高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用探索

李天歌

摘 要：數(shù)形結(jié)合是一種重要的解題方法，在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題時(shí)，就是將“數(shù)”與“形”進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，利用圖形特征解決高中數(shù)學(xué)問題。本文具體介紹了高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，旨在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想提高解題效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解題 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）07（b）-0227-02

1 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決方程式問題

在研究一元二次方程根的分布情況時(shí)，運(yùn)用二次函數(shù)的圖像。二次函數(shù)為：y=ax2+bx+c（a≠0），通過二次函數(shù)的圖像可知，x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程f（x）=0的實(shí)根，所以通過二次函數(shù)的圖像就能了解方程f（x）=0的實(shí)根情況，所以對(duì)f（x）=0與y=f（x）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在運(yùn)用y=f（x）的函數(shù)圖像就能簡(jiǎn)單直觀的解決問題。

例1：方程2a2x2+2ax+1-a2=0的兩個(gè)根在（-1，1）之內(nèi)，求a的值？

分析：由題意可知a2≠0，根據(jù)已知方程繪制二次函數(shù)y=2a2x2+2ax+1-a2草圖（如圖1所示），從圖中可知，拋物線與x軸的交點(diǎn)在（-1，1）之內(nèi)，要滿足條件：（a-1）2>0、（a+1）2>0、-a2≤0，從而解的a的取值范圍為a≥知a≤-，a≠±1。

利用函數(shù)圖像解決方程近似解的個(gè)數(shù)問題。在高中數(shù)學(xué)中有很多不規(guī)則方程，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題。

例2：方程ax-2x-1=0（a>1，a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

分析：由題意可知此方程為不規(guī)則方程，這是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中不熟悉的方程，這時(shí)就要通過變形的方式將方程轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兤綍r(shí)熟悉的方程，將ax-2x-1=0變形為ax=2x+1，這時(shí)再繪制出y=ax與y=2x+1這兩個(gè)圖像的草圖（如圖2所示），根據(jù)圖2可知y=ax與y=2x+1這兩個(gè)圖像都經(jīng)過（0，1），當(dāng)a>1時(shí)兩個(gè)函數(shù)還有另外一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)零點(diǎn)。

通過二次函數(shù)圖像求一元二次不等式的解集，在解題的過程中遇到求一元二次不等式解集的題，可以通過二次函數(shù)圖像確定拋物線的開口方向，同時(shí)也能確定拋物線與X軸的交點(diǎn)，這樣能夠輕松便捷的求得一元二次不等式解集。

例3：求不等式x2-x-6≤0的解集。

分析：根據(jù)題目畫出y=x2-x-6的函數(shù)圖像（如圖3所示），根據(jù)函數(shù)圖像以及函數(shù)的開口方向可以得到不等式x2-x-6≤0的解集，x的解集為{xI-2≤x≤3}。

2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

在解決集合問題時(shí)可以利用韋恩圖解決。韋恩圖就是用圓來表示一個(gè)集合，如果兩個(gè)圓相交，那么就表明這兩個(gè)集合有公共元素，如果兩圓相離就說明這兩個(gè)集合沒有公共元素，運(yùn)用韋恩圖能夠簡(jiǎn)單直觀的解決集合問題。

例4：已知全集U={xI x2<50，x ∈N}，Ln（C M）={1，6}，Mn（C UL）={2，3}，C u（MUL）={0，5}，求集合M和L？

分析：首先求得全集=U={xIx2<50，x∈N}.{0，1，2，3，4，5，6，7}。

第二步：將Ln（L uM）={1，6}，Mn（C UL）={2，3}，C u（MUL）={0，5}中的元素在韋恩圖中依次定位。

第三步：定位集合中的4，7元素。

第四步：根據(jù)圖4的元素位置，得集合M={2，3，4，7}，集合L={1，4，6，7}。

應(yīng)用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算問題，以及集合與集合間的關(guān)系問題。

例5：已知集合A={xI x<-1或x≥1}，B={xI 2a

分析：由題意可知a<1，2a

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)值大小比較問題

在比較數(shù)值大小時(shí)，可以將數(shù)值轉(zhuǎn)換為函數(shù)值進(jìn)行比較，再結(jié)合函數(shù)圖像直接比較數(shù)值的大小，這種方法能夠節(jié)省很多的解題時(shí)間，如果在考試中比較大小的數(shù)值出現(xiàn)在選擇題或者填空題部分時(shí)，筆者就會(huì)用這樣的方法解決數(shù)值大小比較問題，十分方便快捷而且準(zhǔn)確度很高。

例6：比較0.72.7，22.7，4.52.7的大小。

分析：根據(jù)題意將0.72.7，22.7，4.52.7這幾個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換為函數(shù)：y=0.7x和y=2x和y=4.5x，這樣就將比較數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)換為了當(dāng)x=2.7時(shí)三個(gè)函數(shù)的大小。再根據(jù)函數(shù)畫出函數(shù)圖像（如圖6所示），通過圖像就能直觀的判斷出三個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系。

最后得出結(jié)論0.72.7<22.7<4.52.7。

3 結(jié)語

本文具體介紹了高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，首先介紹了怎樣運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決方程式問題，文中舉了三個(gè)例子，分別說明了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決一元二次方程根的分布情況、方程近似解的個(gè)數(shù)問題、求一元二次不等式的解集。這三種問題都是高中數(shù)學(xué)方程式中經(jīng)常遇到的問題。接下來介紹了怎樣運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題，利用數(shù)軸和韋恩圖能夠簡(jiǎn)單快捷的解題，通過平時(shí)的練習(xí)發(fā)現(xiàn)，集合問題在選擇題中比較常見，所以我在解題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用數(shù)軸和韋恩圖進(jìn)行集合求解。最后介紹了怎樣運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)值大小比較問題，數(shù)值大小比較也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，但是在平時(shí)的練習(xí)中發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)值很難進(jìn)行比較，而利用函數(shù)圖像能夠很便捷的解決這個(gè)問題，數(shù)值大小比較問題在選擇題中出現(xiàn)的比較多，所以利用函數(shù)圖像解決這類問題，會(huì)十分快捷。老師一直引導(dǎo)我們用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題，通過本文的分析可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠方便快捷的解決數(shù)學(xué)問題，提高我們的解題效率。

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