加強(qiáng)理性思維考查 突出創(chuàng)新應(yīng)用
——2017年高考數(shù)學(xué)試題評析

教育部考試中心

加強(qiáng)理性思維考查 突出創(chuàng)新應(yīng)用
——2017年高考數(shù)學(xué)試題評析

教育部考試中心

2017年高考數(shù)學(xué)以立德樹人、服務(wù)高校人才選拔、導(dǎo)向中學(xué)教學(xué)為命題出發(fā)點，加強(qiáng)對理性思維的考查，滲透數(shù)學(xué)文化，突出對創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查。試卷以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法為支撐點，注重對數(shù)學(xué)通性通法的考查。試卷結(jié)構(gòu)合理，區(qū)分功能良好，發(fā)揮了精確的選拔功能和積極的導(dǎo)向作用。

高考；高考數(shù)學(xué)；高考命題；高考評價體系；考試內(nèi)容改革；試題評析

2017年高考數(shù)學(xué)全國卷以立德樹人、服務(wù)高校人才選拔、導(dǎo)向中學(xué)教學(xué)為命題出發(fā)點，加強(qiáng)對理性思維的考查，滲透數(shù)學(xué)文化，突出對創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查。試題關(guān)注社會發(fā)展，引導(dǎo)考生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決生活實際問題，富有時代氣息。試卷遵循考試大綱的各項規(guī)定，基本結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，各種難度的試題比例適當(dāng)，整卷難易合理。

試卷以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法為支撐點和立足點，注重對數(shù)學(xué)通性通法的考查。文、理科試卷針對考生群體的不同數(shù)學(xué)水平，精心設(shè)計，合理布局，準(zhǔn)確區(qū)分考生。試卷有利于科學(xué)選拔人才，有利于深化課程改革，有利于促進(jìn)社會公平，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實踐能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)和中學(xué)教學(xué)改革有積極的導(dǎo)向作用。

1 突出創(chuàng)新應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的重要學(xué)科?！皠?chuàng)新意識是理想思維的高層次表現(xiàn)。對實現(xiàn)問題的考查、猜測、抽象、概括、證明，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對實現(xiàn)知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強(qiáng)?！盵1]2017年數(shù)學(xué)試題通過創(chuàng)設(shè)新穎情境，要求考生靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識，分析問題并解決問題，展示了數(shù)學(xué)與人類生活和社會發(fā)展的緊密聯(lián)系，同時為考查考生創(chuàng)新應(yīng)用意識創(chuàng)設(shè)了平臺。試題情境豐富，涉及農(nóng)作物生產(chǎn)、大學(xué)生創(chuàng)業(yè)、工廠生產(chǎn)線質(zhì)量控制、成語競賽、海產(chǎn)品養(yǎng)殖方法、城市游客人數(shù)、酸奶銷售等社會生活、生產(chǎn)的多個方面。試題情景貼近考生，貼近生活，具有濃厚的時代氣息，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會的密切聯(lián)系，對考生的閱讀理解能力、推理論證能力，理性思維進(jìn)行了全面的考查。

例1（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第12題）

幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，以此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是

A.440 B.330 C.220 D.110

本題緊扣“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的時代背景，以考生熟知的源于生活的“軟件激活碼”為切入點，借助等差數(shù)列、等比數(shù)列，著重考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力。要正確作答，考生需要首先明確求什么，怎么求，要求考生在讀懂試題的基礎(chǔ)上，把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的求和問題。試題要求考生對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和公式能夠熟練掌握，同時要求考生具備一定的分析問題、解決問題的能力。要完成本題，除了要求考生有扎實的數(shù)列認(rèn)知和轉(zhuǎn)化能力外，還要求考生有較強(qiáng)的應(yīng)用意識。本題的解答避開解題套路與現(xiàn)成的方法，要求考生根據(jù)情景深入分析，認(rèn)真思考，考查了考生的理性思維。

例2（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第18題）

海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖1所示：

圖1

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率；

（2）填寫表1，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

表1

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.

本題以現(xiàn)實社會生產(chǎn)實踐中水產(chǎn)品養(yǎng)殖方法的創(chuàng)新問題為背景，設(shè)計了根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析、比較、評價新、舊兩種養(yǎng)殖方法產(chǎn)量的問題。試題的第一問設(shè)計為根據(jù)直方圖估計某事件的概率，很好地考查考生對直方圖概念、用頻率分布估計總體分布的方法及其應(yīng)用；第二問設(shè)計為根據(jù)直方圖對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，然后根據(jù)整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)變量間獨立性的檢驗，分析、比較新、舊兩種養(yǎng)殖方法，很好地考查考生的數(shù)據(jù)處理與分析、應(yīng)用能力；第三問設(shè)計為根據(jù)直方圖，估計總體中位數(shù)，很好地考查考生對樣本中位數(shù)的計算方法的掌握程度。試題背景反映了當(dāng)前“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的現(xiàn)實，很好地貫徹了立德樹人的教育理念，體現(xiàn)了統(tǒng)計與概率的工具性和應(yīng)用性。

2 注重數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和生活中。因此，對數(shù)學(xué)思想方法的考查，必然要與數(shù)學(xué)知識的考查緊密結(jié)合，通過對數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想方法理解和掌握的程度?？疾閺膶W(xué)科整體意義和思想價值的高度立意，加強(qiáng)針對性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。高考數(shù)學(xué)一道試題往往考查多種能力、多種思想方法。

例3（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第16題）

如圖2所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為______.

圖2

本題的問題設(shè)計沒有采用簡單幾何體的直觀圖為背景，而是把簡單幾何體設(shè)置在一個實際問題中，給出了簡單幾何體的平面展開圖?？忌枰趯嶋H問題情境中，尋找三棱錐平面展開圖的各種邊角的位置關(guān)系與度量關(guān)系，在得到各種度量關(guān)系后，將三棱錐的平面展開圖折成立體圖，再利用體積公式，分析三棱錐的體積何時取得最大值，這個過程要運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究體積函數(shù)的單調(diào)性和極值，最后才能解決問題。在分析平面展開圖的這些關(guān)系時，其實質(zhì)是解三角形的基本知識運(yùn)用。考生需要把數(shù)學(xué)圖形與代數(shù)知識創(chuàng)造性地結(jié)合，考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想。

例4（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第21題）

本題考查初等函數(shù)求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，考查考生的邏輯思維和運(yùn)算求解能力以及靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、函數(shù)基本概念和性質(zhì)分析、解決問題的能力。試題第一問作為起始問題，比較簡單，大部分考生可以入手，但求參數(shù)的值時，不是用通常的建立方程、解方程的方法，而是利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行討論，確定參數(shù)的值。試題要求考生在理解導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上，能夠引進(jìn)輔助函數(shù)簡化問題，理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，并根據(jù)參數(shù)的不同情況進(jìn)行完整的分類討論才能解決問題。試題深入考查了分類與整合、劃歸與轉(zhuǎn)化的思想。

3 滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)來源于人們的生產(chǎn)、生活，來源于社會的發(fā)展和科技的進(jìn)步，形成了獨特的知識體系和思想方法。數(shù)學(xué)不僅僅是應(yīng)用的工具、思維的體操，更是一種文化?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用[2]。2017年修訂的高考數(shù)學(xué)考試大綱提出加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化考查的要求。2017年數(shù)學(xué)試卷通過多種渠道滲透數(shù)學(xué)文化，有的通過數(shù)學(xué)史展示數(shù)學(xué)文化的民族性與世界性；有的通過向考生揭示知識產(chǎn)生的背景、形成的過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)既是創(chuàng)造的、發(fā)現(xiàn)的，也是不斷發(fā)展的；有的通過對數(shù)學(xué)思維方法的總結(jié)、提煉，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想性和方法論特色。

例5（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第3題）

我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈

A.2盞 B.3盞 C.4盞 D.5盞

本題開宗明義地引入我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》，然后通過詩歌提出數(shù)學(xué)問題，闡明試題的數(shù)學(xué)史背景，激發(fā)考生對中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的喜愛?！端惴ńy(tǒng)宗》是我國明代數(shù)學(xué)家程大位的名著，是我國珠算史上的一個里程碑[3]。書中的文字淺顯易懂，由淺入深，試題中的詩句背景源自古代社會生活中常見的7層塔，同時引入了一個等比數(shù)列的相關(guān)問題。本題展示了數(shù)學(xué)的知識和思維方式等在中國古代社會、生活等的廣泛滲透和應(yīng)用，對引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識具有積極的意義。

例6（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第2題）

如圖3所示，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.

圖3

正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是

本題圖中圓形區(qū)域為中國古代的太極圖，它是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，俗稱陰陽魚。太極是中國古代的哲學(xué)術(shù)語，意為派生萬物的本源，太極圖形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理。本題在編擬過程中在陰陽魚的外圍增加了正方形，意在暗喻中國古代天圓地方的理念。試題以此為情境，設(shè)計幾何概型以及幾何概率計算問題，體現(xiàn)中國古代傳統(tǒng)文化，同時試題貼近考生生活，通過本題的求解，使考生感受中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化的民族性與世界性。

例7（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第8題）

如圖4所示的程序框圖是為了求出滿足3n-2n＞1 000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入

圖4

本題巧妙地設(shè)置了兩個空白框中的不等式和等式作為選擇題的提問，以要解決的“3n-2n＞1000的最小偶數(shù)n”問題為導(dǎo)向，考查考生對程序框圖基本邏輯結(jié)構(gòu)以及對算法語句的含義的理解程度，從而揭示了數(shù)學(xué)知識是如何解決具體數(shù)學(xué)問題的過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性。

例8（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第19題）

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ ,σ2).

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ -3σ,μ+3σ )之外的零件數(shù)，求P(X ≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

本題的背景是產(chǎn)品制造中的質(zhì)量管理過程。質(zhì)量管理強(qiáng)調(diào)基于事實，對生產(chǎn)實際作出判斷并采取行動。為了準(zhǔn)確地把握事實、客觀地作出判斷，需用應(yīng)用統(tǒng)計的理論與方法。無論產(chǎn)品質(zhì)量，還是生產(chǎn)過程的狀態(tài)都存在著波動，統(tǒng)計方法能夠?qū)@些波動的狀況和相關(guān)關(guān)系進(jìn)行定量分析，因此是管理、改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量非常有用的工具。本題據(jù)此設(shè)計了依據(jù)3σ原理、根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的波動情況對生產(chǎn)過程作出判斷。試題循序漸進(jìn)，逐步把統(tǒng)計思想融入試題中，完整地展示了在面對實際數(shù)據(jù)問題時，如何利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識和原理在現(xiàn)代社會中的應(yīng)用。

4 合理區(qū)分考生

2017年數(shù)學(xué)試卷全面覆蓋中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，在試卷結(jié)構(gòu)和難度上與往年相比保持穩(wěn)定，并且針對不同地區(qū)考生的特點，合理調(diào)控試卷難度。特別是根據(jù)文、理科考生的差異，精心設(shè)計試題，在對考生進(jìn)入高校學(xué)習(xí)所必備的知識考查的同時，主要考查理性思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和方法解決問題的能力。試卷通過設(shè)問方式的改變，題型結(jié)構(gòu)的調(diào)整對文理科試卷進(jìn)行設(shè)置。3份試卷中有少量的試題是姊妹題，但考查要求和設(shè)問方式都有所區(qū)別，這樣的設(shè)計體現(xiàn)了文、理科考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的差異。例如，全國Ⅱ卷文理科第19題，試題背景是相同的，但是理科是求二面角的余弦值，文科則是求四棱錐的體積。

2017年高考數(shù)學(xué)關(guān)注學(xué)生未來發(fā)展，服務(wù)高校人才選拔。多數(shù)試題設(shè)置了2～3個小問，第一問主要是對基礎(chǔ)知識、通性通法的考查，第二問則是在第一問的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步地對考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求。

例9（2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第20題）

（1）求點P的軌跡方程；

本題考查了橢圓和向量的基本概念，考查了直線垂直、點的軌跡等解析幾何的基本內(nèi)容和方法，突出考查分析問題和解決問題的能力。第（1）問以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為依托，設(shè)計了線段之間的向量關(guān)系式等條件，考查求動點軌跡的方法。第（2）問設(shè)計了動直線相互垂直的證明問題，重點考查思維的靈活性和綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。試題將橢圓、動點的軌跡、向量等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，突出考查數(shù)形結(jié)合的思想方法和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，對邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力有一定的要求。試題重基礎(chǔ)、重能力，對引領(lǐng)數(shù)學(xué)課程改革能起到正確的導(dǎo)向作用。

2017年高考數(shù)學(xué)試卷體現(xiàn)了考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，試題堅持能力立意的命題原則，突出了對“核心素養(yǎng)”的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和理性價值，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

[1]教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱[M].北京:高等教育出版社,2016.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[S].北京:人民教育出版社,2003.

[3]吳文俊.中國數(shù)學(xué)史大系（第六卷）[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1996:391.

Abstract:The 2017 College Entrance Examination of Mathematics is based on morality education,serving the seletion of college students,guiding classroom teaching in high schools,strengthening the assessment of rational thinking,infiltrating mathematics culture and highlighting the assessment of innovative application ability.The examination takes basic knowledge,skills and methods as the support point and emphasizes the assessment of the mathematical common sense.It is believed that,with a reasonable structure and satisfactory discrimination,the examination will successfully fulfill its mission of seclecting college students and providing guidance for classroom teaching in high schools.

Keywords:College Entrance Examination;College Entrance Examination of Mathematics;Item Writing for the College Entrance Examination;Evaluation System of the College Entrance Examination;Examination Content Reform;Test Analysis

（責(zé)任編輯：周黎明）

Strengthening Rational Thinking and Highlighting Innovative Applications：Analysis of the 2017 College Entrance Examination of Mathematics

National Education Examinations Authority

G405

A

1005-8427（2017）07-0007-6

10.19360/j.cnki.11-3303/g4.2017.07.002

本文系全國教育科學(xué)規(guī)劃單位資助教育部規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高考內(nèi)容改革研究”（課題批準(zhǔn)號：FBB160606）階段性研究成果。