基于分?jǐn)?shù)階PID和重復(fù)控制的快速刀具伺服系統(tǒng)*

劉春芳， 劉 志

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 沈陽 110870)

基于分?jǐn)?shù)階PID和重復(fù)控制的快速刀具伺服系統(tǒng)*

劉春芳， 劉 志

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 沈陽 110870)

針對永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)驅(qū)動的快速刀具伺服系統(tǒng)在高頻輸入信號時的系統(tǒng)跟蹤精度問題，設(shè)計了一種分?jǐn)?shù)階PID重復(fù)控制算法.由于系統(tǒng)的參考信號和干擾信號都具有周期性的特點，通過對系統(tǒng)參考信號的跟蹤和擾動的抑制研究，將改進(jìn)型分?jǐn)?shù)階PID控制和重復(fù)控制相結(jié)合，利用重復(fù)控制對周期性輸入或復(fù)雜干擾信號的跟蹤和抑制能力來補(bǔ)償分?jǐn)?shù)階PID控制器，使系統(tǒng)有快速響應(yīng)能力的同時具有較強(qiáng)的抗干擾性.仿真結(jié)果表明，所提出的控制策略有效地提高了伺服系統(tǒng)的跟蹤精度，并對周期性擾動有較好的抑制作用.

永磁直線同步電機(jī)； 快速刀具伺服； 分?jǐn)?shù)階PID； 重復(fù)控制； 快速響應(yīng)； 抗干擾性； 跟蹤精度； 周期性擾動

隨著現(xiàn)代制造技術(shù)的不斷提高，人們對產(chǎn)品的要求也越來越高.在精加工或輪廓曲面加工時，要求數(shù)控機(jī)床在短時間內(nèi)達(dá)到進(jìn)給速度，并具有較高精度.傳統(tǒng)的加工方法已無法滿足加工要求，而快速刀具伺服(FTS)[1]技術(shù)在重復(fù)加工復(fù)雜形狀器件以及光學(xué)曲面等方面的廣泛應(yīng)用能夠滿足這些較高的加工要求.在FTS驅(qū)動器方面，國外學(xué)者對壓電陶瓷、洛侖茲力驅(qū)動器、麥克斯韋力驅(qū)動及其復(fù)合驅(qū)動方式都做過研究，并取得不少成果[2-3].為了滿足高頻響、大行程的要求，本文選用永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)作為伺服進(jìn)給系統(tǒng)驅(qū)動結(jié)構(gòu).采用永磁直線同步電機(jī)直接驅(qū)動，可充分發(fā)揮其響應(yīng)快、精度高的特點，但是由端部效應(yīng)引起的周期性波動和負(fù)載擾動都將影響加工精度[4].因此，在以永磁直線同步電機(jī)為驅(qū)動器的高性能伺服系統(tǒng)中，抑制擾動、提高跟蹤精度是關(guān)鍵.文獻(xiàn)[5]設(shè)計了一種長行程的FTS，采用PID控制方法獲得了較好的控制效果，但該方法對被控對象模型的參數(shù)變化比較敏感，影響系統(tǒng)的魯棒性和快速性，且頻率不高；文獻(xiàn)[6]提出了免疫重復(fù)控制的策略，使得控制精度大幅度提高，但由于控制策略本身的缺陷，使得系統(tǒng)在開始階段難以準(zhǔn)確跟蹤給定信號；文獻(xiàn)[7]中采用模糊自抗擾技術(shù)，提高了系統(tǒng)抗擾動性能，跟蹤精度也得以保證，但其方法比較復(fù)雜，工程中難以實現(xiàn).

本文針對直線電機(jī)的驅(qū)動特點以及系統(tǒng)周期性擾動和負(fù)載擾動對伺服系統(tǒng)的影響，基于分?jǐn)?shù)階控制理論，引入重復(fù)控制回路，提出了一種基于重復(fù)控制的改進(jìn)型分?jǐn)?shù)階PID(FPID)控制策略.利用Oustaloup算法框圖化實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PID控制器，通過MATLAB/Simulink仿真驗證了所提控制方案的可行性與有效性.

1 快速刀具伺服系統(tǒng)受力

永磁直線同步電機(jī)驅(qū)動的快速刀具伺服系統(tǒng)運(yùn)動方程[8]為

(1)

式中：M為直線電機(jī)動子質(zhì)量；x(t)為動子位移；Kf為電機(jī)電磁推力系數(shù)；iq為動子q軸電流；B為粘滯摩擦系數(shù)；d為外部擾動，d=Fripple+Ffric+FL；Fripple為端部效應(yīng)產(chǎn)生的推力波動；Ffric為摩擦力；FL為切削力擾動.

端部效應(yīng)產(chǎn)生的推力模型為

(2)

式中：Frpem為端部效應(yīng)力波動的幅值；τ為極距；θ0為初始相位角度.

摩擦力的模型為

Ffric=[fc+(fs-fc)e(v/vs)2]sgn(v)

(3)

式中：fc為庫侖摩擦力系數(shù)；fs為靜摩擦力系數(shù)；v為動子速度；vs為臨界的Stribeck速度.

而加工時的切削力因為加工形狀的不同，所受的力也會有所不同.

2 控制器設(shè)計

對于快速刀具伺服系統(tǒng)來說，既要求系統(tǒng)對周期性指令輸入信號進(jìn)行快速跟蹤，又要求系統(tǒng)對外部干擾有較強(qiáng)的抑制能力.為了滿足上述要求，引入分?jǐn)?shù)階PID控制方法設(shè)計控制器，并利用重復(fù)控制理論對系統(tǒng)予以補(bǔ)償，以減小周期性或復(fù)雜性擾動對系統(tǒng)的影響.

2.1 分?jǐn)?shù)階PID控制器

傳統(tǒng)的PID控制器由于其設(shè)計簡單，易于實現(xiàn)的優(yōu)點，早已得到廣泛應(yīng)用.但是數(shù)控加工機(jī)床在實現(xiàn)高精加工的過程中，由于受到電機(jī)自身以及各種外部擾動的影響，控制器很難達(dá)到所要求的控制效果，有時甚至?xí)斐砂l(fā)散[9]，使得系統(tǒng)不穩(wěn)定.分?jǐn)?shù)階PID控制器[10]最早由Podlubny教授提出，相對于傳統(tǒng)PID控制器，增加了積分階次λ和微分階次μ兩個可調(diào)參數(shù)，參數(shù)整定范圍更大，控制能力更靈活，控制效果顯著提高.將積分階次λ和微分階次μ適當(dāng)取值，即可變?yōu)镻ID、PI和PD等常規(guī)控制器，因此分?jǐn)?shù)階PID控制器更具一般形式.

分?jǐn)?shù)階PID控制器包含一個積分階次λ和一個微分階次μ，其傳遞函數(shù)描述為

(4)

式中，KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數(shù).

由于存在分?jǐn)?shù)階次，在仿真和實際運(yùn)用中不能直接使用固有模塊，因此需要對分?jǐn)?shù)階因子進(jìn)行近似推導(dǎo)，即用整數(shù)階算子近似代替分?jǐn)?shù)階.在文獻(xiàn)[11]中，Oustaloup等人利用相應(yīng)算法對分?jǐn)?shù)階因子進(jìn)行逼近，在頻率段內(nèi)，獲得了更高的擬合精度，提高了系統(tǒng)的控制效果.利用Oustaloup濾波算法實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分的求解過程如下：

假設(shè)工作頻段為(ωb，ωh)，對分?jǐn)?shù)階微積分算子sα用信號濾波器進(jìn)行擬合，構(gòu)造的連續(xù)濾波器的傳遞函數(shù)模型為

(5)

文獻(xiàn)[12]提出的改進(jìn)Oustaloup濾波算法將分?jǐn)?shù)階微積分算子用分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)表示為

(6)

式中：b>0；c>0.

在頻率段內(nèi)用泰勒級數(shù)展開，并取一階近似得到

(7)

(8)

由于算法本身特點，工作頻率的上下限應(yīng)選取ωbωh=1.分?jǐn)?shù)階PID模型框圖如圖1所示.

圖1 分?jǐn)?shù)階PID框圖模型Fig.1 Block diagram model for fractional order PID

2.2 重復(fù)控制器設(shè)計

重復(fù)控制(RC)是Inoue等人根據(jù)內(nèi)模原理提出的一種控制理論，重復(fù)控制對周期性或重復(fù)性的參考或干擾信號具有較高的跟蹤能力和抑制能力[13].由于經(jīng)典的重復(fù)控制器對系統(tǒng)未建模動態(tài)等非常敏感，所以本文采用改進(jìn)型重復(fù)控制，對變化擾動有很好的抑制作用，能夠改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)控制原理框圖如圖2所示，H(s)為改進(jìn)型重復(fù)控制器，其中，B(s)為相位超前補(bǔ)償器，用來補(bǔ)償隨機(jī)干擾；而時滯部分前面的傳遞函數(shù)Q(s)為低通濾波器，它的選擇需要考慮兩個方面，即系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性.具體而言，在|1-B(jω)Gc(jω)|<1的頻段內(nèi)，使Q(jω)盡量接近于1，令重復(fù)信號誤差在該頻段內(nèi)充分衰減以保證系統(tǒng)穩(wěn)定；而在相應(yīng)的|1-B(jω)Gc(jω)|≥1頻段內(nèi)，需要Q(jω)迅速衰減到遠(yuǎn)小于1，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定.

對系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為零進(jìn)行證明，假設(shè)系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)為

Sr(s)= 1-Q(s)e-sTd/{1-Q(s)e-sTdGp(s)[1-

Q(s)e-sTd+B(s)Q(s)e-sTd]}

(9)

圖2 系統(tǒng)控制原理框圖Fig.2 Block diagram of control principle of system

跟蹤誤差E(s)=Sr(s)R(s)，等效為

(10)

根據(jù)式(10)可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(11)

(12)

那么跟蹤誤差定義為E(s)=E0(s)[1-Q(s)e-sTd].

如果找到Q(s)，滿足1-Q(s)e-sTd=0，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差收斂于零.

結(jié)合以上分析，低通濾波器的設(shè)計原則是在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的前提下，盡量減小Q(s)的帶寬以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文取B(s)=eτbs，τb是非負(fù)常數(shù)，τb=0.02.選擇使用二階低通濾波器，其表達(dá)式為

(13)

式中，ωq為截止頻率，ωq=3 000 rad/s.

3 仿真結(jié)果與分析

本文以橢圓加工為例，根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的分析，切削力表達(dá)式為

(14)

式中：k為比例系數(shù)；m、n分別為橢圓的長軸半徑和短軸半徑；θ為工件的回轉(zhuǎn)角度.

仿真實驗參數(shù)設(shè)置為：M=0.32 kg，B=0.001 N·s/m，Kf=28.5 N/A，τ=16 mm，θ0=0°，fc=3 N，fs=5 N，vs=0.5 m/s，m=40 μm，n=30 μm，k=1，期望輸入選為r=0.01sin(200πt) m.

主回路分?jǐn)?shù)階PID控制器KP=300、KI=16、KD=3，積分階次λ和微分階次μ均為0.5，N=2，b=10，c=9，(ωb，ωh)=(0.001，1 000)，重復(fù)控制回路分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)KP=20、KI=5、KD=1，積分階次λ和微分階次μ均為0.5，仿真結(jié)果如圖3～5所示.

圖3 頻率為100 Hz時的位置跟蹤曲線Fig.3 Position tracking curve with frequency of 100 Hz

圖4摩擦力和端部效應(yīng)力擾動下頻率為100Hz時的跟蹤誤差曲線

Fig.4Trackingerrorcurveunderdisturbanceoffrictionandendeffectwithfrequencyof100Hz

由圖3可以看出，位置跟蹤曲線與期望位移幾乎重合，說明系統(tǒng)的跟蹤性能好，且能快速準(zhǔn)確地跟蹤給定輸入.由圖4和圖5可以看出，重復(fù)控制和分?jǐn)?shù)階PID相結(jié)合的控制策略的效果要比分?jǐn)?shù)階PID控制要好，且對周期性變化的擾動有較好的抑制作用，位置跟蹤誤差較小，在±1 μm以內(nèi)，重復(fù)控制的引入增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗擾性能，提高了跟蹤精度.

圖5 切削力擾動下頻率為100 Hz時的跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curve under disturbance ofcutting force with frequency of 100 Hz

為了進(jìn)一步驗證刀具伺服系統(tǒng)在不同行程和不同頻率的跟蹤性能，給定的期望輸入設(shè)為r=0.001sin(1 000πt) m，提高了信號的輸入頻率，跟蹤結(jié)果如圖6～8所示.從圖6的位置跟蹤曲線可以看出系統(tǒng)對較高頻率的參考信號仍然有很好的跟蹤效果.圖7、8為加入擾動后的誤差曲線，可以看出，穩(wěn)定后的誤差仍然在±2.5 μm以內(nèi)，能夠滿足加工要求.以上的仿真結(jié)果驗證了系統(tǒng)在不同行程和頻率時控制器的有效性.

圖6 頻率為500 Hz時的位置跟蹤曲線Fig.6 Position tracking curve with frequency of 500 Hz

圖7摩擦力和端部效應(yīng)力擾動下頻率為500Hz時的跟蹤誤差曲線

Fig.7Trackingerrorcurveunderdisturbanceoffrictionandendeffectwithfrequencyof500Hz

4 結(jié) 論

本文針對永磁直線同步電機(jī)驅(qū)動的快速刀具伺服系統(tǒng)，提出了分?jǐn)?shù)階PID和重復(fù)控制相結(jié)合控制策略，該方法能夠?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行快速響應(yīng)，且具有較強(qiáng)的抗干擾性能.仿真結(jié)果表明，所提出的控制方案有較好的效果，有效地實現(xiàn)了對周期性參考輸入信號的良好跟蹤，并且對干擾信號有良好的抑制作用，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高了加工精度.

圖8 切削力擾動下頻率為500 Hz時的跟蹤誤差曲線Fig.8 Tracking error curve under disturbance ofcutting force with frequency of 500 Hz

[1] 汪亮，羅松保.快速伺服刀具技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢 [J].航空精密制造技術(shù)，2007，43(6)：13-16.

(WANG Liang，LUO Song-bao.Development status and trends of fast tool servo technology [J].Aviation Precision Manufacturing Technology，2007，43(6)：13-16.)

[2] Wu D，Zhou S，Xie X.Design and control of an electromagnetic fast tool servo with high bandwidth [J].IET Electric Power Applications，2011(5)：217-223.

[3] 吳丹，趙彤，陳懇.快速刀具伺服系統(tǒng)自抗擾控制的研究與實踐 [J].控制理論與應(yīng)用，2013，30(12)：1534-1542.

(WU Dan，ZHAO Tong，CHEN Ken.Research and industrial applications of active disturbance rejection control to fast tool servos [J].Control Theory & App-lications，2013，30(12)：1534-1542.)

[4] 李兵強(qiáng)，吳春，林輝.基于參考輸入學(xué)習(xí)的永磁同步電機(jī)高精度位置伺服系統(tǒng) [J].中國電機(jī)工程學(xué)報，2012，32(3)：96-101.

(LI Bing-qiang，WU Chun，LIN Hui.A high-precision position servo system of permanent magnet synchronous motors with reference input iterative learning [J].Proceedings of the CSEE，2012，32(3)：96-101.)

[5] Fu J T，Yin Z Q，Li S Y.A novel long range fast tool servo for diamond turning [J].The International Jour-

nal of Advanced Manufacturing，2016(86)：1127-1134.

[6] 劉春芳，杜昭童.高頻響快速刀具伺服系統(tǒng)的免疫重復(fù)控制研究 [J].機(jī)床與液壓，2015，43(11)：9-12.

(LIU Chun-fang，DU Zhao-tong.Research on an immune repetitive control for high frequency of fast tool servo system [J].Machine Tool & Hydraulics，2015，43(11)：9-12.)

[7] 黃慶，黃守道.基于模糊自抗擾控制器的永磁同步電動機(jī)伺服系統(tǒng) [J].電工技術(shù)學(xué)報，2013，28(9)：294-301.

(HUANG Qing，HUANG Shou-dao.PMSM servo system based on fuzzy active-disturbance rejection controller [J].Transactions of China Electrotechnical Society，2013，28(9)：294-301.)

[8] 劉春芳，杜昭童.快速刀具伺服系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)滑?？刂?[J].沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2015，37(2)：126-131.

(LIU Chun-fang，DU Zhao-tong.Fuzzy adaptive sliding mode control of fast tool servo system [J].Journal of Shenyang University of Technology，2015，37(2)：126-131.)

[9] 王輝.基于模糊免疫PID控制的飛機(jī)防滯剎車研究 [J].計算機(jī)仿真，2012，29(4)：43-48.

(WANG Hui.The research of aircraft anti hysteresis brake based on the fuzzy immune PID control [J].Computer Simulation，2012，29(4)：43-48.)

[10]Podlubny I.Fractional-order systems and PIλDμ controllers [J].IEEE Transaction on Automatic Control，1999，44(1)：208-214.

[11]Pritesh S，Sudhir A.Review of fractional PID controller [J].Mechatronics，2016(38)：29-41.

[12]Zhe G.Improved Oustaloup approximation of fractional-order operators using adaptive chaotic particle swarm optimization [J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2012，23(1)：145-153.

[13]熊濤，熊有倫，王瑜輝.周期性擾動下卷繞基板的橫向位移控制 [J].中國機(jī)械工程，2014，25(9)：1137-1142.

(XIONG Tao，XIONG You-lun，WANG Yu-hui.La-teral position control of a flexible web with periodic lateral disturbance in winding process [J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2014，25(9)：1137-1142.)

[14]郝長中，王大維，周卓.新型中凸變橢圓活塞車削伺服刀架的研制 [J].現(xiàn)代制造技術(shù)，2013(8)：60-63.

(HAO Chang-zhong，WANG Da-wei，ZHOU Zhuo.Design of a new type of servo turret for turning non-circular piston [J].Modern Manufacturing Engineering，2013(8)：60-63.)

(責(zé)任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

FasttoolservosystembasedonfractionalorderPIDandrepetitivecontrol

LIU Chun-fang, LIU Zhi

(School of Electrical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

Aiming at the system tracking accuracy problem of fast tool servo system driven by permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM) under the high frequency input signal, a fractional order PID repetitive control algorithm was designed.Due to the characteristics that both reference signal and disturbance signal of the system had the periodic feature, the modified fractional order PID control was combined with the repetitive control through the inhibiting study on the tracking and disturbance of reference signal.With the tracking and inhibiting ability of repetitive control to the periodic input or complex interference signal, the fractional order PID controller was compensated, which made the system have a quick response ability and a strong anti-interference ability at the same time.The simulated results show that the proposed control strategy can effectively improve the tracking accuracy of servo system, and has a better inhibition effect for the periodic disturbance.

permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM); fast tool servo; fractional order PID; repetitive control; fast response; anti-interference; tracking accuracy; periodic disturbance

TP 273

： A

： 1000-1646(2017)05-0486-05

2016-09-06.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51175349)； 遼寧省“百千萬人才工程”資助項目(2013921049).

劉春芳(1975-)，女，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士，主要從事伺服系統(tǒng)、魯棒控制及計算機(jī)仿真等方面的研究.

* 本文已于2017-08-01 12∶23在中國知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170801.1223.012.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.05.02