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    微分中值定理的學(xué)習(xí)技巧

    2017-09-14 23:18李小娟
    教育教學(xué)論壇 2017年37期
    關(guān)鍵詞:學(xué)習(xí)技巧微分

    李小娟

    摘要:基于當(dāng)代大學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上存在學(xué)習(xí)困難的現(xiàn)象較為普遍,而學(xué)校給出的課時數(shù)又相對較少的問題,本文提出了兩點建議:一、及時利用新知識鞏固舊知識,如利用學(xué)習(xí)不定積分復(fù)習(xí)鞏固導(dǎo)數(shù);二、在教學(xué)方法上強調(diào)思想和解題技巧的統(tǒng)一,使復(fù)雜問題簡單化,如學(xué)習(xí)微分中值定理時,基本都是圍繞一條主線:從結(jié)論出發(fā),利用不定積分湊出輔助函數(shù),驗證輔助函數(shù)符合羅爾定理三個條件,最后利用羅爾定理直接得出結(jié)論。

    關(guān)鍵詞:微分;中值定理;學(xué)習(xí)技巧

    中圖分類號:G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)37-0223-02

    當(dāng)代大學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上存在學(xué)習(xí)困難的現(xiàn)象較為普遍,個別專業(yè)學(xué)生在期末考試中不及格率偏高,在補考和重修中仍沒有太大改觀.學(xué)生在學(xué)習(xí)上表現(xiàn)與高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要求及教學(xué)目標(biāo)相去甚遠(yuǎn),未達(dá)到基本學(xué)習(xí)要求.在與學(xué)生的交談中可以了解到學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中摸不到頭緒,無法掌握有效的學(xué)習(xí)方法,主要靠對公式、例題和作業(yè)題死記硬背應(yīng)付考試.而在整個微積分的教學(xué)過程中,微分中值定理不僅是重點,而且是難點.鑒于以上現(xiàn)象,我在授課的過程中會更加注重思想的統(tǒng)一、解題技巧的應(yīng)用,這樣,不僅讓學(xué)生能容易理解定理的證明,更能從頭開始讓學(xué)生掌握做題的技巧,使得復(fù)雜問題簡單化,這對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生非常重要.

    在微分中值定理的學(xué)習(xí)過程中,最主要的思想就是構(gòu)造輔助函數(shù),利用下面的羅爾定理來證明.

    (羅爾定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足條件:

    (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

    (2)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),

    (3)在區(qū)間兩個端點上的函數(shù)值相等,

    即f(a)=f(b),

    則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.

    但是利用一般思想來構(gòu)造輔助函數(shù)的過程是很復(fù)雜的,下面我們主要講述不定積分在構(gòu)造輔助函數(shù)過程中的重要性.

    一、利用輔助函數(shù)巧證拉格朗日定理

    設(shè)函數(shù)f(x)滿足:

    (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

    (2)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),

    那么就需要找一個符合羅爾定理條件的函數(shù)F(x)滿足下面兩個條件:

    即可說明拉格朗日定理是成立的.

    而對(i)兩邊求不定積分可得:

    因C是任意常數(shù),不妨設(shè)C=0,即設(shè)

    很容易驗證函數(shù)F(x)是符合羅爾定理三個條件的,所以由羅爾定理可得條件(ii)成立,定理得證.

    二、利用輔助函數(shù)巧證柯西定理

    設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足:

    (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

    (2)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),

    (3)在(a,b)內(nèi)任何一點處g′(x)都不等于0,

    則至少存在一點ξ∈(a,b),使得:

    分析:要想證明

    即證

    [f(b)-f(a)]g′(ξ)-[g(b)-g(a)]f′(ξ)=0,那么就需要找一個符合羅爾定理條件的函數(shù)F(x)滿足下面兩個條件:

    (i)F′(x)=[f(b)-f(a)]g′(x)

    -[g(b)-g(a)]f′(x),

    (ii)F′(ξ)=0,

    即可說明拉格朗日定理是成立的.

    而對(i)兩邊求分部積分可得:

    F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)

    -[g(b)-g(a)]f(x)+C.

    因C是任意常數(shù),不妨設(shè)C=0,即設(shè)

    F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x).

    很容易驗證函數(shù)F(x)是符合羅爾定理三個條件的,所以由羅爾定理可得條件(ii)成立,定理得證.

    參考文獻(xiàn):

    [1]陳玉.積分第一中值定理的推廣[J].江西科學(xué),2014,(02).

    [2]陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2013,(06).

    [3]伍建華,孫霞林,熊德之.一類積分型中值定理的漸近性討論[J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,(08).endprint

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