兩類二階變系數(shù)非齊次方程求解方法

侯致武，張璐，祝學亮

(延安大學西安創(chuàng)新學院理工系，陜西 西安 710100)

兩類二階變系數(shù)非齊次方程求解方法

侯致武，張璐，祝學亮

(延安大學西安創(chuàng)新學院理工系，陜西 西安 710100)

使用常系數(shù)化法和不變量法對二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的求解問題進行了討論，分析與比較了兩種方法的優(yōu)缺點，并通過具體的例子說明了方法的可行性。

非齊次；變系數(shù)；微分方程；求解方法

Abstract∶The solutions to some kinds of second-order non-homogeneous linear differential equations with variable coefficients were discussed by using constant coefficient method and invariant method. The advantages and disadvantages of the two methods were analyzed and compared, and the feasibility of the two methods was illustrated by a concrete example.

Key words∶non-homogeneous；variable coefficients；differential equation；solutions

二階變系數(shù)線性微分方程在微分方程理論中具有廣泛的應用[1-2]。對于二階非齊次線性微分方程通解的結構認識已經很完美了，但求解二階變系數(shù)非齊次線性微分方程卻無一般的方法，在實踐中能用初等積分法求解的方程更是相對較少。在有關二階變系數(shù)線性微分方程求解方法研究[3-7]的基礎上，本文使用常系數(shù)化法和不變量法導出了兩類二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法和具體步驟，并舉例說明了方法的可行性。

1 預備知識

考慮二階非齊次線性微分方程：

y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x),

(1)

其中，P(x)、Q(x)和f(x)都是定義域I上的連續(xù)函數(shù)。

引理[8]若存在可導函數(shù)φ(x)滿足不變量關系

I=2P′(x)+P2(x)-4Q(x)=2φ′(x)+φ2(x),

(2)

則經變換

(3)

可將方程(1)化為可解的一階線性微分方程

(4)

其中，w=z′(x)。

注：文中c和c1、c2均為任意常數(shù)。

2 求解方法

2.1常系數(shù)化法

證明作變換y=φ(x)z，則方程(1)化為

求解步驟：

第3步 用比較系數(shù)法求出常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。

z″+z=ex。

(5)

故方程(5)的通解為

從而所給方程的通解為

2.2不變量法

由引理可知，二階線性微分方程(1)的可行解完全取決于不變量關系式(2)中函數(shù)φ(x)的存在，而且此方法將無序尋求P(x)、Q(x)的關系，變成有序的求解方程(2)中的函數(shù)φ(x)。

求解步驟：

第1步 由P(x)、Q(x)及不變量關系式(3)可以求得函數(shù)φ(x)；

第2步 方程(1)經變換(3)化為可解的一階線性微分方程(4)；

第3步 由一階非齊次線性微分方程的通解公式求得z′=w，兩端積分求出z，再將其代入(4)式，即可求得方程(1)的通解。

例2 求解方程xlnxy″+(2xln2x-1)y′+5xyln3x=x2(lnx-1)ln2x。

求得其通解并兩端積分得

故所給方程的通解為

3 方法的分析與比較

本文對二階變系數(shù)非齊次線性微分方程(1)給出了兩種求解方法。顯然，常系數(shù)化法簡單便捷，只需判斷I(x)是否為常數(shù)。若是，則可很便捷地求出某些方程的通解；不變量法的程序化求解將方程(1)的求解問題轉化為一階非齊次線性微分方程求解問題。常系數(shù)化法較不變量法簡單易行，但存在局限性；相比較而言，不變量法更具有一般性。

[1]周義倉,靳禎,秦軍林.常微分方程及其應用[M].北京:科學出版社,2003.

[2]韓中庚.數(shù)學建模方法及其應用[M].北京:高等教育出版社,2005.

[3]李鴻祥.兩類二階變系數(shù)線性微分方程的求解[J].高等數(shù)學研究,2002,5(2):10-13.

[4]許爾偉,李曼生.變系數(shù)二階齊次線性方程在一定條件下的解[J].甘肅高師學報,2014,19(5):4-5.

[5]李高，李殊璇，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程可解的研究[J].河北北方學院學報(自然科學版),2013,29(2):1-2.

[6]張玉蘭.二階變系數(shù)線性齊次微分方程的通解[J].長沙大學學報,2013,27(2):1-3.

[7]王偉.幾類二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的通解[J].新鄉(xiāng)學院學報(自然科學版),2013,30(6):408-410.

[8]趙臨龍.二階變系數(shù)線性微分方程的不變量解法[J].長沙大學學報,1998 (2):5-8.

The discussion of solutions for two classes of second order non-homogeneous equations with variable coefficients

HOU Zhi-wu, ZHANG Lu, ZHU Xue-liang

(Department of Science and Technology, Xi'an Innovation College of Yan'an University, Xi'an 710100, China)

O175.11

A

1002-4026(2017)05-0091-04

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.05.015

2017-01-09

陜西省教育廳科學研究計劃(自然科學專項)(2013JK0576)

侯致武(1985—)，男，講師，碩士，研究方向為金融數(shù)學及微分方程教學和研究。E-mail：houzhiwu99@126.com