行列式的計(jì)算

摘 要：行列式有著重要的應(yīng)用，在求解方程組、討論矩陣的特征值、數(shù)值分析等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，因此掌握好行列式的相關(guān)計(jì)算技巧就很重要。因此本文從幾種特殊的行列式出發(fā)，總結(jié)出計(jì)算的技巧。

關(guān)鍵詞：行列式；技巧；計(jì)算

人們?cè)诜匠探M求解的研究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了行列式這個(gè)有用的工具，因此這個(gè)概念應(yīng)運(yùn)而生。行列式作為線性代數(shù)和高等代數(shù)中的重要概念之一，在很多數(shù)學(xué)分支學(xué)科以及理工科和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，因此本文從計(jì)算的技巧方面進(jìn)行研究行列式，方便初學(xué)者學(xué)習(xí)和掌握。

一、 行列式的性質(zhì)

行列式DT是由行列式D的行與列對(duì)應(yīng)互換所得到，稱行列式DT為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。

性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT。

性質(zhì)2 任意對(duì)換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號(hào)。

推論 行列式中有兩行（或兩列）元素對(duì)應(yīng)相同，則此行列式為零。

推論1 行列式中的某行（或某列）的所有元素有公因子k，則這個(gè)k可以提到行列式記號(hào)外。

推論2 行列式中某行（或等列）的元素全為零，則行列式的值為零。

性質(zhì)4 行列式中有兩行（或兩列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式為零。

性質(zhì)5 若行列式中某行（或列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則D等于下列兩個(gè)行列式之和。

利用性質(zhì)5和性質(zhì)4，又可得到下列性質(zhì)。

性質(zhì)6 行列式中某行（或列）的元素k倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上，此行列式的值不變。

注：利用性質(zhì)6將行列式化成上三角行列式是計(jì)算行列式的有效方法。

二、 行列式方法總結(jié)

（一） 利用行列式的定義計(jì)算

這種方法只適用于一些特殊行列式或者大多數(shù)元素為零的行列式的計(jì)算。

（二） 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算

利用行列式的性質(zhì)將行列式轉(zhuǎn)化為上（下）三角形行列式來(lái)計(jì)算，這是計(jì)算行列式最常用的方法。

（三） 利用行列式展開定理來(lái)計(jì)算

利用按行（列）展開公式將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來(lái)計(jì)算，該方法適用于大多數(shù)元素為零的行列式的計(jì)算。

（四） 利用遞推關(guān)系來(lái)計(jì)算

利用行列式的性質(zhì)或展開公式找出遞推關(guān)系來(lái)進(jìn)行計(jì)算，該方法一般適用于高階且元素有規(guī)律的行列式的計(jì)算。

（五） 利用升階法（或加邊法）計(jì)算

在行列式的值不變的情況下，加上特殊一行和一列，再利用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算。

（六） 利用分解之積法計(jì)算

四、 結(jié)論

通過(guò)以上的兩個(gè)例子我們可以看出求解行列式也并不是非常困難的事情，只要掌握好行列式的性質(zhì)和推論以及幾大類典型的行列式的計(jì)算技巧，那么行列式的求解就變得相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單。在后續(xù)求解方程組或者特征值、二次型的學(xué)習(xí)過(guò)程中就不會(huì)有多大問(wèn)題。希望本文對(duì)初學(xué)者和其他研究行列式的學(xué)者有一定的幫助，僅供大家參考。

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作者簡(jiǎn)介：

陳康，四川省成都市，西南交通大學(xué)希望學(xué)院。