結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)的適應(yīng)性研究

魏靜，吳成寶,*，田巨，陳崢華，劉傳生，龔煜，王艦，李璐瑤

（1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院，廣東 廣州 510470；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640；3.廣州白云國際機(jī)場地勤服務(wù)有限公司機(jī)務(wù)工程部，廣東 廣州 510470）

結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)的適應(yīng)性研究

魏靜1，吳成寶1,2,*，田巨1，陳崢華3，劉傳生1，龔煜1，王艦1，李璐瑤1

（1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院飛機(jī)維修工程學(xué)院，廣東 廣州 510470；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640；3.廣州白云國際機(jī)場地勤服務(wù)有限公司機(jī)務(wù)工程部，廣東 廣州 510470）

為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)函數(shù)法(SFM)計(jì)算鍍層表面輪廓曲線分形維數(shù)的適應(yīng)性，利用W?M分形函數(shù)生成了空間頻率相關(guān)參數(shù)(λ)和特性參數(shù)(G)不同，但理論分形維數(shù)(D)均為1.5的標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線，并用SFM測算了它們的D。統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)：λ一定時(shí)，SFM的計(jì)算相對誤差為0.04% ～ 0.07%，平均相對誤差僅為0.05%；G一定時(shí)，SFM的計(jì)算相對誤差為0.27% ～ 1.01%，平均相對誤差為0.62%。較低的相對誤差表明SFM在測算不同特性曲線的D時(shí)具有極強(qiáng)的適應(yīng)性。

鍍層；輪廓曲線；分形維數(shù)；結(jié)構(gòu)函數(shù)法；適應(yīng)性；相對誤差

Abstract:The standard surface profile curves with different values of characteristic parameter (G) and spatial frequency parameter (λ) but the same fractal dimension (D = 1.5) were generated by the W-M fractal function, and their D values were calculated by the structure function method (SFM).The statistical analysis of calculated results indicated that the relative error of SFM is in a range of 0.04%-0.07% with an average value of 0.05% when the λ is constant, and the relative error of SFM ranges from 0.27% to 1.01% and is 0.62% averagely when the G is constant.The small relative errors show that the SFM is highly adaptable to calculate the D values of the curves with different characteristics.

Keywords:coating; profile curve; fractal dimension; structure function method; adaptability; relative error

First-author’s address:School of Aircraft Maintenance Engineering, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510470, China

鍍層表面具有分形結(jié)構(gòu)，可以用分形維數(shù)來定量表征[1-5]。筆者課題組的前期工作[6]評(píng)價(jià)了垂直界面法、尺碼法、盒維數(shù)法、方差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法(SFM)、協(xié)方差加權(quán)法、功率譜法和均方根法用于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線的分形維數(shù)(D)時(shí)的準(zhǔn)確性。從研究結(jié)果可以初步判斷：在上述8種常用方法中，結(jié)構(gòu)函數(shù)法最準(zhǔn)確。但評(píng)價(jià)的對象是由具有相同的空間頻率相關(guān)參數(shù)( )和特性參數(shù)(G)的標(biāo)準(zhǔn)分形函數(shù)生成的曲線，而真實(shí)的鍍層表面形貌空間頻率是隨機(jī)的。因此，具有最高準(zhǔn)確度的結(jié)構(gòu)函數(shù)法是否適應(yīng)于計(jì)算具有不同空間頻率和不同特性參數(shù)值的曲線的分形維數(shù)還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。本文用W-M分形函數(shù)生成了理論分形維數(shù)為1.5，但具有不同特性參數(shù)和空間頻率相關(guān)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分形曲線，分析了結(jié)構(gòu)函數(shù)法的計(jì)算誤差，驗(yàn)證了該方法的適應(yīng)性。

1 結(jié)構(gòu)函數(shù)法的簡介

將輪廓曲線視為一個(gè)時(shí)間序列Z(x)，則具有分形特征的時(shí)間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足式(1)[7-8]：

則D與斜率α的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(2)所示。

2 標(biāo)準(zhǔn)輪廓曲線的生成

2.1 W-M分形函數(shù)

W-M分形函數(shù)是由1875年發(fā)現(xiàn)的連續(xù)但處處不可微的函數(shù)演變而成。1980年，M.V.Berry詳細(xì)討論了W-M分形函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，奠定了W-M分形函數(shù)廣泛傳播和適用的基礎(chǔ)。后來，B.B.Mandelbrot、H.O.Peitgen等人提出了輪廓曲線具有統(tǒng)計(jì)自相似分形特征，可用W-M分形函數(shù)來刻畫表征。1990年為了適合工程表面的應(yīng)用，M.Majumdar和B.Bhushan提出了對原W-M分形函數(shù)的修正形式，簡稱M-B模型。其表達(dá)式如式(3)[9]所示。

式中， Z(x)為隨機(jī)輪廓高度； 為輪廓的位置坐標(biāo)；G為特征尺度系數(shù)，反映 Z(x)的幅值，它決定 Z(x)的尺寸；D為W-M分形曲線的分形維數(shù)，它描述函數(shù) Z(x)在所有尺度上的不規(guī)則性，但不能確定 Z(x)的尺寸，即兩個(gè)完全不同尺度上的分形曲線可以具有相同的分形維數(shù)；λn為輪廓的空間頻率， 為大于1的常數(shù)，對于服從正態(tài)分布的隨機(jī)輪廓， = 1.5可適用于高頻密度及相位的隨機(jī)性，由于粗糙度輪廓是非穩(wěn)定的隨機(jī)過程，輪廓結(jié)構(gòu)的最低頻率與粗糙度樣本長度的關(guān)系為； nL是W-M分形函數(shù)的初始項(xiàng)，是整數(shù)； L1為粗糙度樣本取樣長度；n為樣本取樣長度上的取樣個(gè)數(shù)，是整數(shù)。

2.2 W-M分形函數(shù)的MATLAB實(shí)現(xiàn)

由式(3)可知，W-M函數(shù)主要由D、G、、n所確定，同時(shí)要避開0λ=的點(diǎn)，另經(jīng)大量計(jì)算發(fā)現(xiàn)n不可能取無窮大，也不需要取過大值，實(shí)際應(yīng)用中一般為10 ～ 100， 則在[0.5, 0.8]區(qū)間內(nèi)取值。

在Matlab中，D為1.5時(shí)的模擬程序如下(其他情況只需將程序中的D改成相應(yīng)的分形維數(shù)值)：

subplot(2,2,1)

x=0.5:0.0001:0.8

c=0

for n=1:100

g=0.01,lambda=1.5, D=1.5

z=g.^ (D-1)* cos(2*pi*lambda.^n*x)/lambda.^ ((2-D)*n)

c=c+z

end

plot(x,c)

3 結(jié)果與分析

D為1.5，G分別為0.01、0.1、10和100時(shí)，W-M分形函數(shù)的模擬圖如圖1所示。

D為1.5， 分別為1.4、1.6、1.8和2.0時(shí)，W-M分形函數(shù)的模擬圖如圖2所示。

為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)函數(shù)法的適應(yīng)性，考察了當(dāng) = 1.5時(shí)不同特征尺度系數(shù)(G值)條件下D為1.5的W-M曲線的實(shí)測值，其計(jì)算曲線見圖3。用最小二乘法原理線性回歸分析各數(shù)據(jù)點(diǎn)，結(jié)果見表1。

由圖3可知，計(jì)算曲線呈線性相關(guān)。結(jié)合表1可以看出，結(jié)構(gòu)函數(shù)法的D值計(jì)算曲線的相關(guān)系數(shù)都大于0.99，且波動(dòng)僅為0.03%，這表明結(jié)構(gòu)函數(shù)法具有十分顯著的穩(wěn)定性。此外，又選擇了在G= 1，分別為1.4、1.6、1.7、1.8和2.0的條件下，理論D值為1.5時(shí)，分析結(jié)構(gòu)函數(shù)法的準(zhǔn)確性。其計(jì)算曲線如圖4所示。用最小二乘法原理線性回歸分析各數(shù)據(jù)點(diǎn)后的結(jié)果見表2。

圖1 不同G值的W?M分形曲線Figure 1 W-M fractal curves having different G values

圖2 不同λ值的W?M分形曲線Figure 2 W-M fractal curves having different λ values

圖3 不同G值條件下W?M分形曲線的D值計(jì)算曲線(λ = 1.5)Figure 3 Plots for calculating the D values of the W-M fractal curves with different G values (λ = 1.5)

表1 不同G值條件下W?M分形曲線的實(shí)測D值(λ = 1.5)Table 1 Calculated D values of the W-M fractal curves with different G values (λ = 1.5)

圖4 不同λ值條件下W?M分形曲線的D值計(jì)算曲線(G = 1)Figure 4 Plots for calculating the D values of the W-M fractal curve with different λ values (G = 1)

表2 不同λ值條件下W?M分形曲線的實(shí)測D值(G = 1)Table 2 Calculated D values of the W-M fractal curves with different λ values (G = 1)

分析圖4及表2不難發(fā)現(xiàn)，不同 值條件下，用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算的D值的相對誤差和誤差波動(dòng)都較小，平均誤差僅為0.62%。這進(jìn)一步說明結(jié)構(gòu)函數(shù)法具有良好的適用性。

4 結(jié)論

結(jié)構(gòu)函數(shù)法在計(jì)算具有不同空間頻率相關(guān)參數(shù)和特性參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表面輪廓曲線時(shí)，其相對誤差分別介于0.04% ～ 0.07%與0.27% ～ 1.01%，平均相對誤差分別為0.05%和0.62%。較低的相對誤差表明結(jié)構(gòu)函數(shù)法適用于測算不同特性曲線的分形維數(shù)。

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[ 編輯：溫靖邦 ]

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Study on adaptability of structure function method for calculating the fractal dimension of surface profile curve of coating

WEI Jing, WU Cheng-bao*, TIAN Ju, CHEN Zheng-hua, LIU Chuan-sheng, GONG Yu, WANG Jian, LI Lu-yao

TQ153

B

1004 - 227X (2017) 17 - 0911 - 04

2017-07-02

2017-08-29

中國民用航空局2015年民航科技創(chuàng)新引導(dǎo)資金；廣東省二類品牌專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目；2017年廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目。

魏靜（1975-），女，四川成都人，碩士，副教授，主要從事民用飛機(jī)結(jié)構(gòu)的研究。

吳成寶，副教授，(E-mail) wuchengbao@126.com。

10.19289/j.1004-227x.2017.17.002