從點出發(fā) 綻放思維

陳凌云++王立東

【摘要】 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點之一，針對不少學(xué)生在解答過程中思路混亂或者根本找不到出發(fā)點下手這一實際教學(xué)現(xiàn)狀，筆者提出“從點出發(fā)”這一解題策略，主要幫助學(xué)生能找準(zhǔn)這類問題的切入口或下手點，并能對方程求解作出正確的處理，并在實際教學(xué)過程的檢驗中取得較好的效果。

【關(guān)鍵詞】解題策略；點；方程

【中圖分類號】G634.6

解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，也是歷年高考解答題中的重點考查內(nèi)容之一，同時又是不少學(xué)生的“難題”之一。之所以“難”， 主要涉及兩方面原因，一方面， 解析幾何需要運用坐標(biāo)法的思想通過代數(shù)的方法解決幾何問題，學(xué)生對這一思維模式的認知比較缺乏，在坐標(biāo)表征的策略上也會顯的相對欠缺；另一方面，解析幾何問題的處理過程往往和函數(shù)思想、方程思想等結(jié)合，而學(xué)生綜合運用這些思想處理問題的能力還是比較薄弱。因而，教師應(yīng)充分了解學(xué)生認知過程的特點，順應(yīng)學(xué)生認知發(fā)展的模式，研究有針對性的、適宜操作的、通用性強的有效解題策略，來幫助引導(dǎo)學(xué)生進行知識和思維的構(gòu)建。本文就一類直線與圓錐曲線位置問題的教學(xué)展開研究和設(shè)計。

一、陷入困境，追尋根源

（一）、 教學(xué)現(xiàn)狀

在直線與圓錐曲線位置關(guān)系的教學(xué)過程中，無論是平時的作業(yè)還是檢測，對不少學(xué)生而言前一小題基本沒有問題，但后一小題就只能做一部分甚至是一點都做不了，只有為數(shù)較少的學(xué)生才能完整的做下來（還不算完全正確的）。雖然對于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的解答題到了最后關(guān)頭都會有考查較強的數(shù)據(jù)處理能力這一關(guān)，但學(xué)生們更多的是還沒走到這一關(guān)就已早早的偃旗息鼓，停滯不前了。可見，學(xué)生對這類問題的解題障礙更多的還是思路的欠缺。而教師在平時的課堂教學(xué)過程中往往會把重心放在抓后續(xù)的計算能力這一關(guān)上，對問題本質(zhì)及思路方法的引導(dǎo)卻略有欠缺，于此同時，市面上的教輔資料對直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的教學(xué)方案主要側(cè)重內(nèi)容上的分類，如取值范圍問題、定值定點問題、探索性問題等等，給出的方法指引僅是針對這幾種類型的常用方法的羅列或特定步驟的歸納，很少有對問題的共通性進行提煉，對思路的形成方式進行引導(dǎo)等等。于是，學(xué)生盡管做了很多題，也見識了很多方法，但仍無法順利的讓自己形成系統(tǒng)的思路網(wǎng)絡(luò)，真正等到自己獨立做的時候，就只能“望題興嘆”了。因此，對學(xué)生進行有效易行的解題策略的指引就顯的尤為必要和重要。

（二）、 原因分析

那么，具體在解題過程中是什么阻礙了這部分學(xué)生思維的前行？針對他們平時存在的問題，我總結(jié)了以下幾點原因： 1、缺乏對解析幾何本質(zhì)的理解，對曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系理解不到位，所以面對條件中的諸多點和線時思路模糊，一籌莫展。2還未形成一套明確的思路模式考慮這類問題 ，所以題目做的雖多，但只是就題論題，碰到新的問題不能觸類旁通，或者出現(xiàn)有時會做有時又不會做了等等現(xiàn)象。3、坐標(biāo)表征策略薄弱，導(dǎo)致產(chǎn)生不恰當(dāng)?shù)奶幚砀姆绞健?/p>

針對這些情況，我對這類直線與圓錐曲線位置問題的解題策略進行了探尋。

二、 尋找策略，突破困境

（一）、回歸本質(zhì)，緊抓核心思想

要解好一類題，如果沒有對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生往往抓不住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這不利于解題思路的形成。 所以，要解好直線與圓錐曲線位置的問題，首先就要明確解析幾何的學(xué)科本質(zhì)，掌握其核心思想。

解析幾何，又叫做坐標(biāo)幾何，是用代數(shù)方法研究幾何圖形的一門學(xué)科。要用代數(shù)方法研究幾何圖形，首先需要把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式，然后才能用代數(shù)方法進行計算，在獲得代數(shù)結(jié)果以后，又需要把代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.一個解析幾何問題的解決是通過“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化”和代數(shù)計算來實現(xiàn)的，圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心思想，它把幾何中的點與代數(shù)中的有序?qū)崝?shù)對——坐標(biāo)進行對應(yīng)，把曲線與二元方程進行對應(yīng)，通過平面直角坐標(biāo)系這座橋梁，使兩種數(shù)學(xué)形式根據(jù)需要可以“互化”，然后可以通過對方程的研究來研究曲線的性質(zhì)，這是解析幾何的理論基礎(chǔ)。

因此，根據(jù)解析幾何學(xué)科的這一本質(zhì)思想，要解好題目，首先就要具備代數(shù)、幾何互相轉(zhuǎn)化的思想，具體就是點與坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化 ，曲線與方程的轉(zhuǎn)化。

（二）、從點出發(fā)，構(gòu)建思路網(wǎng)絡(luò)

直線與圓錐曲線位置的解答題一般都包含了各種條件之間的復(fù)雜聯(lián)系，需要清晰的掌握各個條件之間的關(guān)系，才能形成合適的解題思路，如何搭建好一張思路的網(wǎng)絡(luò)，可以通過分析已知條件中各個元素與元素之間的關(guān)聯(lián)。

點是解析幾何問題中的最基本的元素，在直線與圓錐曲線相交的問題里， 很多問題都是由直線與圓錐曲線的交點來展開，通過分析這些點的產(chǎn)生方式或者其他元素的構(gòu)成形式，就可以將條件中的點、線等元素串聯(lián)成網(wǎng)，所以，點是這類問題的聚焦和聯(lián)系，求解直線與圓錐曲線相交問題可以看成是求這些點的過程，只要能將點“求得”，問題就可以解決，因此，不妨可以從這些“點”入手，分析這些點的產(chǎn)生來源，以求解這些點作為解題過程的驅(qū)動。

分析：此題中涉及的元素有一個橢圓，三條直線，三個點，最后要求的是直線EF的斜率，則只要將E、F兩點的坐標(biāo)“求”得，問題就可解決。

第一步，分析E、F這兩點的產(chǎn)生方式，以E點為例， E點既可以看成是直線AE與橢圓的交點，也可看成是直線EF與橢圓的交點，這樣，求解E點的過程就非常自然，而且產(chǎn)生了兩條途徑。

第二步，運用轉(zhuǎn)化思想，將求交點轉(zhuǎn)化為求解對應(yīng)的方程組。途徑一是將E點看成是直線AE與橢圓的交點，由此便應(yīng)先產(chǎn)生直線AE方程， 再與橢圓C的方程聯(lián)立求之； 途徑二是將E點看成是直線EF與橢圓的交點，那么也可以由直線EF的方程與橢圓C的方程聯(lián)立求之。

（三）、解易設(shè)難，沖破求解障礙

如上所說，聯(lián)立方程是為了求出直線與曲線的交點，所以處理方程的方式就要以求方程的解為目標(biāo)，根據(jù)求解方程的不同情況及后續(xù)計算的難易程度，可以分下面兩種情況來具體處理。endprint

1、直線與圓錐曲線的兩個交點其中一點已知

途徑一中聯(lián)立了直線AE與橢圓C的方程，此時由于A點給定，即聯(lián)立后的方程有一個根是已知的，故另一根（即E點坐標(biāo)）已經(jīng)很明確，此時應(yīng)果斷求出另一根可使思維更清晰明了。

小結(jié)1：當(dāng)直線與圓錐曲線的兩個交點其中一點已知，或兩者具有特殊的對稱關(guān)系時，對應(yīng)的方程的根較為容易求得，此時應(yīng)將它們獨立求出，可減少所設(shè)參數(shù)的個數(shù)。

2、直線與圓錐曲線的兩個交點都未知且無對稱關(guān)系

途徑二中聯(lián)立了直線EF與橢圓C的方程，此時由于E、F兩點既沒有特殊的對稱關(guān)系，也沒有一個點是已知點，方程的兩根（E、F點坐標(biāo)）形式勢必較為復(fù)雜，而且還會導(dǎo)致后續(xù)計算過程繁復(fù)不堪，故可采用“設(shè)而不求”的思想，即設(shè)E、F兩點之后暫且不具體求出，利用直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)這一條件，將得到的關(guān)系式整理為兩根之和或兩根之積的形式，即可將前面的韋達關(guān)系整體代人求得k值。

小結(jié)2：當(dāng)直線與圓錐曲線的兩個交點都未知且無對稱關(guān)系時，方程的兩根求出來比較復(fù)雜，不利后續(xù)計算，此時應(yīng)設(shè)而不求。

三、效果檢驗，思維綻放

為檢驗這一解題策略的具體效果，我在課堂上讓學(xué)生思考了下面這道題：

例2、已知橢圓 的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切.

（I）求橢圓 的方程；

（II）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PE交橢圓C于另一點E，直線AE與x軸相交于點Q，證明：點Q為定點。

學(xué)生拿到題目后都異常積極的投入了思考，在上述解題思想的引領(lǐng)下，一段時間過后就有幾位同學(xué)將求直線AE的過程整理下來了，下面是學(xué)生對此題的分析過程：

生1：所求的點Q是直線AE與x軸的交點，根據(jù)點Q的產(chǎn)生方式需要將直線AE 表示出來，故需求解A、E兩點，其中A點是由B點對稱得來，故得到B點就可得到A點。而B、E兩點均可看成直線BP與橢圓的交點，所以通過設(shè)直線PB方程與橢圓C方程聯(lián)立來求解，但因兩個交點均為未知，故采用了設(shè)而不求的方法寫出直線AE的方程，令方程中的y=0，就是點Q的橫坐標(biāo)，接下來就用韋達定理整體代換整理出Q點坐標(biāo)。

此學(xué)生回答完后有好幾位學(xué)生都輕輕的“嗯”了一聲，說明有不少同學(xué)都采用了這條途徑，看到學(xué)生可以比較順暢運用這一方法找到解這類問題的門道，我很感欣慰。接下來，我又問道：要得到A、E兩點還有別的途徑嗎？“有”，幾個不大的聲音從底下傳來，我叫了其中一位學(xué)生講了他的思路。

生2：我覺的點A和點E都跟點B有關(guān)，所以我就通過設(shè)B點坐標(biāo) 來得到這兩點，A點直接根據(jù)對稱得到，E點仍舊看成直線BP與橢圓的交點，此時聯(lián)立之后的方程我就可以直接把E點坐標(biāo)表示出來了，因為雖然B點還是未知點，但設(shè)了 之后就可以將此點看成是相對已知的點，便可直接表示出另一根即E點的坐標(biāo)來了，之后根據(jù)表示下來的A、E這兩點就能寫出直線AE方程了。

生2回答完后我對他的解法表示了肯定，有了這兩位同學(xué)正確的回答作開頭，也激起了其他同學(xué)的自信以及分享自己想法的欲望。

生3： 我是將A、E兩點看作直線AE與橢圓的交點這一角度出發(fā)的。設(shè)直線AE方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立，由條件同樣需要設(shè)而不求，又因為A，B兩點關(guān)于x軸對稱，B點的坐標(biāo)就可對應(yīng)得到，然后利用E、B、P這三點是共線關(guān)系就可以列出關(guān)系式整理出k與b的關(guān)系，將其代入AE方程后定點就出來了 。

“很好！”，看到學(xué)生能將解題思想運用自如，問題分析到位，說明學(xué)生已能真正明確直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題的本質(zhì)思想，我心里很是滿意。這時，又有一個學(xué)生進行了補充。

生4：我跟生3的做法基本一樣，不過有一個地方有點區(qū)別，因為考慮到A，B兩點關(guān)于x軸對稱，所以直線AP和EP的斜率就互為相反數(shù)，這樣，就可直接利用 這一關(guān)系來求了。

這位學(xué)生從這個角度發(fā)現(xiàn)的這一點似乎帶給了其他同學(xué)一定的啟發(fā)，此時我身邊的一位同學(xué)也似乎想到了什么，于是我又問了這位同學(xué)他的想法。

生5：我是因為剛才生4說的那個思路突然想到的，既然AP和EP的斜率相反，也就是關(guān)于x軸對稱，那么就題目就相當(dāng)于是由x軸上一點P出發(fā)，作兩條關(guān)于x軸對稱的直線分別與橢圓相交（如圖3），顯然四個交點構(gòu)成一個等腰梯形，AE就是這個等腰梯形的對角線，后面還沒想好。

雖然，他只講了一半，但這一思路很快得到了其他同學(xué)的贊賞，一陣思考過后，生6對后面的思路進行了補充。

生6：可以利用相似比，得到 ，即 ，從而 ，然后用前面的韋達定理代人即可。

這是超出我預(yù)設(shè)的一種解法，在對他的解法表示肯定的同時，我也小有激動，我沒想到這道題學(xué)生還會從這一角度入手。 正當(dāng)我準(zhǔn)備作小結(jié)時，又有一生忽然站起來問了個問題：這道題可不可以看成由一條直線AE與橢圓相交出發(fā)，只要滿足直線AP和EP斜率相反，那么直線AE就過定點？

經(jīng)過分析比較，大家發(fā)現(xiàn)這兩個問題的本質(zhì)是一樣的，從這個視角出發(fā)，條件就可從4個點減少為3個點，題目的特征更為明顯，思路也就更為清晰?？磥韺W(xué)生不僅會解題，還會開始考慮題目的本質(zhì)了。此時下課鈴已響，但學(xué)生仍意猶未盡，在我走出教室的時候，還有學(xué)生在繼續(xù)討論著

波利亞說，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、新解法。學(xué)生們的表現(xiàn)應(yīng)該就是這一解題策略效果的最好答案了。endprint