淺談數(shù)據(jù)解題中向量法的作用

胡礪邦+張汝波

【摘要】文章針對(duì)高中數(shù)學(xué)向量法在解題中的具體作用，通過(guò)不同案例對(duì)向量法的應(yīng)用進(jìn)行分析，最后通過(guò)研究與總結(jié)得出幾何向量在高中數(shù)學(xué)的融入，對(duì)解決平面、空間幾何問(wèn)題有重要作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)據(jù)解題；向量法；作用

向量是高中數(shù)學(xué)中的重要概念，在平面幾何與空間幾何等問(wèn)題中均有應(yīng)用。幾何向量具有數(shù)與形雙重特性，可在不建立坐標(biāo)系的情況下，將“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成“量”的問(wèn)題進(jìn)行求解。此外，向量起點(diǎn)能自由移動(dòng)；在平面中，任何一個(gè)幾何向量都能在不共線(xiàn)的向量上進(jìn)行分解，決定了向量知識(shí)具備與斜坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系相同的作用。憑借這些特征，其在解決幾何問(wèn)題上能夠發(fā)揮出十分重要的作用。

一、幾何向量

在高中數(shù)學(xué)中，向量是指具有方向與大小的量，用帶有箭頭的一條線(xiàn)段表示，其中箭頭表示向量方向，而線(xiàn)段的長(zhǎng)度則表示其大小。高中數(shù)學(xué)教材中，通過(guò)對(duì)向量知識(shí)的引入，在已有解題方法的前提下產(chǎn)生了全新的概念與解題策略，尤其是為以往很難進(jìn)行計(jì)算和證明的幾何問(wèn)題提供了有效的解決方法。

二、向量法在數(shù)據(jù)解題中的作用

下面從三個(gè)不同案例入手，對(duì)向量法在解決幾何問(wèn)題方面所具有的作用及特點(diǎn)進(jìn)行分析。

（一）案例1

如圖1所示，線(xiàn)段AD、BE和CF分別是三條邊上的高，求證這三條邊相交在一點(diǎn).

以往在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到?jīng)]有有效證明方法的障礙，即便能找出證明方法也很難對(duì)其進(jìn)行細(xì)致闡述.而在學(xué)習(xí)向量知識(shí)后，僅需要利用其簡(jiǎn)單的定義，就可以輕松地解決這一類(lèi)問(wèn)題.

證明：設(shè)H為BF和CF相交的點(diǎn)，，且，則有，，.由于和垂直，和垂直，所以，，可得，即為，二者垂直，AH和AD是重合關(guān)系，因此AD、BE和CF相交于一點(diǎn).

（二）案例2

相比平面幾何，立體幾何問(wèn)題更加抽象，而采用向量法解題則可發(fā)揮出更突出的作用。

圖2為邊長(zhǎng)、對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)均為a的空間四邊形.求：（1）AB、CD夾角；（2）AB、CD間距.

從圖2中可以看出，AB和CD是兩條異面直線(xiàn)，本題主要求解二者的夾角與間距.如果解題時(shí)采用學(xué)到的立體幾何知識(shí)，會(huì)遇到以下兩個(gè)問(wèn)題：其一，異面直線(xiàn)夾角不確定；其二，異面直線(xiàn)公垂線(xiàn)不確定.而利用向量法則可輕松解決此類(lèi)問(wèn)題.

解：（1）設(shè)M為AB中點(diǎn)，由于邊長(zhǎng)相等均為，則可知CM與AB垂直，DM與AB垂直，可得，，且.

即.

因此AM與CD垂直，AB、CD夾角為90°.

（2）根據(jù)以上結(jié)果，AB和平面DMC垂直，N為CD中點(diǎn)，MN和AB垂直，CD和MN垂直，所以MN為AB、CD公垂線(xiàn).

（上述計(jì)算過(guò)程中，考慮到AB和CD的位置關(guān)系為垂直，即二者夾90°角，則BC與CN以及BC與MB所成角均為120°，并非60°）.

則AB、CD間距為.

（三）案例3

圖3中，是一個(gè)三棱錐，已知SA和平面ABC垂直，AB和BC垂直，DE是SC的垂直平分線(xiàn)，并且與AC、SC的交點(diǎn)分別為D與E，又有AB和SA相等，BC和SB相等，求：二面角大小.

此題為高考試題，解題方法多樣，既可以用到立體幾何包含的“線(xiàn)與線(xiàn)垂直”知識(shí)，也可用到“線(xiàn)與平面”知識(shí)，但這兩種方法都有計(jì)算量較大的特點(diǎn)，不僅容易出錯(cuò)，而且需耗費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間。而采用向量法可在保證正確率的基礎(chǔ)上，減少時(shí)間，避免出錯(cuò).

解：以A為原點(diǎn)作空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)S、C分別與Z軸、Y軸相交.

根據(jù)題目已知條件，即，BC與SB相等，可得SC和BE垂直，SC和DE垂直.

由于BE和DE相交于點(diǎn)E，所以SC和平面BDE垂直，SA和平面ABC垂直.

因此可將SA視作平面ABC法向量，SC視作平面BDE法向量.

設(shè)SA的長(zhǎng)度為1，則AC為，可得，， ，則，.

設(shè)二面角B-ACDE為，則有，故為，可得二面角為.

由此可見(jiàn)，采用向量法求解以上問(wèn)題直觀簡(jiǎn)單，其最大的特點(diǎn)就在于可繞避抽象的找角與復(fù)雜繁瑣的計(jì)算。

三、總結(jié)

由案例1可知，幾何向量能在證明平面中直線(xiàn)位置關(guān)系中應(yīng)用，具有判斷直線(xiàn)垂直與相交的作用。

由案例2可知，幾何向量能在證明空間中兩異面直線(xiàn)位置關(guān)系及求解距離中應(yīng)用，解決了采用以往方法無(wú)法確定異面直線(xiàn)夾角與距離的難題。

由案例3可知，幾何向量能在空間幾何最復(fù)雜的求解二面角中應(yīng)用，相比傳統(tǒng)解題方法，采用向量法不僅能省去抽象的空間推理和繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，還能更直觀、簡(jiǎn)便地得出結(jié)果，同時(shí)保證解題的正確率。

幾何向量在高中數(shù)學(xué)的融入，為解決平面、空間幾何問(wèn)題提供了有效、快捷、簡(jiǎn)便的工具。

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