董天龍

摘要：高中課堂教學(xué)中，如何將學(xué)生從苦苦掙扎的“題?！啊敝薪饷摮鰜?，克服就提論題、模仿復(fù)制的傳統(tǒng)解題模式，以適應(yīng)培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的供給側(cè)需求，是擺在每一位數(shù)學(xué)教師面前的嚴(yán)峻課題。文章認(rèn)為教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多層次地思考問題，充分發(fā)揮學(xué)生的優(yōu)勢(shì)智能，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)充滿生命氣息，讓教學(xué)過程成為師生的一段生命歷程，此為數(shù)學(xué)在人生意義上的價(jià)值，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的最高境界。

關(guān)鍵詞：一題多變；學(xué)生個(gè)性；思維碰撞《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。從高考改革的趨勢(shì)來看，將來的高考試題會(huì)給思維能力強(qiáng)的考生留下充分施展才能的空間。這種思維能力主要體現(xiàn)在解題能力上，而解題能力的提高在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，主要通過讓學(xué)生在一題多解、一題多變、一題多用的思維訓(xùn)練中來完成，進(jìn)而使其化歸類型、探求規(guī)律、縱向挖掘、橫向聯(lián)系，真正成為復(fù)習(xí)課的主體，這才是符合新課改理念的課程觀。

一、一石激起千層浪，學(xué)生思維相碰撞

如在高三復(fù)習(xí)《不等式證明》時(shí)，課堂上出示了一道題目：

模型1：已知a，b∈R+，且a+b=1，求證：a2+b2≥12.

師：同學(xué)們可敞開思維，廣開思路，用不同的方法去證明，你能有多少種證法？

真是一石激起千層浪！同學(xué)們躍躍欲試，爭(zhēng)先恐后。

生：（交流展示自己的“作品”）

法1（消元法），法2（作差法），法3（綜合法），法4（分析法），法5（反證法），法6（判別式法），（此時(shí)，嘖嘖聲不絕于耳）法7（均值換元法），法8（三角換元法），（教室里頓時(shí)一片歡呼）法9（解析法），法10（幾何構(gòu)造法）（掌聲一個(gè)接著一個(gè)）法11（向量法）（真是青山遮不住，畢竟東流去?。?/p>

這里，智慧相互碰撞著，聰明相互傳染著，這就是學(xué)生的潛能。打開這道閘門吧，學(xué)生的潛能將如花綻放，學(xué)生的個(gè)性將充分張揚(yáng)，學(xué)生的智慧洪流將洶涌澎湃。

師：同學(xué)們，剛才問題的條件不變，你還能變換出什么結(jié)論？

生：不等式左邊的形式有：整式型、分式型、根式型、和式型、乘積型……

師：同學(xué)們，再變換剛才題目的條件，由二元變?yōu)槿?、四元…n元，結(jié)論又有何變化？

生：……（略）

師：解答就留給同學(xué)們?nèi)ヌ剿靼桑⊥瑢W(xué)們，剛才變角度，變出了絢麗多姿的解法；變結(jié)構(gòu)，變出了一系列重要猜想；變條件，引申推廣了若干有趣的重要結(jié)論。變，小到題目條件可變、結(jié)論可變，大到學(xué)習(xí)方法可變、學(xué)習(xí)興趣可變，甚至人生可變！事實(shí)上，世界萬物都在變，我們也需要改變。變，意味著創(chuàng)造；變，意味著進(jìn)步；變，意味著創(chuàng)新。世界會(huì)因變而美麗，你我會(huì)因變而精彩?。ㄍ瑢W(xué)們又一次情緒激昂地鼓起了不息的掌聲）

試問，這樣讓學(xué)生的思維動(dòng)起來，讓學(xué)生的內(nèi)心世界動(dòng)起來，讓學(xué)生的情感動(dòng)起來的課堂，不正是喚起學(xué)生的生命主體意識(shí)的課堂嗎？不正是我們廣大教師的終生價(jià)值追求嗎？

二、一花引來百花開，學(xué)生個(gè)性實(shí)難猜

模型2：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且a=3，b+c=3，求當(dāng)cosA+2cosB+C2取得最大值時(shí)的邊b和c的長(zhǎng).

分析：這是根據(jù)高考題編制而成的，主要考查解三角形問題，涉及求三角函數(shù)的最值問題，實(shí)際上還是對(duì)公式的熟練應(yīng)用；此題的關(guān)鍵在于用好條件“當(dāng)cosA+2cosB+C2取得最大值”即它可以得到什么結(jié)論，屬于探索性的問題.

師：如何改變條件，使所求結(jié)論保持不變？

真是一花引來百花開，同學(xué)們個(gè)個(gè)摩拳擦掌，爭(zhēng)先恐后，學(xué)生的思維個(gè)性充分張揚(yáng)，實(shí)在令人難以想象！

生1：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且a=3，b+c=3，B+C=2A，求邊b和c的長(zhǎng).

生2：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且a=3，b+c=3，asinA+bsinC=bsinB+csinC，求邊b和c的長(zhǎng).

生3：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且a=3，b+c=3，cosCcosA=2b-ca，求邊b和c的長(zhǎng).

生4：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且a=3，b+c=3， cosAcosC=a2b+c，求邊b和c的長(zhǎng).

生：……（略）

師：以上這幾位學(xué)生的變式與模型的最終結(jié)果是相同的，即對(duì)同一個(gè)問題采取了不同的設(shè)計(jì)方式，考查的角度變了，考查的效果卻有著很大的差異性啊！

師：采用對(duì)比方法簡(jiǎn)單分析如下：

生1把條件“B+C=2A”看成是等差數(shù)列問題與三角形內(nèi)角和定理相結(jié)合；生2的條件“asinA+bsinC=bsinB+csinC”要運(yùn)用到正弦定理，而且還要進(jìn)行是“邊化角”還是“角化邊”的正確選擇問題；生3比生2的情景設(shè)置顯得更豐滿些，也是對(duì)條件“cosCcosA=2b-ca”的轉(zhuǎn)化問題，但要比生2的思維含量高，因?yàn)榧纫汛藯l件進(jìn)行“邊化角”還是“角化邊”的正確選擇，還要進(jìn)行是用“正弦定理”還是用“余弦定理”的正確判斷；生4與生3基本相同；生5在條件“4cosA·sin2（π4+A2）=1+sin2A”的轉(zhuǎn)化過程中雖然沒有用到正余弦定理，但比生2在三角變換方面的要求更高，涉及到的三角公式比較多，對(duì)公式的靈活運(yùn)用要求更高.從以上分析來看，通過模型及其變式對(duì)有關(guān)三角形問題的設(shè)置與解決方法進(jìn)行了比較全面的分析，可以使學(xué)生對(duì)解決這類問題形成整體的印象，深刻的理解和掌握了這類問題的方法.

三、心有靈犀一點(diǎn)通，學(xué)生智慧真無窮

教學(xué)例題大多有其廣泛的應(yīng)用。一題多解，實(shí)現(xiàn)由“點(diǎn)到線”的變化；一題多變，又由“線擴(kuò)大到面”的變化；而“借題發(fā)揮”，則進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)由“面到體”的變化。這樣，例題教學(xué)便可多層次、廣視角、全方位地進(jìn)行研究與拓展，充分發(fā)揮其潛能。

模型3：已知：00，求證：a+mb+m>ab，我借題發(fā)揮，探索一題多用的復(fù)習(xí)價(jià)值

師：利用這個(gè)分式型“糖水不等式”能解決哪些問題呢？

真是心有靈犀一點(diǎn)通，打開這道閘門，學(xué)生的潛能如花綻放，學(xué)生的智慧洪流洶涌澎湃，真是勢(shì)不可擋，無窮無盡！

生1：能解決分式型與真假分?jǐn)?shù)有關(guān)不等式問題。

生2：可寫出12與1之間的所有分母不大于10的分?jǐn)?shù)。

12<59<47<35<58<23<710<57<34<79<45<56<67<78<89<910<1

生3：求證：123456……99100<110

生4：（1989年廣東高考題）若0

A.cosb+ma+m

C. cosb-ma-m

生5：（1998年全國(guó)高考題）求證：

（1+13）（1+15）…（1+12n-1）>2n+12（n∈N，n≥2）

生6：（2001年全國(guó)高考題）

已知i，m，n∈N，且1

師：在今后的解題中還會(huì)找到更多的應(yīng)用，這正好印證了華羅庚先生的名言：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅” 。

綜上所述：教師在問題設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)注重借題發(fā)揮，一題多變、一題多解、多題一解，多題歸一，以小見大，長(zhǎng)此以往，可以完善學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生思維能力，此為數(shù)學(xué)的思維價(jià)值。同時(shí)，課堂上演繹的生命精彩，可讓教學(xué)過程成為學(xué)生的一段生命歷程，生命體驗(yàn)，此為數(shù)學(xué)的生命價(jià)值，這也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然選擇！ （作者單位：山東省青島市第二中學(xué)266061）