反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的常見基礎(chǔ)題型分析

古慧娟

摘要：本文闡述了反比例函數(shù)的解析式三種形式，性質(zhì)，對(duì)常見的基本題型加以分析，來(lái)理解和鞏固反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)一些題型方法的歸納和總結(jié)。

關(guān)鍵字：反比例函數(shù)，解析式，性質(zhì)，分析

【中圖分類號(hào)】G633.6

一般地，形如 （k是常數(shù)， ）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。

一、反比例函數(shù)解析式

反比例函數(shù)解析式的三種表達(dá)式： ， ， （ ）。在求反比例函數(shù)解析式的時(shí)候，可以類比一次函數(shù)解析式的求法進(jìn)行講解。其步驟為：（1）設(shè)：一般設(shè)解析式為 （ ），（2）求：根據(jù)已知條件求k；（3）寫：把k的值代入寫出解析式。學(xué)生常常忘記第三步，因此在講題時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)最后一步必須代入寫出解析式才可以。

反比例函數(shù)解析式的第二種表達(dá)式 （ ）常出現(xiàn)在選擇題和填空題當(dāng)中。不管是哪種表達(dá)式，都要求 ，而此種表達(dá)式，x的指數(shù)是-1。

例【1】已知函數(shù) 是反比例函數(shù)，求m的值。

分析：條件給出的是反比例函數(shù)的第二種表達(dá)式，其中x的指數(shù)是-1次，反反比例系數(shù)不等于0。因此可得： ，解得 。而反比例系數(shù) ，解得 ，所以得 。

反比例函數(shù)解析式的第三種表達(dá)式 （ ）。如圖：反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)p作x軸，y軸的垂線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則矩形OEPF的面積 。

△OPE的面積 。只要點(diǎn)P 在反比例函數(shù)圖象上，面積的值是確定的，與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。

例【2】如右上圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù) 的圖象上，過(guò)點(diǎn)p作x軸，y軸的垂線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若矩形OEPF的面積為4，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。

分析：由公式可得： ，解得 ，由于圖象位于第一象限，所以k=4，所以其解析式為 。

二. 反比例函數(shù)的性質(zhì)

1. 反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象是雙曲線；

2. 當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一，第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減?。?/p>

3. 當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二，第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。

例題【3】已知反比例函數(shù) ，下列結(jié)論不正確是（ ）

A.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1） B.圖象在第一、第三象限

C.當(dāng)x>1時(shí)，0

分析：A選項(xiàng)，由題可知，反比例系數(shù)k=1， ，所以點(diǎn)（1，1）在函數(shù)圖象上。

B選項(xiàng)，k=1>0，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，圖象在第一、第三象限，所以B正確。

C選項(xiàng)，用圖像法分析。如圖，

當(dāng)x>1時(shí)，圖象位于直線x=1的右邊，

而這部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的范圍是0

所以C正確。

D選項(xiàng)，不正確。容易認(rèn)為錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有強(qiáng)調(diào)在一個(gè)象限內(nèi)，而真正錯(cuò)誤的原因是后半部分，改為y值隨x的增大而減小。當(dāng)x<0時(shí)，已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了是在第三象限內(nèi)，同理，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，這句話也是對(duì)的，它強(qiáng)調(diào)了是在第一象限內(nèi)。由此歸納，反比例函數(shù)性質(zhì)（2）（3）的結(jié)論成立的條件，可以有三種描述方法：①在每一個(gè)象限內(nèi)；②當(dāng)x<0時(shí)；③當(dāng)x>0時(shí)。

例題【4】點(diǎn) 在反比例函數(shù) 的圖象上，比較 的大小關(guān)系。

分析：方法一：代入求值。 ，由此可知， 。

此方法適用于知道點(diǎn)的橫（或縱）坐標(biāo)和確切的函數(shù)解析式；

方法二：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)。由題可知，A，B，C三個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)象限內(nèi)，即第一象限，由性質(zhì)可知，y隨著x的增大而減小，所以 。此方法適用于所有的點(diǎn)在同一個(gè)象限內(nèi)。

方法三：圖象法。由下圖可知， ，此方法沒(méi)有任何條件限制。

變式題（一）：點(diǎn) 在反比例函數(shù) 的圖象上，其中 ，比較 的大小關(guān)系。

分析：此題沒(méi)有點(diǎn)的具體坐標(biāo)和確切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，而題 ，可知A，B，C三個(gè)點(diǎn)都在第三象限內(nèi)，因此可采用方法二，而方法三是不受條件限制的，因此也可采用方法三。

變式題（二）：點(diǎn) 在反比例函數(shù) 的圖象上，其中 ，比較 的大小關(guān)系。

分析：此題沒(méi)有點(diǎn)的具體坐標(biāo)和確切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，而題 ，可知A，B，C三個(gè)點(diǎn)不同在一個(gè)象限內(nèi)，因此不可采用方法二，而方法三是不受條件限制的，因此這題只能采用方法三圖象法來(lái)做。

參考文獻(xiàn)：1、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2011

2、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書