一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在定理

馮艷青,王忠英,姚俊,文傳軍

(常州工學院數(shù)理與化工學院,江蘇常州213000)

一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在定理

馮艷青,王忠英,姚俊,文傳軍

(常州工學院數(shù)理與化工學院,江蘇常州213000)

本文研究了一類二階非線性拋物型方程解的存在唯一性問題.利用非線性分析中的吸引盆理論和同胚理論,獲得了相應的二階非線性拋物型方程初邊值問題解的大范圍存在唯一性定理.

二階拋物型方程;初邊值問題;吸引盆;全局同胚

1 引言

二階拋物型方程

也被稱為熱傳導方程,其中Δ表示n維拉普拉斯算子.由于在物理、幾何中的廣泛應用,許多數(shù)學工作者都研究過方程(1)解的存在性問題,也得到很多結果(見文獻[1-5]).

在拋物型偏微分方程解的存在性問題的研究中,一般是先建立一個可能的解的先驗估計,然后利用一些非線性分析的方法證明解的存在性.如Elcart和Sigillito在文[1]中先推導出了拋物算子Lau

的一個先驗估計kuk2,1≤CkLuk0,進而得到了解存在唯一性定理.受到上述思想的啟發(fā),我們將對二階拋物型算子

建立一個優(yōu)先估計

然后利用非線性分析的方法討論方程(1.1)解的存在性問題,并推導出一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在唯一性的一個充分條件.我們的證明不同于Elcart和sigillito給出的證明.一個有趣的工具,吸引盆,在我們的主要定理2.1的證明中起著重要的作用,下面先給出有關吸引盆理論的相關知識.

引理1.1[6]設E,F為Banach空間,H為E中連通開集.f：H?E→F在H上是局部同胚的C1映射.設x0∈H,對于任何x∈H,路徑提升問題有唯一一個定義在最大開區(qū)間Ix=(t-x,t+x),-∞≤t-x,t+x≤+∞上的連續(xù)解t→γx(t),并且集合{(x,t)∈H×R：t∈Ix}是H×R上的開集,映射(x,t)→γx(t)是連續(xù)的.

定義1.1[6]在引理1.1的假設條件下,x0的吸引盆是指集合B={x∈H：t+x=+∞}.

定理1.1[8]設連續(xù)映射f：H?E→F是局部同胚的,則f是全局同胚的充要條件是對所有的x∈B,γx(t)都定義在實數(shù)R上,即γx(t)可以向-∞延伸.

2 一些不等式

在這一部分,將推導一些重要的不等式,它們在主要定理的證明中起著重要作用.考慮二階拋物算子

其中a(x)是t,x1,···,xn的有界函數(shù).設W0(D)是以

為范數(shù)的Hilbert空間,其中梯度是相對于空間變量,并且u∈W0(D)意味著u是定義在D=Ω×[0,T]中的;Ω是緊的有界集,其邊界分段光滑且處處有非負平均曲率;|D2u|2表示關于空間變量的所有二階導數(shù)的平方和.

記

(2.1)式可以寫為

根據(jù)上述假設可得L0是一個由W0(D)映入L2(D)的線性算子.

3 主要定理

下面給出方程

滿足初始條件u(x,0)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T)的解的存在性和唯一性的充分條件.

設?Ω∈C2,對于所有的(x,t),h關于u連續(xù),且對于所有的u,h關于(x,t)可測,且有直到三階連續(xù)偏導數(shù).

將式(3.1)改寫為算子形式

于是式(3.1)等價于

求Frechet導數(shù),于是對一切u,φ∈W0(D),有

定理3.1假設

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A EXISTENCE THEOREM FOR SOME SECOND ORDER PARABOLIC INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FENG Yan-qing,WANG Zong-ying,YAO Jun,WEN Chuan-jun
(School of Mathematics and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology, Changzhou 213000,China)

In this paper,an a priori estimate for a second order linear parabolic operators is established.By using the basin of attraction and homeomorphism,a new sufficient condition of the existence and uniqueness of an initial boundary value problem for a second order parabolic equations is proved.This idea can be applied some semi-linear partial dif f erential equations.

second order parabolic equation;initial-boundary value problem;the basin of attraction;homeomorphism

O175

A

0255-7797(2017)05-1075-06

2016-12-01接收日期：2017-03-08

馮艷青(1969-),女,浙江義烏,教授,主要研究方向：微分方程及數(shù)值解.

2010 MR Subject Classif i cation：35K05;35K20