兩種途徑話解題
——以三角問題為例

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 田利劍

兩種途徑話解題
——以三角問題為例

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 田利劍

數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和理解是循序漸進(jìn)、螺旋上升的.學(xué)生解題也自然是一個(gè)這樣的過程，筆者認(rèn)為有些解題的錯(cuò)誤是不可避免的，但是通過其出現(xiàn)的錯(cuò)誤，加深了知識(shí)的理解，自然而然獲得了知識(shí)的遷移和更深層次的思考，從而獲得了對數(shù)學(xué)知識(shí)更寬泛的認(rèn)識(shí).羅增儒教授這樣評(píng)價(jià)學(xué)生對于解題的錯(cuò)誤：“我認(rèn)為在恰當(dāng)時(shí)候是允許學(xué)生犯錯(cuò)的，不要過于苛求，我作為學(xué)生時(shí)代也是常常出現(xiàn)各種運(yùn)算錯(cuò)誤、理解偏差，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富，我愈來愈發(fā)現(xiàn)原來的數(shù)學(xué)知識(shí)理解是那么的不深刻，老師用很好的對比讓我理解了知識(shí)該如何運(yùn)用，成就了今天我對數(shù)學(xué)解題的一點(diǎn)淺薄認(rèn)識(shí).”

從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最關(guān)鍵問題來看，如何利用數(shù)學(xué)知識(shí)解好數(shù)學(xué)題是一個(gè)永恒的難題.大量研究表明，學(xué)生對于問題首先采用的總是直觀性的思考為主，在遇到困難時(shí)候，直覺性思考往往失效，此時(shí)其比較缺乏對問題的緊密思考（對問題多角度、結(jié)合知識(shí)性的思考），從而更多的是解題的失敗.基于這些研究，以及筆者自身所任教學(xué)生的一些狀況，結(jié)合案例談一談如何引導(dǎo)學(xué)生走出問題解決的誤區(qū)，與大家交流，不足之處懇請批評(píng)指正.

一、代數(shù)變形能力

中學(xué)數(shù)學(xué)主要是圍繞幾何和代數(shù)進(jìn)行的解題研究，從高考真題來說，既有代數(shù)運(yùn)算的考查也有圖形策略的滲透.相比而言，筆者認(rèn)為代數(shù)變形的能力卻是中學(xué)生比較匱乏的.主要原因是：第一，初等數(shù)學(xué)中代數(shù)變形的技巧比較多，學(xué)生掌握不了所有的、全面的變形，有些問題的變形技巧又不具備一般性，因此這樣的代數(shù)變形的技巧運(yùn)用少之又少.第二，高考對代數(shù)變形的一般技巧有要求，對特殊的技巧并不推崇，因此學(xué)生對代數(shù)變形也愈來愈不重視，殊不知平時(shí)沒有略高于應(yīng)試的代數(shù)變形做準(zhǔn)備，是很難在實(shí)戰(zhàn)中獲得快速解題的效果.

分析：初學(xué)者對于本題的代數(shù)變形是一籌莫展的，經(jīng)過不斷對兩角和與差正弦公式的逆向使用，學(xué)生漸漸理解了公式的逆向處理，從而獲得了本題的處理.y=，由利用正弦函數(shù)圖像和整體性知識(shí)可知，所以原函數(shù)值域?yàn)椋?2，1］.

分析：對于本題的處理，其實(shí)是代數(shù)二次函數(shù)換元類，利用余弦二倍角公式可以較為明顯地處理為整體換元后的二次函數(shù)，即由可知，可以求得函數(shù)值域?yàn)?/p>

換元是代數(shù)變形的一種基本思路，中學(xué)數(shù)學(xué)中大都是初等數(shù)學(xué)，因此技能顯得尤為重要一些，在技能的背后整體思想和換元思想往往貫穿于問題解決的始終，因此引導(dǎo)學(xué)生獲得換元思想下的代數(shù)變形是根本.

分析：本題進(jìn)一步提高了代數(shù)變形的要求，初學(xué)者從三角層面難以發(fā)現(xiàn)本題如何處理，學(xué)生的解決往往是只關(guān)注平方項(xiàng).如何處理類似問題呢？如何走出解題常見的誤區(qū)？教師要從代數(shù)式的本質(zhì)上去引導(dǎo).觀察本題我們發(fā)現(xiàn)中每一項(xiàng)的系數(shù)都是二次的，考慮到正弦等同于余弦，因此這是一個(gè)典型的齊次式.顯然，上述問題應(yīng)該是二次齊次式，即通過降次獲得代數(shù)變形的途徑.原式=+1，由可知，所以原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

從學(xué)生掌握類型來看，本題也稱之為降冪結(jié)合兩角和正弦公式逆用，但是其基本的“直接的”代數(shù)轉(zhuǎn)換是必須要理解和掌握的.

變式4：求函數(shù)y=（sinx+1）（cosx+1） 的值域（x∈

分析：進(jìn)一步提高代數(shù)變形的能力.學(xué)生對于本題的代數(shù)變形就顯得有些力不從心，考慮前期解決的問題，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往一籌莫展.比較多的學(xué)生采用了將區(qū)間端點(diǎn)代入的解決方式，顯然是沒有道理的.將原式展開為y=sinx+cosx+sinxcosx+1，若學(xué)生深刻理解變式3自然也能思考變式4，從系統(tǒng)的高度可以發(fā)現(xiàn)：本式不是齊次式，顯然sinx+cosx是一次的，而sinx·cosx是兩次的，因此本題應(yīng)該是典型的二次函數(shù)問題.當(dāng)然，需要一定的解決技巧才能將問題顯現(xiàn)出來.令t=sinx+cosx，則，而由得，則，所以函數(shù)值域?yàn)?/p>

學(xué)生錯(cuò)誤的主因是不能分析代數(shù)式的本質(zhì)，其往往考慮問題更為表面化，導(dǎo)致其愈來愈不會(huì)思考問題.教學(xué)的主要任務(wù)是幫助學(xué)生從系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)代數(shù)式的本質(zhì)是二次函數(shù)，那么代數(shù)變形的主要任務(wù)是將其代數(shù)式顯現(xiàn)出來，通過簡單的換元技巧就可以實(shí)現(xiàn).

分析：有了變式4的鋪墊，本題的解決有些簡單明了.可以這樣考慮，分母中是一次函數(shù)的本質(zhì)，分子中是二次函數(shù)，在學(xué)生頭腦中最基本的模型恰恰是“對勾函數(shù)”模型或其相關(guān)，因此代數(shù)變形在腦海中已經(jīng)成型.由sinx+cosx≠-1，所以x≠2kπ+π且，令t=sinx+cosx，則，可得其定義域：且t≠-1，所以函數(shù)值域?yàn)?/p>

二、圖形思維能力

中學(xué)數(shù)學(xué)的問題還不能僅僅依賴代數(shù)變形，還需要圖形思維能力的積累.華羅庚說：中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)和幾何是相輔相成的，切勿孤立了某一方面.在近幾年的高考中，圖形化的思維愈來愈成為重點(diǎn)的考查傾向，這是區(qū)分學(xué)生思維能力優(yōu)劣的較好方式.

圖1

分析：本題可以從代數(shù)變形的方面處理，相對來說其含義并不清晰.若能從圖形思維出發(fā)，本題思路顯得更為清晰明顯.如圖1，y的幾何意義是定點(diǎn)A（-2，3）與橢圓1上任意一點(diǎn)（sinx，2cosx）連線的斜率，所以y的最值即為切線AC、AB的斜率.設(shè)切線方程y=k（x+2）+3，聯(lián)立，得（k2+4）x2+（4k2+6k）x+（4k2+12k+5）=0.令Δ=0，得，所以函數(shù)值域?yàn)閷W(xué)生在本題考慮中最容易犯錯(cuò)的地方在于不能理解本題的圖形含義，其對于幾何角度欠缺知識(shí)整合，導(dǎo)致其無從下手.要引導(dǎo)學(xué)生走出解題誤區(qū)的關(guān)鍵是加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，從斜率的角度思考是關(guān)鍵.

分析：初看本題是典型的代數(shù)問題，但是通過多種手段探索發(fā)現(xiàn)，本題并不是非常容易求解.從代數(shù)變形來講，要去根號(hào)必須采用平方手段，因此用的思路將需要使用大量三角公式和運(yùn)算，而且對于學(xué)生來說計(jì)算是非常復(fù)雜的.換一個(gè)視角，從圖形思維的角度試試.利 用 1=cos2θ+sin2θ可 將 函 數(shù) 變 形 為 f（θ）=，則x表示為點(diǎn)M（cosθ，sinθ）到點(diǎn)P（1，1）的距離，y表示為點(diǎn)M到Q（-1，0）的距離，易知點(diǎn)M（cosθ，sinθ）在單位圓上運(yùn)動(dòng)，故將問題轉(zhuǎn)化為已知兩定點(diǎn)，求單位圓上動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值，數(shù)形結(jié)合得

縱觀本題的解決思路，可以引導(dǎo)學(xué)生兩個(gè)方面：第一是中學(xué)數(shù)學(xué)問題的解決思路不外乎代數(shù)和幾何，兩者是相輔相成的，若代數(shù)極為容易，則幾何相對復(fù)雜，若代數(shù)相對復(fù)雜，則幾何較為簡潔，這是辯證的哲學(xué)思想在解題中的體現(xiàn).第二，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)固有的模式識(shí)別中解脫出來，不斷創(chuàng)新思維，走出固有的解題誤區(qū)想法，這有助于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng).

本文從代數(shù)變形和圖形思維的兩個(gè)角度小議了學(xué)生解題應(yīng)該掌握基本想途徑，從問題中去尋求合適的途徑，避免了學(xué)生在解題中走入固有的思維誤區(qū).引導(dǎo)學(xué)生走出解題誤區(qū)，恰恰需要上述兩種基本途徑：即代數(shù)變形能力和圖形思維.筆者以三角函數(shù)問題為例，談及不夠深刻，懇請讀者指正.

1.吳成海.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育應(yīng)著力于思維培養(yǎng)［J］.《新課程·教育學(xué)術(shù)》，2011（7）.

2.王建鵬.一道試題的析題展示［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.

3.鮑建生等.障礙教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（1）.

4.鄭毓信.解題教學(xué)理論的必要發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（1）.