逆瑞利分布的有效估計(jì)

盧建萍, 史潔茹，郝博

(1.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾 041000；2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610065)

逆瑞利分布的有效估計(jì)

盧建萍1, 史潔茹2，郝博1*

(1.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾 041000；2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610065)

推導(dǎo)逆瑞利分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)的MLE和UMVUE, 并給出估計(jì)量r階矩的精確表達(dá)式。對(duì)估計(jì)量的均方誤差和變異系數(shù)做漸進(jìn)展開(kāi), 在大樣本下給出逆瑞利分布有效估計(jì)的判斷條件。

逆瑞利分布； 密度函數(shù)； 分布函數(shù)；MLE; UMVUE

Abstract∶The MLE and UMVUE of the density function and distribution function were derived for the inverse Rayleigh distribution, and the explicit expressions of the r-th moment of these estimators were given. The mean square error and variation coefficient of the estimators were asymptotically expanded. Finally, the judgement for the effective estimation of the inverse Rayleigh distribution was given in the large sample.

Key words∶inverse Rayleigh distribution; density function; distribution function; MLE; UMVUE

逆瑞利分布[1-2]和指數(shù)分布[3]、瑞利分布[4]等類似, 都是壽命測(cè)試中的重要分布。 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為θ的逆瑞利分布,則其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

F(x)=exp(-θx-2),

f(x)=2θx-3exp(-θx-2),

其中x>0,θ>0。 目前, 對(duì)逆瑞利分布研究主要集中在未知參數(shù)θ和可靠性函數(shù)G(x)=1-F(x) 的估計(jì)問(wèn)題。 但在對(duì)可靠性研究中, 較少有文獻(xiàn)給出估計(jì)量r階矩的精確表達(dá)式，對(duì)分布函數(shù)和密度函數(shù)的估計(jì)研究具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值[5-7]。 本文首先給出逆瑞利分布分布函數(shù)和密度函數(shù)的極大似然估計(jì)(maximum likelihood estimation，MLE)和一致最小方差無(wú)偏估計(jì)(uniform minimum variance unbiased estimator, UMVUE), 再推導(dǎo)估計(jì)量r階矩的精確表達(dá)式, 進(jìn)而推導(dǎo)估計(jì)量均方誤差和變異系數(shù)的漸進(jìn)表達(dá)式, 最后比較兩種估計(jì)量的優(yōu)劣性。

1 MLE和UMVUE

定理1 設(shè)隨機(jī)變量序列{Xi},i=1,…,n服從參數(shù)為θ的逆瑞利分布, 則其分布函數(shù)F(x)的MLE和UMVUE分別為:

證畢。

類似可推出定理2。

定理2 設(shè)隨機(jī)變量序列{Xi},i=1,…,n服從參數(shù)為θ的逆瑞利分布, 則其密度函數(shù)f(x)的MLE和UMVUE分別為

2 r階矩

r階矩作為分布的特征數(shù),有著重要應(yīng)用。 諸如數(shù)學(xué)期望、方差、均方誤差、變異系數(shù)、偏度系數(shù)、峰度系數(shù)等, 皆與r階矩有著直接關(guān)系。 故很有必要給出估計(jì)量r階矩的精確表達(dá)式。

定理3 設(shè)θ,x>0且n>r≥1(n∈+), 則

證明

U(a,b,c)=c1-bU(1+a-b,2-b,c)。

類似可推出定理4。

定理4 設(shè)θ,x>0且n>r≥1(n∈+), 則

3 均方收斂性

引理1 對(duì)任意固定的y>0,a≥0, 若υ→+∞, 則

其中

a0(a,y)=1,a1(a,y)=y2/2-(a+1)y+(6a2+1)/12,

引理2 對(duì)任意固定的z>0,a>0, 若n→+∞, 則

其中

b0(a,z)=1,b1(a,z)=z2+2(1-a)z+(8a2-20a+17)/8,

注1 引理1和引理2可由拉普拉斯定理[8]得到,證明略。

定理5 當(dāng)n→∞時(shí)

(1)

(2)

其中，z=θx-2>0。

證明由均方誤差定義可得

(3)

(4)

而由Stirling公式[9-10]得

(5)

把(3), (4), (5)代入均方誤差表達(dá)式化簡(jiǎn)即得(1)。 (2)可類似證明。

定理6 當(dāng)n→∞時(shí)

其中z=θx-2>0。

其證明過(guò)程與定理5的證明相似。

4 變異系數(shù)

下面給出另外一個(gè)衡量估計(jì)量?jī)?yōu)劣的指標(biāo)——變異系數(shù)。 其證明過(guò)程與證明均方誤差的過(guò)程極為相似, 此處僅給出結(jié)論。

定理7 當(dāng)n→∞時(shí)

定理8 當(dāng)n→∞時(shí)

5 有效估計(jì)

在大樣本下, 從均方誤差的角度考慮, 由定理5，6我們可以給出判斷有效估計(jì)量的條件:

例1 設(shè)定參數(shù)θ=2.8,n=40 ,0

圖1 密度函數(shù)和分布函數(shù)在不同估計(jì)下的均方誤差比較Fig.1 The mean square error comparison of density function and distribution function under different Estimators

在大樣本下, 從變異系數(shù)角度考慮, 由定理7,8我們同樣可以給出估計(jì)量波動(dòng)程度的條件:

在小樣本下,雖然不能得到一些簡(jiǎn)單的條件去判斷哪個(gè)估計(jì)優(yōu)越,但是定理3和定理4中給出的r階矩的表達(dá)式可以在常用的數(shù)學(xué)軟件上直接計(jì)算,因此,計(jì)算估計(jì)量的均方誤差和變異系數(shù)也不會(huì)有實(shí)質(zhì)性的困難。

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An efficient estimation of the inverse Rayleigh distribution

LU Jian-ping1，SHI Jie-ru2, HAO Bo1*

(1. School of Mathematics &Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041000, China; 2. School of Mathematics, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

O212.1

A

1002-4026(2017)05-0086-05

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.05.014

2016-06-20

山西省自然科學(xué)基金 (2013011002-1)

盧建萍(1986—), 女,碩士, 研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)推斷、參數(shù)估計(jì)。

*通信作者，郝博。E-mail：fobfge@126.com