淺談通過(guò)數(shù)形結(jié)合有效銜接算理與算法

陳雪香

【摘 要】當(dāng)前出現(xiàn)的“重算法、輕算理”和“重算理、輕算法”兩個(gè)極端現(xiàn)象，都是由于沒(méi)有處理好算法與算理之間的關(guān)系。文章采用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生在感悟算理、理解算法的基礎(chǔ)上，將算理和算法進(jìn)行有效銜接，做到既重算理又重算法。同時(shí)在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合策略時(shí)，要注意選用材料的貼切性、呈現(xiàn)時(shí)機(jī)的精確性、結(jié)合效果的深刻性和發(fā)揮學(xué)生的聯(lián)想能力，才能使數(shù)形結(jié)合在計(jì)算教學(xué)中起到重要作用。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；計(jì)算教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；算理；算法

算理與算法是計(jì)算教學(xué)中有機(jī)統(tǒng)一的整體，形式上可分，實(shí)質(zhì)上不可分，重算法必須重算理，重算理也要重算法；算理教學(xué)需借助直觀的形象，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探索、充分感悟的過(guò)程，但在要把握好算法提煉的時(shí)機(jī)和教學(xué)的“度”，為算法的形成與鞏固提供必要的練習(xí)保證。算法形成不能依賴形式上的模仿，而要依靠算理的透徹理解，只有在真正理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法、形成計(jì)算技能，才能找到算理與算法的平衡點(diǎn)，為算理與算法的有效銜接服務(wù)。那么如何使算理與算法達(dá)到有效銜接呢？我們不妨采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法。

一、有效銜接算理與算法的策略

小學(xué)階段的學(xué)生，思維發(fā)展水平還不夠成熟，理解抽象的內(nèi)容難度較大，但使用了數(shù)形結(jié)合的方法觀察、分析問(wèn)題，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平。教師應(yīng)充分利用學(xué)生形象思維的特點(diǎn)大量地用“形”解釋、演示、幫助理解抽象的“數(shù)”。

（一）數(shù)形結(jié)合，感悟算理

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)通常是比較抽象的，尤其是算理、概念等。而“數(shù)形結(jié)合”能使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的事物，學(xué)生容易掌握和理解。在教學(xué)中，學(xué)生對(duì)許多算理都模棱兩可，如果能做到數(shù)形結(jié)合，學(xué)生便可透徹地加以理解。

如教學(xué)“20×3”時(shí)，學(xué)生說(shuō)可以看作“2×3=6”來(lái)算，教師順勢(shì)引導(dǎo)，看成2，真的是2嗎？從而引出把20看成2個(gè)十，用數(shù)的組成將整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法，進(jìn)行口算。即使轉(zhuǎn)換了計(jì)數(shù)單位，只是憑空說(shuō)一下學(xué)生還是不能深刻感悟，于是老師再將計(jì)數(shù)單位以更直觀的小正方體來(lái)表示。課前老師就在學(xué)生頭腦中建立了“一列小正方體就是一個(gè)十，一面小正方體是一個(gè)百，一個(gè)大正方體就是一個(gè)千”這樣的表象。因而“20×3”就能化為兩列小正方體一組，有這樣3組一共是6列也就是60，從而有效地呈現(xiàn)了把“20×3”看成兩個(gè)十乘3的理論依據(jù)。再把這個(gè)方法類推至“200×3”和“2000×3”，通過(guò)直觀出示兩面小正方體表示200，兩個(gè)大正方體表示2000，讓學(xué)生去理解為什么都可以用先不看0，而看成“2×3”去做，再舉添上0這個(gè)方法去計(jì)算的原因。

通過(guò)將計(jì)數(shù)單位十、百、千轉(zhuǎn)換成一列小正方體、一面小正方體和一個(gè)大立方體的形式，學(xué)生深刻地理解為什么可以把這幾個(gè)算式都看成“2×3”，清晰地解釋了算理，也揭示了算法的合理性。

（二）數(shù)形結(jié)合，掌握算法

學(xué)生只有理解了算理，才能“創(chuàng)造”出計(jì)算的方法，從而正確地計(jì)算。算理是一個(gè)內(nèi)在規(guī)律，但在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不僅思維強(qiáng)度大，而且計(jì)算的速度很慢，要提高計(jì)算效率，就需要找計(jì)算的普遍規(guī)律，提煉出一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。

例如在教學(xué)《筆算多位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）》中，學(xué)生已經(jīng)知道“12×3”的算理實(shí)際就是3個(gè)2和3個(gè)10的和，因此教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)算理能不能把上面三個(gè)式子合并成一個(gè)豎式？從而引出乘法的原始豎式，再讓全體學(xué)生讀過(guò)程，加深對(duì)算理的理解。然后要求學(xué)生用原始的豎式進(jìn)行練習(xí)，讓學(xué)生在習(xí)題中充分理解二位數(shù)乘一位數(shù)的算理。在學(xué)生對(duì)算理有一定理解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行反思，啟發(fā)學(xué)生再思考，對(duì)算理進(jìn)行提煉和“創(chuàng)造”，從而對(duì)上面的豎式進(jìn)行簡(jiǎn)化。通過(guò)對(duì)比進(jìn)一步提煉出計(jì)算方法，用第二因數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)，再把所得的積加起來(lái)。

（三）數(shù)形結(jié)合，有效銜接

對(duì)學(xué)生而言，理解算理、構(gòu)建算法注定是一個(gè)艱難跋涉的過(guò)程。在這一過(guò)程中，教師應(yīng)起好引領(lǐng)作用。

首先要適時(shí)架橋鋪路，而不能跨越“中間地帶”。算理與算法之間有個(gè)緩沖的“中間地帶”，在這個(gè)“中間地帶”架橋鋪路，溝通直觀具體與抽象概括之間的聯(lián)系，能促進(jìn)學(xué)生更好地建構(gòu)算法；跨越這個(gè)“中間地帶”則不利于學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上提取算法。在《口算乘法》的教學(xué)中，老師利用小立方體圖很好地將算理與算法結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷了“小立方體圖——算理理解——算法歸納”這一教學(xué)流程，將算理與算法進(jìn)行有效的鏈接，以小方體為載體充分理解算理，并且歸納算法。

其次要讓學(xué)生“來(lái)回穿行”，豐富體驗(yàn)，而不是“替蝶破繭”，簡(jiǎn)縮過(guò)程。在算理與算法的“緩沖區(qū)”，要提供充分的時(shí)間和空間讓學(xué)生“來(lái)回穿行”，豐富體驗(yàn)，加深認(rèn)識(shí)。如果簡(jiǎn)縮這一過(guò)程，學(xué)生原有的理解與抽象的算法之間會(huì)出現(xiàn)斷層，算法建構(gòu)與已有經(jīng)驗(yàn)無(wú)法建立一種實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。如在《筆算乘法》一課中，老師在學(xué)生理解了豎式計(jì)算算理的基礎(chǔ)上，并沒(méi)有急于讓學(xué)生去接受規(guī)定的豎式格式，而是根據(jù)算理讓學(xué)生用原豎式進(jìn)行計(jì)算，讓學(xué)生對(duì)算理有一個(gè)豐富的體驗(yàn)。通過(guò)第一層次的練習(xí)體驗(yàn)啟發(fā)學(xué)生思考根據(jù)算理能不能將算法進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，由于有了豐富的體驗(yàn)，學(xué)生都能將豎式計(jì)算的格式進(jìn)行提煉和簡(jiǎn)化，并在前后對(duì)比中，主動(dòng)構(gòu)建出簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。

最后，尊重學(xué)生，因勢(shì)利導(dǎo)，而不能硬性嵌入。在算理與算法鏈接時(shí)，要充分尊重學(xué)生的理解和選擇，適時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，組織學(xué)生進(jìn)行比較、交流、反思等。不能把自己的觀點(diǎn)強(qiáng)加給學(xué)生，把自己認(rèn)為好的方法硬性嵌入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種硬性嫁接只能為學(xué)生的認(rèn)識(shí)留下“硬傷”，不利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。例如在教學(xué)《口算乘法》時(shí)，教學(xué)完“20×3=60”可以用“20+20+20=60”去做后，也可以用轉(zhuǎn)換成“2個(gè)十”×3=“6個(gè)十”去想。這里老師并沒(méi)有急于將方法進(jìn)行統(tǒng)一，而是再次用喜歡的方法做一做：“20×9”、“70×8”。在方法對(duì)比中讓學(xué)生自主選擇，逐步明白“2個(gè)十”×9=“18個(gè)十”，“7個(gè)十”×8=“56個(gè)十”，比用“20+20+20+20+20+20+20+20+20=180，70+70+70+70+70+70+70+70=560”來(lái)得更方便。從而使計(jì)算方法成為學(xué)生內(nèi)心自主選擇的一個(gè)過(guò)程，而不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的。

二、數(shù)形結(jié)合有效銜接算理與算法策略應(yīng)用的注意點(diǎn)

（一）數(shù)形結(jié)合，“形”與“數(shù)”結(jié)合材料選擇的貼切性

材料的選擇要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展程度。比如低年級(jí)學(xué)生適合用小棒圖、實(shí)物圖、小立方體圖來(lái)承載算理和算法。因?yàn)榈投螌W(xué)生直觀形象思維的主導(dǎo)地位決定了大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)需要“形”的支撐。而高年級(jí)則適宜用線段圖、線軸圖等“形代替實(shí)物”的“形呈現(xiàn)”，培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的表現(xiàn)形式。隨著年齡段的提升，所選用的形也應(yīng)該從實(shí)物過(guò)渡到“形代替實(shí)物”，逐步提升形的抽象度，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

（二）數(shù)形結(jié)合，“數(shù)”與“形”的先后呈現(xiàn)時(shí)機(jī)的精確性

數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”與“形”的呈現(xiàn)順序是先“形”后“數(shù)”，還是先“數(shù)”后“形”應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展特點(diǎn)而定，根據(jù)教材的階段性而定。“形”的出現(xiàn)是在學(xué)生計(jì)算有困難或者對(duì)知識(shí)不理解的情況下，再化數(shù)為形，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)理解算理和掌握算法。太早，對(duì)知識(shí)的感悟不夠深刻，沒(méi)有一種內(nèi)心的需求。太晚，則會(huì)體現(xiàn)“形”的實(shí)際價(jià)值，使數(shù)形結(jié)合流于形式。因此，呈現(xiàn)的時(shí)機(jī)，還要經(jīng)過(guò)反復(fù)的思量，力求做到在對(duì)的時(shí)間，遇見(jiàn)對(duì)的形式。

（三）數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮“數(shù)”與“形”聯(lián)系效果的深刻性

注重在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)方式的應(yīng)用指導(dǎo)，教師出示了數(shù)形結(jié)合的情境時(shí)，應(yīng)該提供適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，創(chuàng)設(shè)必要的活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生思考，指引學(xué)生思維的方向。教師應(yīng)充分利用學(xué)生形象思維的特點(diǎn)，大量地用“形”解釋、演示、幫助理解抽象的“數(shù)”。數(shù)與形的結(jié)合是教師和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種思想方法，兩者不能截然分開(kāi)，兩種都是符號(hào)，要做到數(shù)中有形，形中有數(shù)，讓學(xué)生寓知識(shí)于活動(dòng)之中，以形思數(shù)，幫助記憶。

（四）數(shù)形結(jié)合，充分發(fā)揮學(xué)生的聯(lián)想能力

聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁，是一種自覺(jué)的和有目的的想象，是由當(dāng)前感知或思考的事物，想起有關(guān)的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活動(dòng)。培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力，對(duì)提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力有較大的作用，通過(guò)聯(lián)想、操作，感受數(shù)與形的密切聯(lián)系，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的方法。endprint