豎井正方形地基固結度解答及其應用

牛犇，唐曉武，張超杰，陳秀良

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豎井正方形地基固結度解答及其應用

牛犇1, 3, 4，唐曉武2，張超杰5，陳秀良5

(1. 中交四航工程研究院有限公司，廣東廣州，510230；2. 浙江大學濱海與城市巖土工程研究中心，浙江杭州，310058；3. 中交交通基礎工程環(huán)保與安全重點實驗室，廣東廣州，510230；4. 華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州，510641；5. 浙江省水利河口研究院，浙江杭州，310020)

推導考慮正方形影響區(qū)以及影響區(qū)邊界透水性的豎井地基固結度解答式。在面積相同的情況下，不同形狀的影響區(qū)(正方形、正六邊形、圓形)的固結度計算結果存在一定的差別。用圓形形狀代替正六邊形形狀產生較小的計算誤差，而用圓形形狀代替正方形形狀則會產生較大的計算誤差。在考慮時間離散以及孔壓傳遞的因素的基礎上，將豎井正方形固結解應用于對模袋系統(tǒng)固結度的估算，估算結果與有限元計算結果基本完全吻合，而與實際室內實驗結果存在較小誤差，但是在誤差允許范圍之內。通過幾何參數分析，為設計人員改善系統(tǒng)排水條件、實現加快系統(tǒng)固結提供參考，通過物性參數分析，對模袋系統(tǒng)材料的選取提供依據。

正方形影響區(qū)；邊界透水；排水板；模袋；固結

經典理論對于砂井地基固結問題的求解是對砂井周圍影響區(qū)域進行假設，將其等效簡化為圓形區(qū)域進行推導計算[1?5]。實際上，在真實施工條件[6?9]下，排水板的打設存在一機多帶同步施工，兩排或者三排排水板同時打設，最終形成的砂井影響區(qū)域是正方形或者是正六邊形[10?11]，而簡化為圓形區(qū)域則將與實際情況存在一定偏差。在圓形區(qū)域形狀的固結理論中，對于同一深度的截面，最終的固結度與影響區(qū)域的半徑e成相關變化，同一半徑的圓上的點其固結度都是相同的。而將影響區(qū)考慮為更加接近實際的正方形時，其固結性狀及其影響因素有待研究。基于以上分析，本文考慮砂井周圍影響區(qū)域為正方形形狀，推導正方形影響區(qū)情況下砂井地基固結問題的固結度解答。在考慮時間離散和孔壓傳遞的因素之后，將理論解答應用于打設排水板充泥模袋固結問題的估算。最后，對豎井正方形地基固結解在模袋系統(tǒng)中的應用理論進行幾何參數和物性參數分析，得到固結度受參數變化的影響規(guī)律及對相關參數的敏感性。

1 理論推導

本文參考了六邊形形狀影響區(qū)的砂井地基理 論[10?11]以及部分透水邊界問題[12?14]的研究，對考慮正方形形狀影響區(qū)和部分透水邊界的固結問題進行了建模及公式推導。

1.1 假設條件

在推導正方形影響區(qū)、部分透水邊界、有涂抹區(qū)、兩面透水的固結理論過程中，影響區(qū)、涂抹區(qū)、砂井形狀均等效為正方形。其假設條件如下。

1) 考慮Barron的等應變條件。沿向的固結考慮沿橫截面的平均超孔隙水壓力。

向為圖1中垂直于平面的方向。

2) 為模型簡化計算，假設頂部的荷載為一次瞬時施加并保持恒定，并有以下條件成立：

3) 求解過程中連續(xù)條件為：排水板與土體交界面孔壓和流量連續(xù)。

1.2 正方形影響區(qū)求解

正方形影響區(qū)的固結度解析解求解模型如圖1所示。由于正方形呈對稱形狀，故只需對其中1/8部分進行求解。圖1中：和為正方形影響區(qū)的半徑；和為排水板半徑；和為涂抹區(qū)半徑；w為排水板的滲透系數；x為土體的滲透系數；s為涂抹區(qū)的滲透系數；01為部分透水邊界的滲透系數；和分別為部分透水層在和方向的厚度。以下解答均基于如圖1所示的1/4正方形區(qū)域的上部三角形區(qū)域進行求解。

圖1中用斜線標注的陰影區(qū)域為研究的對象。橫截面為陰影區(qū)域、厚度為d的土體單元在d時間內流出的水量為

k為沿土體方向的滲透系數；為陰影單元的面積，大小為。

圖1 模型截面計算簡圖

土體單元體積變化為

由d=d，土體單元流量變化等于陰影單元體體積變化，得到土體單元控制方程為

(3)

由假設(3)和(1)，并考慮兩端透水的邊界條件得：

(5)

；；；(6)

其中：為砂井地基總深度。

根據控制方程，并依據假設條件(4)，(5)和(6)，得到圖1中模型的平均孔壓及固結度最終解答為：

(8)

其中：

；；；

；；；

；

1.3 正方形、正六邊形、圓形影響區(qū)解答的比較

在得到以上正方形影響區(qū)固結解后，將該解與正六邊形形狀影響區(qū)的解[10]以及工程實際中廣泛采用的謝康和單井圓形影響區(qū)固結解[15?16]進行對比。選擇圓形半徑為，利用面積等效得到了正方形影響區(qū)、正六邊形影響區(qū)的幾何參數。三者幾何尺寸示意圖如圖2所示，不同形狀固結解結果對比如圖3所示。

由圖3可見：不同影響區(qū)形狀固結度解答所得到的固結規(guī)律是一致的，3條固結曲線形狀類似；正六邊形影響區(qū)與經典圓形影響區(qū)相比，其固結度計算結果十分相近，最大處不超過4%；但是正方形影響區(qū)與圓形影響區(qū)相比，則存在較大的誤差；在正方形影響區(qū)固結度達到50%時，其最大固結度差值達9%，此時相對誤差達18%。另外，橫坐標軸是以時間因子取對數之后標識的，以達到相同固結度來對比正方形影響區(qū)與圓形影響區(qū)對應的時間，計算結果表明：用圓形形狀影響區(qū)來替代正六邊形影響區(qū)計算土體固結是合適的，其結果在工程允許范圍之內，而用圓形形狀影響區(qū)代替正方形影響區(qū)計算土體固結度則存在較大誤差，此時就有必要考慮實際的正方形影響區(qū)形狀對固結問題進行計算。

圖2 面積相等的正方形、正六邊形和圓形區(qū)域

1—四邊形影響區(qū)；2—六邊形影響區(qū)；3—圓形影響區(qū)。

2 在模袋固結問題中的應用

近年來，沿海地區(qū)加大對灘涂資源的利用，圍墾項目增多[17?19]。在海堤填筑中，出現了新的采用充泥模袋的施工工藝(如慈溪四灶浦圍涂工程的沖泥模袋)。相對于傳統(tǒng)工藝[20?24]而言，應用充泥模袋作為海堤的主體結構優(yōu)點較多，能夠解決石料需求量大、造價昂貴、施工工期長、斷面尺寸大等各種問題。

新型充泥模袋的施工過程為：將灘涂淤泥填充進土工模袋(其中包含埋設排水板的過程)，待其固結至滿足設計要求，作為填充材料填筑海堤堤心。在此施工工藝中，充泥模袋系統(tǒng)的固結速率是影響施工的工期最關鍵的因素。在模袋內部打設排水板，增加了排水通道，加快模袋系統(tǒng)固結速率，縮短施工工期。

將淤泥填充進模袋，根據不同的模袋材質，模袋的橫向截面形狀存在2種情況：材質軟的模袋變?yōu)樯喜繛榘雮€橢圓下部為近似半個長方形的整體形狀，材質硬或者邊角處有骨架的土工管袋則變?yōu)榻频恼叫涡螤?。無論是哪一種形狀，隨著固結的進行，模袋都會逐漸變得扁平，最終固結完成時，模袋截面變成1個扁平的長方形形狀。軟質材料模袋的變形示意圖如圖4所示。

圖4 軟質模袋變形示意圖

2.1 長方形截面固結度表達式

根據描述，打設排水板充泥模袋體系的固結問題可以考慮為水平放置、周邊為部分透水邊界的砂井地基固結問題，可應用本文得出的考慮邊界透水性的豎井正方形地基固結度解答來估算其固結結果。相比于考慮采用圓形影響區(qū)的解答來估算，應用正方形形狀的解答更準確。

如果考慮模袋系統(tǒng)固結所形成的截面為正方形，可以將本文推導的固結解直接應用于計算。但是，一般來說，隨著泥的固結，模袋外形會形成1個扁平的長方形，所以，為其分配權重系數，應用豎井正方形地基固結解對長方形形狀的解答進行估算。

具體思路為：分別求出以長方形截面的長、寬為邊長的正方形截面的固結度解答，為其分配權重系數。長方形截面形狀固結度估算結果表達為

在此基礎上，為考慮充泥模袋體系的固結過程，將固結時間進行離散，充分考慮固結過程中的各個參數變化。

將模袋系統(tǒng)的固結過程分為數個階段，每個階段均采用式(9)的估算表達式進行計算。同時，在每個階段的初始時，考慮了初始超靜孔壓的傳遞：

(11)

2.2 充泥模袋系統(tǒng)固結度估算結果的驗證

本節(jié)利用2.1節(jié)中的方法進行計算，同時，將結果與有限元軟件ABAQUS模擬結果及實際室內實驗結果進行比較。計算參數均來源于浙江省水利河口研究院的浙江省科技廳院所重大專項“濱海淤泥資源化利用關鍵技術研究創(chuàng)新人才培養(yǎng)”科研項目實驗。

2.2.1 理論算例參數與有限元計算

在計算中，式(9)中的參數分恒定不變與逐步變化2種情況。

實驗分5級加載，每級荷載施加時間為5 d，計算同樣劃分為5個階段。計算過程中恒定不變的參數取值見表1。變化的參數包括每個階段模袋兩端的荷載、模袋土的滲透系數、模袋土的壓縮模量、初始孔壓，見表2。其中初始孔壓的計算方法參見式(10)。第1階段的初始平均超靜孔壓為0，其后每個階段的初始平均孔壓則根據計算得出。表2中，和分別表示大、小正方形的初始平均超靜孔壓計算結果。

同時，同步利用ABAQUS進行有限元分析計算。土體本構采用摩爾庫侖模型。模袋體系的模型實體圖及框架圖見圖5(a)。計算分析步設置2步：第1步為施加荷載階段，時間取盡量短，0.001 s；第2階段為土體固結階段，采用自動步長。起始步長為2×105s。見圖5(b)。

約束條件設置：限制底面沿豎向(向)位移；限制沿方向模型兩表面的變形；在固結階段剛開始時，模型所有表面孔壓為0。

模型網格劃分如圖5(c)所示。

計算結果數據提?。簯脭道斫y(tǒng)計的原理，在為?0.35，?0.20，0，0.20和0.35這5個截面取數據點(沿軸方向的區(qū)間范圍為(?0.405，0.405))，然后，將所有數據點的固結度計算結果取平均值，即認為是整體模型固結度的平均值。

2.2.2 室內實驗

室內實驗于浙江省水利河口研究院六堡試驗基地進行。

模袋淤泥土取自平陽宋埠—西灣圍海造地工程現場，土樣的天然含水量質量分數為65%，土顆粒相對密度為2.687，黏粒和膠粒質量分數為47.6%，為高液限黏土，基本土工物理指標見表 3。

(a) 模袋體系三維實體及框架圖；(b) 分析計算步；(c) 模袋體系網格劃分

實驗采用分5級加載。模袋內部淤泥采用泥漿泵泵入，排水板在泥漿高度達到模袋高度的一半時進行埋設。打入淤泥的平均含水量119.6%，模袋上通過平板施加均布外力排水。在模袋內部中心及底部位置埋設孔壓計，測量孔隙水壓力。

2.2.3 結果對比

通過進行估算方法計算、有限元計算以及實際的室內實驗，理論計算結果、數模計算結果及室內實驗結果見圖6。

從圖6可見：大正方形固結度計算結果靠近實際的室內實驗結果，而小正方形的固結度計算結果與室內實驗結果相比則偏差較大。

在模袋土的固結過程中，固結中形成1個扁平的長方形截面，在此，僅考慮模袋土橫截面的排水情況。由于上下兩面的排水距離要比左右兩邊的排水距離短的多，因此，大部分水選擇從上下兩面排出，而少部分的土體中的水主要是左右兩邊靠近模袋的土體中的水，選擇從左右兩界面排出。從排水時間上來說，從長邊排出的這部分水其排出時間應該接近于直接從大正方形形狀截面排出的時間；而少量的、從短邊排出的水其排出時間接近于直接從相應小正方形形狀截面排出的時間，而且由于水量少，這部分水的排出時間會小于從長邊排出的大量水的排出時間，這就導致整個模袋土中水的排出速度稍微比同樣多的水僅從大正方形排出的速度要快一些。另外，小正方形截面固結的時間要遠遠小于大正方形截面的固結時間，因為往周邊的排水距離要小得多。結合這2點，模袋土的固結所需的時間應該接近于并稍微小于長邊形成的大正方形的固結時間，而遠遠大于小正方形固結所需的時間。圖6中，實際室內實驗的結果曲線與大、小正方形的固結結果曲線之間的關系很好地印證了這一點。

表1 時間離散方法計算中恒定不變的參數

表2 時間離散方法計算中發(fā)生變化的參數

表3 平陽軟土基本土工物理指標

圖6 時間離散方法、有限元與實驗結果的對比

其次，比較由公式得到的長方形與大小正方形固結度計算結果。由于設置了權重，長方形形狀的固結曲線介于大小正方形固結度曲線之間。由于排水距離短，大量水需從長方形形狀的長邊排出。對于這種工況，需對大小正方形計算得到的固結度結果設置相應權重系數。式(9)中的和代表的不是邊長，它們代表了從長邊、短邊排出水的水量，權重系數和是通過從長短邊排出水占總水量的比例而設置的。最終長方形固結度公式表達式的計算結果與實際室內實驗的結果相吻合，這在圖6中得到了驗證。

最后，本文應用有限元進行了計算。計算結果表明，有限元的計算結果與本文提出的估算方法的計算結果基本上吻合。與實際室內實驗結果相比，兩者存在差別。其中第2和第3階段稍有差別，其他階段差別非常小，應該說在誤差允許范圍內。實際的結果印證了固結度的變化規(guī)律。

3 豎井正方形地基固結解應用的參數分析

在實際應用中，找出影響固結速率的關鍵參數，在滿足設計要求的前提下，提高固結速率至關重要，因為它直接影響到項目工期、項目成本等。以下通過繪制各關鍵參數單獨變化時的固結度變化曲線，分析各因素對最終固結度的影響程度。

具體研究采用如下方法：采用表1和表2中參數計算的算例作為標準算例；之后，在每一組參數分析算例的計算過程中，對唯一的目的參數在標準算例參數的基礎上進行改變，其余參數均保持不變。

3.1 幾何參數分析

首先針對幾何參數開展研究。

模袋厚度的敏感性計算和土體寬度的敏感性計算結果見圖7和圖8。

由圖7可見：在其余條件相同時，模袋的厚度越小，模袋系統(tǒng)的固結速度越快。厚度為0.005 m與厚度為0.010 m之間的固結速率提升，與厚度為0.010 m和0.020 m的結果相比，提升較小?？沙醪脚袛啵弘S厚度減小，固結速率的提升空間可能會變小?？紤]到模袋的強度性能，因此，可通過開展試驗，在滿足力學要求的前提下，賦予模袋厚度1個性價比較高的設計值。

b′/m：1—0.020；2—0.010；3—0.005。

1—2a=0.667 m, 2b=0.333 m, 2a/2b=2；2—2a=0.800 m, 2b=0.200 m, 2a/2b=4；3—2a=0.875 m, 2b=0.125 m, 2a/2b=7。

由圖8可見：在截面周長一定的前提下，模袋系統(tǒng)的寬高比越大，系統(tǒng)固結越快。同樣，模袋系統(tǒng)的寬高比也存在1個合適值；隨著寬高比的增加，固結速度的提升程度(曲線差值)逐漸減小。這表明寬高比增加，固結速度的提升同樣存在1個極限。結合理論計算以及有限元的計算結果，取寬高比為4既保證了固結速度，又不會浪費模袋制作材料。寬高比值4推薦作為模袋的設計值。

3.2 物性參數分析

模袋體系的物性參數分析中，關鍵參數有2個：模袋的滲透系數和土體的壓縮模量。敏感性計算結果見圖9和圖10。

k01/(m?s?1)：1—1×10?7；2—1×10?8；3—1×10?9。

由圖9可見：在初始滲透系數較小時，固結度受模袋滲透系數改變的影響較大；當滲透系數提升1個數量級(由1×10?9 m/s提高到1×10?8 m/s)時，固結速度約提升25%；但當模袋的滲透系數繼續(xù)由1×10?8 m/s提高到1×10?7 m/s時，固結速度提升不大。事實上，模袋系統(tǒng)中的水排出經過了土體與模袋兩道屏障，在水到達土體邊緣接近模袋時，若在模袋上基本能夠自由排出，則此時系統(tǒng)的排水速度主要取決于水經過土體的速度，也即取決于土體的滲透系數。此時，僅單獨提升模袋的滲透系數，系統(tǒng)的固結速度提升無明顯效果。

實際中，系統(tǒng)的固結速率主要受模袋土滲透系數的影響。實際中水從模袋土(淤泥)中的排出速度非常小，同時模袋的滲透系數比淤泥土的滲透系數大得多，水的排出時間主要耗費在淤泥中，因此，整個系統(tǒng)的固結效率主要與淤泥土的滲透系數有關。

圖10中，1.5倍或者0.5倍原土體壓縮系數是指將標準算例中不同階段的土體壓縮模量同時乘以1個相同(1.5或者0.5)的比例系數。土體壓縮模量對于固結度的影響程度比較明顯，土體壓縮模量越大，系統(tǒng)固結越快。但同時，固結度也存在提升的性價比問題。

結合圖7~10的結果分析，在模袋系統(tǒng)的固結度效率提升上，考慮單因素時，幾何參數和物性參數都有一定的極限值，并不是一味地增大或者減小某個參數，便可有效地提升固結速度?？赏ㄟ^試驗結合理論分析，確定某一個因素的合理取值，或通過參數的組合變化，確定具有較高性價比的參數組合。系統(tǒng)固結速度的提升受多種因素的制約，合適的參數取值將為實際項目提升質量、提高效率、降低成本提供支撐。

1—1.5倍原土體壓縮模量；2—原土體壓縮模量；3—0.5倍原土體壓縮模量。

3.3 參數分析

幾何參數的分析可以為設計人員改善系統(tǒng)的排水條件、加快固結速度、縮短固結周期提供理論依據。系統(tǒng)無論對于幾何參數的選擇還是物性參數的變化，均存在一定的約束。參數敏感性見表4。

表4 固結度對參數的敏感性

4 結論

1) 推導了考慮影響區(qū)形狀為更接近實際的正方形區(qū)域以及考慮邊界透水性的豎井地基固結理論。本文與正六邊形影響區(qū)以及圓形影響區(qū)固結度計算結果的對比表明，用圓形影響區(qū)代替正六邊形影響區(qū)計算誤差較小，滿足工程需要；而用圓形影響區(qū)代替正方形影響區(qū)的計算存在較大誤差。

2) 將豎井正方形固結解應用于實際打設排水板充泥模袋體系的固結度計算。通過將時間進行離散，依據排水量設置權重系數，利用正方形形狀影響區(qū)的固結度解答對于長方形截面的模袋體系的固結問題進行了估算，估算結果與有限元計算結果基本完全吻合，與實際實驗結果相比存在較小誤差，但是在誤差允許范圍之內。

3) 通過幾何參數分析，為設計人員改善系統(tǒng)排水條件、實現加快系統(tǒng)固結提供參考；通過物性參數分析，為模袋系統(tǒng)材料的選取提供定性依據。

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(編輯 陳愛華)

Solution and application of vertical drain consolidation theory considering a square influence area

NIU Ben1, 3, 4, TANG Xiaowu2, ZHANG Chaojie5, CHEN Xiuliang5

(1. CCCC Fourth Harbor Engineering Institute Co.,Ltd., Guangzhou 510230,China;2. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;3. Key Laboratory of Environmental Protection & Safety of Communication Foundation Engineering, CCCC, Guangzhou 510230, China;4. School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China;5. Zhejiang Institute of Hydraulics and Estuary, Hangzhou 310020, China)

A consolidation solution considering a square influence zone and boundary permeability was obtained. The results are different among consolidation theory with different shapes (including a square zone, a regular hexagonal zone and a circular zone). The result difference between a regular hexagonal zone and a circular zone is small but the result difference between a square zone and a circular zone is large. After considering the factor of time discretization and the factor of pore pressure transmission, the theory is applied to the estimation of degree of consolidation of soilbag filled with mud soil buried with PVD system. The estimation result shows a good coincidence with the FEM calculating result and shows some difference with the lab experiment result, which is within the margin of error. Analysis of the geometry parameter can improve draining of the soilbag system while analysis of the physical parameter can provide qualitative judgment.

square influence zone; boundary permeability; PVD; soilbag; consolidation

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.05.022

TV3

A

1672?7207(2017)05?1283?10

2016?07?20；

2016?09?30

國家自然科學基金資助項目(51308310)；浙江省科技廳創(chuàng)新團隊建設與人才培養(yǎng)項目(2011F2042)；浙江省自然科學基金資助項目(LQ13E080007) (Project(51308310) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2011F2042) supported by the Science & Technology Department of Zhejiang Province on the Innovative Team Building and Personnel Training; Project(LQ13E080007) supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province)

唐曉武，博士，教授，從事環(huán)境土工、軟土地基等問題的研究；E-mail: tangxiawu@zju.edu.cn