“一題多解”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

楊靜梅?オ?

摘要：

“一題多解”在當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的地位，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和提高學(xué)習(xí)效果?！耙活}多解”具有廣泛的應(yīng)用性，本文在我國新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的背景下，選擇了“一題多解”的變式教學(xué)方式為研究對象，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)中“一題多解”的應(yīng)用進(jìn)行研究。介紹了“一題多解”在新授課中情境創(chuàng)設(shè)、公式推導(dǎo)、例題講解和練習(xí)中的應(yīng)用，使用具體例子對所述觀點(diǎn)加以論證并利用變式對例題加以變換，進(jìn)行變式教學(xué)。本文有利于教師更加深入了的了解“一題多解”在教學(xué)環(huán)節(jié)中應(yīng)用的方式和好處，為教師提供初步的指導(dǎo)和參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué)；“一題多解”；變式教學(xué)

1引言

隨著教育體制的不斷進(jìn)步和改革，教育的目的和教學(xué)方式都是為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。在高中課程改革的過程中，不斷滲透著讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中在教師的引導(dǎo)下“再創(chuàng)造”、“再發(fā)現(xiàn)”的理念。隨高中新課程改革的推進(jìn)和實(shí)施，教育部門對高中數(shù)學(xué)課堂的有效性要求越來越高。因?yàn)閿?shù)學(xué)是一個(gè)完整性與復(fù)雜性相統(tǒng)一的學(xué)科，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中便會存在很多困難，所以在教學(xué)中應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生靈活解題的思維能力做到“一題多解”變式解答，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中慢慢體會到學(xué)習(xí)的樂趣，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和學(xué)習(xí)成績。

在目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師教學(xué)依舊沒有脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”的教學(xué)方法，通過讓學(xué)生課后做大量的習(xí)題來提高學(xué)生解決問題的能力。大量的問題解決訓(xùn)練確實(shí)可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和基本概念的掌握，但大量的訓(xùn)練可能使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生疲勞感，數(shù)學(xué)思維變得局限。為了改變這種現(xiàn)狀，采用“一題多解”的教學(xué)方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常必要的。

1.1提出問題

數(shù)學(xué)教學(xué)，是在做好充足全方位備課后對學(xué)生進(jìn)行思維引導(dǎo)，在講解數(shù)學(xué)題時(shí)必須有一個(gè)總思想，那怎樣通過“一題多解”設(shè)計(jì)一堂完整的數(shù)學(xué)課的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)來提高學(xué)生的成績及思維能力呢？本文在相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對這一問題進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。

1.2“一題多解”的概念

“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”─波利亞。解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅可以推進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程，也可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力?！耙活}多解”是常用的教學(xué)模式，也可以說是在教學(xué)理論中的“問題變式”

?！耙活}多解”就是從不同的角度解決同一問題的不同方法?！耙活}多解”包含的概念、定理、性質(zhì)和方法較單一，而方法卻靈活多變。因此，“一題多解”不但能鍛煉解題的基本技能，而且可以更有效的發(fā)展邏輯思維，提高全面分析問題和解決問題的能力。

2“一題多解”在高中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中的應(yīng)用

隨著新課改的進(jìn)行，高中數(shù)學(xué)教學(xué)所提倡的教學(xué)模式為：創(chuàng)設(shè)情境—問題探究—新課講解—例題講解—鞏固提升。在新課講授的時(shí)候，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及現(xiàn)有的知識水平，將原有知識作為構(gòu)建新知識的基礎(chǔ)，再利用“一題多解”的變式教學(xué)方法讓學(xué)生牢固掌握所學(xué)知識，而不是通過題海戰(zhàn)術(shù)來強(qiáng)化知識，不然只會適得其反。以下根據(jù)教學(xué)過程中各環(huán)節(jié)應(yīng)用到的“一題多解”進(jìn)行闡述。

2.1情境創(chuàng)設(shè)中的“一題多解”

新知識來源于問題的發(fā)現(xiàn)，因此在創(chuàng)設(shè)情景時(shí)應(yīng)該注重問題懸疑的設(shè)置從發(fā)現(xiàn)問題入手，從學(xué)生身邊常見的情景入手，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際相關(guān)的情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題探究性學(xué)習(xí)，使新知識和以前學(xué)習(xí)知識之間有一個(gè)很好的過度.在教學(xué)中，巧妙的利用情境設(shè)置合理的問題，使之能夠吸引學(xué)生的興趣，在遵循新大綱的基礎(chǔ)上，關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)置一系列合理的變式情景問題，讓學(xué)生在所創(chuàng)設(shè)的情境中，由原有知識經(jīng)驗(yàn)中挖掘出與新知識相關(guān)的舊知識點(diǎn)，新舊知識的碰撞激起學(xué)生的求知欲。這樣通過這一系列合理的問題設(shè)置，讓學(xué)生產(chǎn)生好奇心“為什么？”和“怎么辦？”。這樣在這節(jié)課的開始學(xué)生就能感受到精彩，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了一個(gè)好的開始。

【案例1】在“充分條件與必要條件”的教學(xué)過程中考慮到高一學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)的欠缺，利用日常生活中事件創(chuàng)設(shè)問題情境來提出課題的問題，并讓學(xué)生利用原有的知識分析，事件中的幾個(gè)問題，為后面定義的分析做鋪墊。

事件1：“小明媽媽要做一件襯衫，需用布料便到布店去買，問老板應(yīng)該買多少？老板說買3米便足夠了?！庇谑?，有了“3米布料”和“能否做一件襯衫”的關(guān)系。此事例為引導(dǎo)學(xué)生歸納后面的充分條件的定義做了鋪墊。要說明該事件包括：A：有3米布料；B：夠做一件襯衫。

事件2：“一病人病重，呼吸非常困難，在住院急診后接氧氣?！本彤a(chǎn)生了“氧氣”與“能否搶救成功”的關(guān)系。事例為引導(dǎo)學(xué)生歸納后面的必要條件的定義做了鋪墊。要說明該事件包括：A：接氧氣；B：搶救成功。

事件3：某一天你和你的媽媽在商場遇到數(shù)學(xué)老師的時(shí)，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”。你想一想這個(gè)時(shí)候你媽媽還會不會補(bǔ)充說：“你是她的孩子”嗎？

小結(jié)：用以上生活中的常見的事例來說明數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)的概念、關(guān)系，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維上的“一題多解”，有助于提高學(xué)習(xí)興趣和掌握概念。

2.2公式推導(dǎo)中的“一題多解”

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)知識量大涵蓋內(nèi)容廣，在解題的時(shí)候除了一些必要的知識概念需要記住以外，數(shù)學(xué)公式在解題中也是占了很大比重的，所以在學(xué)習(xí)時(shí)必須要讓學(xué)生靈活的掌握公式，而不是死記硬背。因此在教學(xué)過程中教師要注意重視公式的推導(dǎo)，其實(shí)公式推導(dǎo)過程就是一種解題方法或解題技巧。如果在公式的推導(dǎo)中應(yīng)用“一題多解”，有助于學(xué)生在公式推導(dǎo)的過程中培養(yǎng)解題思維并能靈活應(yīng)用。

【案例2】“等差數(shù)列通項(xiàng)公式”an=a1+（n-1）d的推導(dǎo)過程的教學(xué)過程。

法一：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…………………………

由此可得到an=a1+（n-1）dendprint

小結(jié)：這種方法叫做遞推法，是學(xué)習(xí)公式推導(dǎo)時(shí)必須重點(diǎn)掌握的方法之一，在后面數(shù)列的求通項(xiàng)公式中也是經(jīng)常用到，這個(gè)推導(dǎo)過程也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)列解題能力的一個(gè)技巧。

法二：由等差數(shù)列的定義可知：

an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d，an-3-aa-4=d…………………，a3-a2=d，a2-a1=d，累加得：an-a1=（n -1）d，從而可得：an=a1+（n-1）d

評析：上面的這種方法叫做累加法，是常用于求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，這種方法不僅讓學(xué)生對公式記憶深刻，而且也學(xué)到了重要的數(shù)學(xué)解題方法和解題思路，更有助于學(xué)生思維的發(fā)展。

2.3 例題講解中的“一題多解”

在人教版數(shù)學(xué)課本必修5中選取了例題進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生深入分析題目，用好所學(xué)的等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其性質(zhì)，得到不同的解法，實(shí)現(xiàn)“一題多解”的目的。

【案例3】已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220，由已知可以算出其前項(xiàng)和公式嗎？

分析1：由已知條件可知將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，聯(lián)立方程組便可以求得a1和d，代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就求得n前項(xiàng)和公式。

法1：由題意可知S10=30，S20=1220，將其帶入公式Sn=na1+n（n-1）2d，

可得：10a1+45d=310

20a1+190d=1220

解之得：

a1=4

d=6

因此：Sn=4n+n（n-1）2×6=3n2+n

分析2：利用另一個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式sn=n（n1+an）2d

法二：

102a1+a10=310①

202（a1+a10）=1220②

②-①×2 得：a20-a10=600，由：d=am-anm-n=a20-a

1020-10解得d=6，又由Sn=na1+n（n-1）2d，得：S10=10a1+45×6=310，所以a1=4

所以Sn=4n+n（n-1）2×3=3n2+n

分析3：由已知{an}是等差數(shù)列，則可設(shè)Sn=An2+Bn，只需求出A，B。

法三：設(shè)Sn=An2+Bn，將它們代入可得

100A+10B=310

400A+20B=1220，解之得A=3，B=1所以Sn=3n2+n

分析4：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=na1+n（n-1）2d

變形解題

法四：由Sn=na1+n（n-1）2d

即：Snn=a1+（n-1）·d2，因此知數(shù)列

{snn}也成等差數(shù)列

因?yàn)椋篠1010=31010，S2020

=122020=61，所以：d=S2020-S1010=61-31=30

又因?yàn)椋篠10n10n=S1010+（n-1）×30=31+30n-30=30n+1

所以S10n=300n2+10n，Sn=3n2+n

在教材中只給出了第一種做法，主要是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)完公式后能夠熟練掌握常見的解法。解法二是利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和另一個(gè)公式，利用知三求二的方式求出了d與首項(xiàng)a1，進(jìn)而求出所要求的。解法三是等差數(shù)列前

n項(xiàng)和的變式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)就可以寫成Sn=An2+Bn，只需求出A，B即可。解法四不常見且難以想到，是利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)，判定{Snn}也成等差數(shù)列，然后先求解{Snn}，再求Sn，利用這種解法的時(shí)候要提醒學(xué)生注意構(gòu)造，否則出錯率大。利用“一題多解”解決問題時(shí)教師要啟發(fā)學(xué)生多思考，掌握好所學(xué)的公式，讓學(xué)生明白解決問題的方法不唯一。

2.4練習(xí)和習(xí)題中的“一題多解”

一堂數(shù)學(xué)課結(jié)束，老師一般都會給學(xué)生布置大量的課后作業(yè)，效果并沒有預(yù)期的好甚至?xí)泻芏喑u的現(xiàn)象。所以老師要注重課后習(xí)題的設(shè)置，可以用課本上的習(xí)題，讓學(xué)生用另一種方法去解答，訓(xùn)練學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力，還可以布置變式教學(xué)題或者讓學(xué)生對課后習(xí)題進(jìn)行“一題多解”變式練習(xí)，這樣做作業(yè)不僅可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如在學(xué)習(xí)完函數(shù)的定義域后可以利用下面習(xí)題對知識進(jìn)行鞏固：

【案例4】原題：f（x）=mx2+8x+4的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍

解：由題意：mx2+8x+4≥0在R上恒成立

∴m>0且△≤0，得m≥0

變式1：f（x）=log3mx2+8x+4的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍

變式2：f（x）=log3（mx2+8x+4）的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍變式3：f（x）=log3mx2+8x+4x2+1的定義域?yàn)镽，求m取值范圍

3.總結(jié)

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只用單一的方法或者是書本上提供的方法給學(xué)生講解進(jìn)行教學(xué)，忽略了知識之間的相關(guān)性和學(xué)生的發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，從而限制了學(xué)生的思維，當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)題時(shí)不會應(yīng)用所學(xué)知識靈活解決.所以在教學(xué)中應(yīng)該應(yīng)用“一題多解”的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力并培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003：12.

[2] 張奠宙.關(guān)于中國數(shù)學(xué)教育的特色[J].人民教育，2010：36-38.

[3] 鄔建軍. “一題多變”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 [J]. 讀寫算（教育教學(xué)研究）， 2015 ：25-28.

[4]劉長春，張文娣.中學(xué)數(shù)學(xué)變式數(shù)學(xué)與能力培養(yǎng)[M].山東：山東教育出版社，2001：12-13.

[5] 吳鍔.循本索源 變出精彩[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012：4.

（ 作者單位：曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011 ）endprint