創(chuàng)設(shè)各類問(wèn)題情境，組織學(xué)生自主探究
——“基本不等式”教學(xué)案例

江蘇省南京市臨江高級(jí)中學(xué) 李仲勝

創(chuàng)設(shè)各類問(wèn)題情境，組織學(xué)生自主探究
——“基本不等式”教學(xué)案例

江蘇省南京市臨江高級(jí)中學(xué) 李仲勝

當(dāng)代教育家蘇霍姆林斯基指出：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需求，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者，而在人的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈?！币虼?，在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，設(shè)計(jì)探索性與開(kāi)放性的問(wèn)題，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，使他們積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)的全過(guò)程。課堂教學(xué)關(guān)鍵是“問(wèn)題情境”的設(shè)置，通過(guò)“問(wèn)題情境”的創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的欲望。本文中，筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)《必修5》中“基本不等式”這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中如何以問(wèn)題為中心組織學(xué)生自主探究。

一、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用性問(wèn)題情境，開(kāi)展探究性活動(dòng)

在講授“基本不等式”這節(jié)課時(shí)，如果按照教材內(nèi)容直接給出定理，學(xué)生會(huì)覺(jué)得很枯燥。我在教學(xué)中精心設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：我們教室前面的花壇是邊長(zhǎng)為13米的正方形（如圖1）?，F(xiàn)想種植四種不同顏色的花，請(qǐng)問(wèn)：能不能設(shè)計(jì)出面積相等且長(zhǎng)和寬分別為6米和7米的小長(zhǎng)方形方塊？如果能，設(shè)計(jì)出圖案（如圖2）。若把正方形的邊長(zhǎng)改為（a+b）米，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a米和b米，情況又會(huì)怎么樣呢？

問(wèn)題2：求正數(shù)a 和b的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，并猜想它們的大小關(guān)系。能不能根據(jù)問(wèn)題1來(lái)驗(yàn)證？

問(wèn)題1的提出使學(xué)生產(chǎn)生了興趣，同學(xué)之間馬上議論起來(lái)。他們覺(jué)得問(wèn)題有趣、親切，于是大家都躍躍欲試設(shè)計(jì)圖案。經(jīng)過(guò)分析，動(dòng)手操作，互相交流，互相探討，最后設(shè)計(jì)出如下美麗圖案（如圖3、圖4、圖5），有些同學(xué)還涂上了各種顏色。

從設(shè)計(jì)的圖形中可直觀得出：S正方形≥4S小長(zhǎng)方形（當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)），即：，對(duì)于問(wèn)題（2），要求正數(shù)a和b的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，同學(xué)們認(rèn)為太容易了，但要比較它們的大小時(shí)，同學(xué)就有點(diǎn)疑惑了，難以確定。老師給足時(shí)間，讓學(xué)生仔細(xì)猜想，認(rèn)真討論，并在關(guān)鍵時(shí)引導(dǎo)他們用特殊值來(lái)思考或觀察問(wèn)題（1）的結(jié)果，找出問(wèn)題之間的關(guān)系。于是同學(xué)們都積極參與，經(jīng)過(guò)思索、比較、驗(yàn)證，終于猜想出（a＞0，b＞0），這樣學(xué)生在愉快、有趣的活動(dòng)中不知不覺(jué)探究到了數(shù)學(xué)定理，這時(shí)再給出基本不等式的定理已是水到渠成了。

二、創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題情境，開(kāi)展探究性活動(dòng)

證法1：用不等式基本性質(zhì)：由（a-b）2≥0 得：（a+b）2-4ab≥0，∵a＞0，b＞0，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）。

顯然，④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立。

證法3：用問(wèn)題（1）中的正方形面積大于或等于四個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，得：（a+b）2≥4ab，從而可得：

通過(guò)創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題3并進(jìn)行一題多解，可使學(xué)生拓寬視野，并從幾何圖形中（如圖6）直觀認(rèn)識(shí)基本不等式定理，深刻理解基本不等式定理的意義，尤其能通過(guò)圖形理解定理中的等號(hào)條件。在課堂上多提出一些開(kāi)放性問(wèn)題，多開(kāi)展這樣的探究性活動(dòng)，既能使學(xué)生理解和掌握課本的知識(shí)，又能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力的目的。

三、創(chuàng)設(shè)變換引申問(wèn)題情境，開(kāi)展探究性活動(dòng)

在課堂例題的教學(xué)中，如果就題講題，不思變換，學(xué)生往往印象不深，只知其一，不知其二，不能理解其中奧妙，若能通過(guò)一些讓學(xué)生感到意外的變例加以刺激，使他們無(wú)意之中看到了問(wèn)題的嚴(yán)重性，往往可以引起學(xué)生的極大興趣和高度注意，從而留下較為深刻的印象。

以上幾個(gè)方面的變化有一定程度的關(guān)系，但不盡相同。給學(xué)生以神秘感，教師正好利用這點(diǎn)來(lái)集中學(xué)生的注意力。通過(guò)例題講解和引申問(wèn)題的探究，使學(xué)生真正理解和掌握基本不等式定理的“一正、二定、三相等”，并且知道怎樣利用基本不等式定理求最值，問(wèn)題4、5看似簡(jiǎn)單、容易，但設(shè)有陷阱，能使粗心大意、考慮不周全的學(xué)生受到挫折。同時(shí)，問(wèn)題難度是遞進(jìn)式的、有層次的、由淺入深、由易到難的，這樣能使學(xué)生緊緊圍繞問(wèn)題，逐步深入開(kāi)展探究，從而使學(xué)生的探究能力得到提高，得到升華。

四、創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑性問(wèn)題情境，開(kāi)展探究性活動(dòng)

在課堂練習(xí)中制造明顯錯(cuò)誤，通過(guò)就錯(cuò)論錯(cuò)，錯(cuò)中見(jiàn)正，不僅能有效地幫助學(xué)生辨別是非，解決疑惑，走出困境，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與求知欲，積極思考，踴躍發(fā)言，令課堂氣氛活躍，課堂教學(xué)的效果也就更好了?？聪旅胬}：

∴所以x+y的最小值為9 。

出示問(wèn)題6后，學(xué)生個(gè)個(gè)睜大眼睛，上下來(lái)回看了一遍又一遍，如此答案，在學(xué)生看來(lái)似是而非，但錯(cuò)在何處卻又迷惑不解，課堂氣氛隨即活躍起來(lái)。大家都覺(jué)得兩種解法都對(duì)，但又不知道答案為什么會(huì)不一樣，不能辯明事理。教師若一語(yǔ)道破了玄機(jī)，則不僅會(huì)使課堂教學(xué)失去生機(jī)，更重要的是難以達(dá)到預(yù)期效果。教師不著急，讓學(xué)生自由探究，終于有一雙慧眼發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題（6）的甲方法中，兩次用到基本不等式定理時(shí)，等號(hào)成立的條件不一致，故甲方法是錯(cuò)的。通過(guò)對(duì)問(wèn)題6的探究，使學(xué)生更全面、更深刻地理解定理，同時(shí)也提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

五、創(chuàng)設(shè)趣味性問(wèn)題情境，開(kāi)展探究性活動(dòng)

在課堂上或課后，老師可適當(dāng)對(duì)定理、例題等知識(shí)進(jìn)行引申推廣，創(chuàng)設(shè)趣味性問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，提高學(xué)生的求知欲，使學(xué)生在思考與探索問(wèn)題的過(guò)程中掌握知識(shí)。

我在這節(jié)課的課外練習(xí)中補(bǔ)充了下面的問(wèn)題：

問(wèn)題7：

觀察上述各小題的結(jié)論，探究其規(guī)律，你們能得出什么結(jié)論？

讓同學(xué)們經(jīng)過(guò)觀察、思考與探索，自己得出結(jié)論：“若干個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)?！?/p>

總之，通過(guò)對(duì)定理、例題等知識(shí)的引申推廣，創(chuàng)設(shè)一些趣味性問(wèn)題讓同學(xué)們思考與探索，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比等解題的能力，提高數(shù)學(xué)思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神，讓同學(xué)們通過(guò)自己的努力得出一些性質(zhì)、公式，可讓他們有一定的成就感，使他們的學(xué)習(xí)興趣更濃，學(xué)習(xí)熱情更高漲。

由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)有針對(duì)性、啟發(fā)性和趣味性的問(wèn)題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究性活動(dòng)的氛圍，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到最佳效果。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展探究性活動(dòng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心和克服困難的意志，有利于加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，掌握解決問(wèn)題的方法和策略，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)和合作精神。