fā)蒼蒼滿是熱汗的頭顱,發(fā)紅的小臉上寫著疲倦的微笑,離開了傀儡后,就把傀儡重新扶起,自言自語(yǔ)的說(shuō)著:“王九,好小子,你真干。你瞧,我說(shuō)大爺會(huì)來(lái),大爺不全來(lái)了嗎?你玩得好,把趙四這小子扔倒了,大爺會(huì)大把子銅子兒撒來(lái),回頭咱們就有窩窩頭啃了。瞧,你那臉,大姑娘樣兒。你累了嗎?怕熱嗎?(他一面說(shuō)一面用衣角揩抹他自己的額角。)來(lái),再來(lái)一趟,好勁頭,咱們趕明兒還上南京國(guó)術(shù)會(huì)打擂臺(tái),給北方掙個(gè)大面子!”

    圖1

    由圖可知③正確.

    很明顯,可以滿足平面ABC⊥直線a,則直線AB與a所成角的最大值為90°,④錯(cuò)誤.

    故選②,③.

    四、觀察法

    觀察是認(rèn)識(shí)事物的基本方法,也是尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之思路的基本策略.

    例6 (2017年全國(guó)卷Ⅱ文)過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,則點(diǎn)M到直線NF的距離為( ).

    思路2:由于直線l過(guò)焦點(diǎn),容易聯(lián)想到圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程

    五、將問(wèn)題特殊化

    運(yùn)用特殊化策略是解答選擇題和填空題最常用的簡(jiǎn)便方法.從特殊到一般是人們思考問(wèn)題的根本方法,也是探求解題思路的基本策略.[1]

    解析:對(duì)于一些選擇題和填空題,可以用特殊值法解之.可令m=1,焦點(diǎn)在x軸上,當(dāng)M在y軸上時(shí),剛好滿足∠AMB=120°且是最大值,如果再增大m很明顯不成立,排除B、D.再令m=4,則焦點(diǎn)在y軸上,通過(guò)計(jì)算最大值∠AMB≤120°,故選A.

    六、利用極限

    利用極限的思想方法,可以簡(jiǎn)潔明快地判斷超越函數(shù)在極限狀況下的圖像趨勢(shì).

    圖2

    解析:當(dāng)x→+∞,則y→+∞,所以排除B、C;當(dāng)x→0,y→+∞,排除A,故選D.

    七、發(fā)掘隱含條件

    解析:本題要抓住以b為半徑作圓A,根據(jù)雙曲線的圖像性質(zhì),則必定有A與M(N)的連線垂直x軸.又因?yàn)椤螹AN=60°,則,又由a2+b2=c2,則

    評(píng)注:本題解法充分運(yùn)用挖掘隱含條件的方法,表面上可能只是把b當(dāng)作圓A的半徑,但更深的挖掘卻發(fā)現(xiàn)能與雙曲線的虛半軸長(zhǎng)b聯(lián)系起來(lái),使本題的計(jì)算量大大減少.

    八、回避分類討論

    評(píng)注:這里巧妙地避免了對(duì)x取值范圍的全面討論,使解答顯得簡(jiǎn)潔明快.

    九、利用設(shè)而不求

    “設(shè)而不求”是一種很有用的數(shù)學(xué)解題策略,采用設(shè)而不求的方法,往往可以避免盲目推理和計(jì)算而造成的大量煩瑣工作,從而達(dá)到簡(jiǎn)捷、快速的解題效果.

    例11 (2017年全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( ).

    A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y

    C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

    解析:設(shè)2x=3y=5z=t,則t>1.

    由2x=t,得2x=2log2t=log2t2,即

    即有3y<2x<5z.故選D.

    “多想少算”作為一種基本的數(shù)學(xué)解題策略,遠(yuǎn)不止上述九種,還有很多.在2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷(共六套)中,涉及“多想少算”的題目也并不止這些題目,其他一些題目也明含或暗含了“多想少算”的理念,值得研究.

    1.趙思林,李興貴.多想少算——解高考數(shù)學(xué)題的基本策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2010(12).被人大復(fù)印《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2011年4期全文轉(zhuǎn)載.F

    教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目(ZG0464);四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目(ZY16001);內(nèi)江師范學(xué)院2016年度校級(jí)學(xué)科建設(shè)特色培育項(xiàng)目(T160009,T160010,T160011).趙思林系本文通迅作者.

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