高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的三個(gè)教學(xué)階

段曹靜

【內(nèi)容摘要】二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中的基本內(nèi)容。在學(xué)生已有的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理以形成清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并做好初高中銜接的準(zhǔn)備工作，可以讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，并發(fā)現(xiàn)單調(diào)性所對(duì)應(yīng)的定義域。這種精加工的結(jié)果可以根除傳統(tǒng)教學(xué)中通過(guò)機(jī)械重復(fù)來(lái)強(qiáng)調(diào)定義域重要性的弊端，從而保證了相關(guān)知識(shí)進(jìn)入學(xué)生的長(zhǎng)時(shí)記憶。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 教學(xué)階段

二次函數(shù)是高中函數(shù)教學(xué)中最基本的函數(shù)之一，學(xué)生在初中階段已經(jīng)初步學(xué)過(guò)該函數(shù)的知識(shí)。到了高中階段，要進(jìn)行更全面的認(rèn)識(shí)，而這個(gè)基礎(chǔ)就是學(xué)生已有的知識(shí)系統(tǒng)。因此這一知識(shí)的教學(xué)既具有管窺初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的作用，也能體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性特征。筆者梳理了二次函數(shù)的高中教學(xué)要求，同時(shí)結(jié)合高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，以為該教學(xué)可以分為三個(gè)階段。

一、原知識(shí)梳理階段

美國(guó)著名教育家?jiàn)W蘇泊爾對(duì)教育心理學(xué)有一句精辟的描述，“如果要我將全部教育心理學(xué)歸納為一句話的話，那我將說(shuō)，要弄清學(xué)生已知的并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！边@里，奧蘇泊爾所說(shuō)的“學(xué)生已知的”，實(shí)際上就是指學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)，我國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有一個(gè)優(yōu)良的傳統(tǒng)，那就是新課教學(xué)之前必定要幫學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，這實(shí)際上就是奧蘇泊爾教育理念的一種實(shí)踐。

高中階段二次函數(shù)知識(shí)的構(gòu)建可以有兩個(gè)教學(xué)思路：一是直接面向新知識(shí)的教學(xué)，在需要舊知識(shí)基礎(chǔ)的時(shí)候再行回顧；二是梳理好原來(lái)的知識(shí)基礎(chǔ)，然后引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新知識(shí)。筆者喜用后者，因?yàn)檫@一思路可以幫學(xué)生清晰地重現(xiàn)原有知識(shí)，從而為高中階段二次函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)，從而也就保證了學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生自主性的發(fā)揮——自主學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中亟需培養(yǎng)的能力！

二、初高中銜接階段

所謂的初高中銜接，實(shí)際上就是學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，尋找新知識(shí)建構(gòu)的“錨”——教育心理學(xué)中有一個(gè)著名的“拋錨式”教學(xué)理論，這一理論最大的建樹(shù)就是強(qiáng)調(diào)原有知識(shí)對(duì)于新知識(shí)所能發(fā)揮的作用。二次函數(shù)顯然是可以借助這一理論來(lái)實(shí)施教學(xué)的，但有一個(gè)關(guān)鍵，那就是讓學(xué)生能夠站在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上尋找新知構(gòu)建的方向。筆者的做法是這樣的：

首先，從二次函數(shù)的圖象即拋物線與平面直角坐標(biāo)系上x(chóng)軸的交點(diǎn)與y軸的關(guān)系，來(lái)幫學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的圖象特征。而分析的結(jié)果自然是四種：一是拋物線與x軸的交點(diǎn)在y軸的同一側(cè)，而這意味著對(duì)應(yīng)的二次方程有兩個(gè)相同符號(hào)的根；二是拋物線與x軸的交點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，這意味著兩根符號(hào)相反；三是交點(diǎn)正好在原點(diǎn)，意味著一個(gè)根；四是與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，無(wú)解。這一教學(xué)環(huán)節(jié)的作用在于讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的理解簡(jiǎn)潔化，從而可以為新知構(gòu)建清除干擾。

其次，引導(dǎo)學(xué)生初步感知拋物線的相關(guān)性質(zhì)。比如說(shuō)從拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)角度認(rèn)識(shí)拋物線，而這些都是學(xué)生相對(duì)熟悉的，在剛才第一階段的梳理中也已經(jīng)遇到過(guò)的，因而就不會(huì)有太大的認(rèn)知問(wèn)題。然后，再讓學(xué)生初步思考在拋物線對(duì)稱軸兩邊判斷y值隨x值的變化而變化的情況，尤其是要思考這個(gè)變化過(guò)程中出現(xiàn)的“最值”——這個(gè)時(shí)候，增減性與最值的概念不要直接出現(xiàn)，只要讓學(xué)生感受這個(gè)意思即可。實(shí)踐表明，這一努力是完全有效的，不需要教師太多的引導(dǎo)，學(xué)生即能發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，只是這個(gè)時(shí)候?qū)W生的發(fā)現(xiàn)更多的還是經(jīng)驗(yàn)性的，還缺少更多的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確描述，但這已經(jīng)足夠的，已經(jīng)可以為第三階段的教學(xué)提供基礎(chǔ)了。

再次，基于以上兩個(gè)基礎(chǔ)，讓學(xué)生從拋物線的平移角度初步感知其平移規(guī)律，并讓學(xué)生基于上面的第二點(diǎn)，去掌握相應(yīng)的二次方程的根的分布情況。然后在韋達(dá)定理復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析拋物線所對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根與系數(shù)滿足的條件（具體可以用表格來(lái)呈現(xiàn)，七行五列的表格，除了左上角單元格外，六行分別是根的六種組合情況，四列分別是Δ、兩根之和、兩根之積、結(jié)論。限于篇幅，表格略去。）

三、新知識(shí)構(gòu)建階段

新知建構(gòu)階段，主要是學(xué)生的自主建構(gòu)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程中的主要任務(wù)就是二次函數(shù)圖象的單調(diào)性，因?yàn)閱握{(diào)性的理解與建立是需要用到學(xué)生的形象思維與抽象思維的，兩種思維方式同時(shí)作用，可以為單調(diào)性的建立提供保證（相比較而言，奇偶性更多的是邏輯推理的結(jié)果）。

在實(shí)際自主建構(gòu)的過(guò)程中如果注意觀察學(xué)生，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在此過(guò)程中，能夠有意識(shí)地基于二次函數(shù)的圖象，去發(fā)現(xiàn)單調(diào)性，尤其是還能夠自主發(fā)現(xiàn)單調(diào)增減所對(duì)應(yīng)的定義域，而這是傳統(tǒng)教學(xué)中需要教師著力強(qiáng)調(diào)且學(xué)生還總是容易忽視的一個(gè)內(nèi)容。

事實(shí)上，高中二次函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)主要特征，就是定義域的形式變化，由一個(gè)個(gè)區(qū)間組成的定義域已經(jīng)超越了原有的所有實(shí)數(shù)，而由此衍生的則是二次函數(shù)的靜態(tài)理解向動(dòng)態(tài)理解的過(guò)渡。經(jīng)由上述三個(gè)階段，這樣的理解是可以順利建立的。

同時(shí)，這也可讓數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到，對(duì)于像二次函數(shù)這樣的基礎(chǔ)性特征比較明顯的知識(shí)，完全可以在幫學(xué)生梳理已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行自主性學(xué)習(xí)，且其中由學(xué)生所發(fā)現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)知識(shí)，往往可以因發(fā)現(xiàn)過(guò)程豐富而印象深刻，這從記憶的角度來(lái)看，就是精加工過(guò)程保證了數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入了學(xué)生的長(zhǎng)時(shí)記憶。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 吳新建. 關(guān)于初高中數(shù)學(xué)銜接的思考——以高中二次函數(shù)教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（7）：18-19.

[2] 彭興健. 以二次函數(shù)為切入點(diǎn)做好初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2009（36）：13-14.

（作者單位：江蘇省南通市第二中學(xué)）endprint