由兩道題所引發(fā)的對(duì)幾何概型的思考

邊靜雯

有這樣兩道題，很多人對(duì)答案存在爭(zhēng)議，首先看一下這兩道題。

第1題（如下圖），在等腰直角三角形RtVABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

第2題（如上圖），在等腰直角三角形RtVABC中，點(diǎn)M為線段AB上任意一點(diǎn)，求AM

對(duì)于上面這兩個(gè)題，有兩種不同的解法，如下：

記事件E={在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，AM

則所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB，

事件E構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC'，

解法2：記事件F={AM

在等腰直角三角形RtVABC中，設(shè)AC長(zhǎng)為1，則AB長(zhǎng)為，

在AB上取點(diǎn)C'，使得AC'=AC=1，則若點(diǎn)M在線段AC'上，滿足條件。

于是P（F）=P（AM

故AM

有些人認(rèn)為這兩個(gè)題其實(shí)是同一個(gè)題的不同問法，一部分人贊同解法1，而有些人認(rèn)為解法2是對(duì)的。

我們回顧下幾何概型的定義：如果每個(gè)基本事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的面積（長(zhǎng)度或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型。

幾何概型有這樣兩個(gè)特征，一是無限性，也就是說在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無限的；二是機(jī)會(huì)均等性，即在一次試驗(yàn)中每一個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的。

在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式是：

由上面公式可以看出，在解決幾何概型問題時(shí)重要一點(diǎn)在于能否將問題幾何化，怎樣將問題轉(zhuǎn)化相應(yīng)的幾何測(cè)度來處理。

我認(rèn)為在上面兩個(gè)題中，對(duì)于第1題來說，解法1是對(duì)的，解法2是錯(cuò)誤的。雖然在線段AC'上任意取一點(diǎn)M是等可能的，但是過C和任取的點(diǎn)所作的射線是不均勻的，先有的射線后有點(diǎn)M，因而不能簡(jiǎn)單地把等可能取點(diǎn)看成是等可能的作射線，盡管射線與點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。射線在角內(nèi)是均勻分布的，故只能選擇角度作為測(cè)度，結(jié)果為。

對(duì)于第2題來說，點(diǎn)在斜邊上是等可能分布的，解法2是對(duì)的，以線段長(zhǎng)度作為度量，結(jié)果為。

因此在確定基本事件時(shí)，一定要特別注意選擇好觀察出發(fā)點(diǎn)，注意判斷基本事件發(fā)生的等可能性。對(duì)于一個(gè)能用幾何概型公式計(jì)算的概率，要根據(jù)實(shí)際問題以及題意的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)亩攘?，使所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域能夠度量即可解決相應(yīng)的問題。有興趣的同學(xué)可以看一下著名的貝特朗悖論。

[責(zé)任編輯：田吉捷]