基于能量平衡原理的水力劈裂能量耗散研究

張志敏，高文華，馬向前

(湖南科技大學(xué) 巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測省重點實驗室，湖南 湘潭 411201)

基于能量平衡原理的水力劈裂能量耗散研究

張志敏，高文華，馬向前

(湖南科技大學(xué) 巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測省重點實驗室，湖南 湘潭 411201)

在頁巖氣開采中，水力劈裂總的能量耗散是評價頁巖氣是否具有可開采價值的一個重要指標(biāo)?；贕riffith能量平衡原理，推導(dǎo)了平面應(yīng)變問題水力劈裂過程中系統(tǒng)的總能耗的理論公式。分析了裂紋擴展速度、水的黏滯性和裂紋面的形態(tài)對系統(tǒng)總能耗的影響，得出了高脆性巖石材料在較低裂紋擴展速度下有利于節(jié)省水力劈裂的總能耗。同時推導(dǎo)了在等流量注水時單位時間的能量耗散表達(dá)式，隨著裂紋的擴展，單位時間的能量耗散逐漸遞減，因此，加壓設(shè)備的功率主要取決于初始裂紋劈裂時的加載能力。該結(jié)論對于評估和改進(jìn)水力劈裂開采頁巖氣有一定的借鑒意義。

頁巖氣；水力劈裂；能量耗散；裂紋

0 引 言

水力劈裂是一種利用高壓水將地下巖石劈裂的施工技術(shù)，它主要應(yīng)用于石油天然氣、頁巖氣的開采，通過水力劈裂形成的裂紋，使儲存在巖體節(jié)理孔隙中的原油和頁巖氣充分釋放，并提高巖體的滲透性，到達(dá)提高開采產(chǎn)能的作用。同時水力劈裂還廣泛應(yīng)用于深部地應(yīng)力的測量，地?zé)衢_采等深部巖體地下工程等領(lǐng)域。在水力劈裂巖石的過程中，高壓水流在裂紋表面施加了面力，改變了巖體內(nèi)部原有的應(yīng)力場，巖體應(yīng)力場的變化又改變了裂紋的張開寬度，從而影響了裂紋內(nèi)的水流特性。J.ADACHI等[1]指出巖石的水力劈裂過程是一個非常復(fù)雜的過程，它主要包括3個方面的耦合：作用在裂紋表面的高壓水引起的應(yīng)力應(yīng)變場的改變，裂紋中水的滲流特性和尖端裂紋的擴展。這是一個非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，即使是平面問題的線彈性材料都非常復(fù)雜。許多學(xué)者[2-7]對水力耦合作用下的水力劈裂裂紋的萌生、擴展的力學(xué)機制進(jìn)行了大量的研究，得出了許多有益的結(jié)論。這些結(jié)論對于指導(dǎo)我們改進(jìn)和優(yōu)化頁巖氣的開采工藝有著重要的指導(dǎo)意義。

在我國，可開采的頁巖氣的埋藏深度一般在地下1 500～3 000 m，遠(yuǎn)高于北美的開采深度800～1 500 m。由于埋藏深度的增加，我國頁巖氣的開采難度和成本遠(yuǎn)大于北美的頁巖氣開采。在2014年11月27日召開的中國頁巖氣發(fā)展大會上，中石化西南石油工程公司鉆井研究院副院長羅朝東表示，在頁巖氣各個環(huán)節(jié)中，壓裂占據(jù)60%成本，中國在降低壓裂成本方面仍然有瓶頸。在頁巖氣開采過程中，水力劈裂總的能量耗散是壓裂巖石成本構(gòu)成的一個主要因素之一。如何節(jié)約壓裂時總的能耗，是降低壓裂成本的一個重要途徑，關(guān)于這個方面的研究，可參考的文獻(xiàn)很少。對于水力劈裂這樣一個熱力學(xué)系統(tǒng)，根據(jù)Griffith理論可知，這個系統(tǒng)的總能量消耗主要由儲存在彈性介質(zhì)中的應(yīng)變能，總的水頭損失和新裂紋表面形成消耗的表面自由能幾個部分組成。系統(tǒng)的彈性應(yīng)變能主要取決于巖石本身的力學(xué)參數(shù)、裂紋面的擴展長度、裂紋的張開量以及巖體所受的應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)相關(guān)學(xué)者通過理論和數(shù)值方法得到的研究成果[8-10]可以確定出這部分能量的大小。表面耗散能主要取決于裂紋的擴展路徑和微裂紋的分布密度。周維恒[11]研究表明，在材料的斷裂過程中，由于受細(xì)觀結(jié)構(gòu)不均性的影響，斷裂過程區(qū)的微裂隙結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出一定的分形特性。謝和平等[12]對巖石材料的分形損傷、分形斷裂、巖土介質(zhì)的分形孔隙與分形節(jié)理等方面進(jìn)行了詳細(xì)研究。巖石斷裂時的分形維數(shù)不僅影響了斷裂過程的表面能，同時也影響了水在巖體中的滲透性能。微裂紋的發(fā)育以及宏觀裂紋的形態(tài)，對于巖石的高壓液體運輸特性有著關(guān)鍵的影響。J.YANG等[13]采用PMMA材料制作了不同分形結(jié)構(gòu)的單裂隙模型，通過高速攝像機測定水在裂紋中的滲流速度，研究了水在不同分形模型的滲透性，發(fā)現(xiàn)裂紋的分形維數(shù)對沿程水頭損失較小，而對于局部水頭影響非常顯著。筆者基于Griffith能量平衡原理，推導(dǎo)了平面應(yīng)變問題水力劈裂過程中系統(tǒng)總能耗的理論公式，分析上述因素對水壓劈裂總能量耗散的影響，為改進(jìn)水力劈裂施工技術(shù)提供了一定的參考依據(jù)。

1 Griffith能量平衡原理

筆者主要研究考慮滲流耦合的平面應(yīng)變問題單裂紋的水力劈裂裂紋擴展。如圖1，假定在巖體中存在一單裂紋，裂紋面平直光滑，初始裂紋的長度為l(0)，初始裂紋寬度為0，流體為不可壓縮的流體，且裂紋壁無水流交換，即流體在裂紋中滲流時不流失。當(dāng)采用等流量注水時，裂紋在高壓水作用下穩(wěn)定擴展，根據(jù)Griffith能量平衡理論，這個系統(tǒng)的總能量消耗主要包括儲存在彈性介質(zhì)中總應(yīng)變能UE，總水頭損失UW和新裂紋表面形成消耗的表面自由能US這3個部分：

UA=UE+UW+US

(1)

圖1 平面問題水力劈裂裂紋擴展簡圖Fig.1 Sketch of the crack development of hydraulic fracturing for the plane problem

2 水力劈裂下總能量耗散方程

2.1 彈性應(yīng)變能

在水力劈裂過程中，裂紋的擴展速度取決于流體的注入量，同時流體的速度受制于裂紋的擴展速度，它們之間滿足一個動態(tài)的平衡。材料的彈性能只取決于穩(wěn)定狀態(tài)的受力狀態(tài)，而與加載路徑無關(guān)。假定裂紋擴展中裂紋面上的壓力函數(shù)與x的位置無關(guān)，在某一時刻t對應(yīng)的裂紋長度上的壓力函數(shù)為p(t)。I.N.SNEDDON等[14]基于彈性理論給出了裂紋表面壓力p(t)和裂紋張開位移w的表達(dá)式：

(2)

式中：E′為平面應(yīng)變問題的彈性模量，E′=E/(1-υ2)；υ為巖石材料的泊松比；l(t)在t時刻裂紋處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)下的半長，l(t)=l(0)+vt，v為裂紋尖端的擴展速度；G(s，x)為彈性內(nèi)核積分函數(shù)：

(3)

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，可以得出在水壓力p(t)作用下裂紋尖端的應(yīng)力強度因子KI(t)：

(4)

在等量注水條件下，隨著注水量的增加，裂紋表面的水壓力不斷增大，根據(jù)式(4)可知，應(yīng)力強度因子也逐漸增大。對于Ⅰ型裂紋的擴展，當(dāng)應(yīng)力強度因子等于材料的斷裂韌度時，裂紋將沿著裂尖擴展。

(5)

式中：KIC為巖石材料的斷裂韌度。

根據(jù)式(5)可得

(6)

根據(jù)彈性理論可知，彈性應(yīng)變能與加載路徑無關(guān)，因此儲存在材料內(nèi)部的彈性能只與穩(wěn)定狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變有關(guān)：

(7)

2.2 裂紋面擴展的表面自由能

US為新形成裂紋表面所耗散的自由能，根據(jù)Griffith給出的裂紋前沿單位寬度上的裂紋系統(tǒng)表面能：

US=2γl

(8)

式中：γ為單位面積的自由表面能；l為水力劈裂過程中產(chǎn)生的新裂紋表面長度，l=l(t)-l(0)。

2.3 水在裂紋中滲流時的總水頭損失

基于裂紋中水的滲流和裂紋變形滿足體積守恒原理有，總的注入水量等于裂紋變形的體積改變量：

(9)

根據(jù)范寧公式[15-16]，高壓水在裂紋中滲流時的沿程水頭損失Hf為

(10)

(11)

當(dāng)裂紋面發(fā)生轉(zhuǎn)向、形狀發(fā)生急劇改變時，因漩渦區(qū)的存在、流動速度方向和大小的改變使該區(qū)域和附近區(qū)域受到集中阻力的作用，這種集中作用產(chǎn)生的流動阻力稱為局部阻力，克服局部阻力引起的水頭損失為局部水頭損失Hl：

(12)

式中：ε為局部阻力系數(shù)。

由于假設(shè)裂紋面平直光滑，所以Hl=0，則

UW=Hf+Hl=Hf

(13)

3 模型分析

3.1 總能量損失表達(dá)式

裂紋在高壓水的作用下擴展，將裂紋長度對時間t求導(dǎo)，可得裂紋的擴展速度：

(14)

裂紋中的水流速度取決于裂紋的擴展速度，當(dāng)裂紋擴展到一定長度時，可知裂紋中水流的平均速度v1將遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裂紋的擴展速度。聯(lián)立式(1)、式(7)、式(8)、式(9)、式(13)可得

(15)

從式(15)可得：① 在裂紋擴展速率較低時，由于水的動能損失的水頭很小，總水頭損失和裂紋的長度滿足線性的關(guān)系。忽略巖石本身的滲流損失時，維持低的裂紋擴展速度有利于節(jié)省整個水力劈裂的能量耗散。② 當(dāng)裂紋處于高速擴展時，水在裂紋中的沿程水頭對系統(tǒng)的能量耗散則不能忽略，裂紋擴展速度的增大將增加水力劈裂的能量耗散。③ 隨著劈裂液體的黏滯性的增加，液體的雷諾系數(shù)將減小，參數(shù)λ將顯著增加，此時水在裂紋中消耗的能量也將顯著增加。

3.2 單位時間的能量耗散率

在等流量注水時，單位時間的能量耗散決定了水力劈裂加壓設(shè)備的功率，將式(15)對時間t求導(dǎo)可得

(16)

從式(16)可得，加壓設(shè)備的功率主要取決于初始裂紋劈裂時的加載能力，隨著裂紋的不斷擴展，單位時間內(nèi)的能量耗散率逐漸遞減。

4 結(jié) 論

筆者通過能量守恒原理，得到水力劈裂過程中系統(tǒng)總能量耗散表達(dá)式，同過對該表達(dá)式進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：

1) 根據(jù)水力劈裂過程總的流體體積平衡方程可知，采用小的注水速率可以得到低的裂紋擴展速度，在低速率的水力劈裂中，劈裂相同長度的裂紋可以節(jié)省水力劈裂的總能耗。

2) 液體黏滯性的增加，將提高液體在裂紋中滲流時的總能量耗散。

3) 在等流量注水時，單位時間的能量耗散隨著裂紋的擴展逐漸遞減，因此在選擇加壓設(shè)備時主要取決于初始開裂時所需要的最大功率。

4) 裂紋尖端的微裂隙網(wǎng)絡(luò)，不僅增加了裂紋表面自由能的耗散，同時也增加了水在裂隙網(wǎng)絡(luò)中滲流的總水頭損失，因此，提高劈裂巖石的脆性指數(shù)將有利于減少微裂紋網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)生，從而減少系統(tǒng)的總能耗。

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(責(zé)任編輯：譚緒凱)

Energy Dissipation of Hydraulic Fracturing Based on Energy Balance

ZHANG Zhimin，GAO Wenhua，MA Xiangqian

(Hunan Provincial Key Laboratory of Geotechnical Engineering for Stability Control and Health Monitoring， Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201，Hunan，P. R. China)

In the exploration process of shale gas，the total energy dissipation of hydraulic fracturing is one of the significant indicators to evaluate whether it is worthy to be explored.The theoretical formula of the total energy consumption in the process of the hydraulic fracturing for the plane strain problem was deduced based on the principle of energy balance of Griffith，and the impact of crack development speed，water viscosity and crack shape on the whole energy consumption was analyzed.It was concluded that the brittle rocks tended to be more beneficial to the conservation of energy dissipation of hydraulic fracturing with the lower crack speed.Furthermore，the formula of energy dissipation per unit time with the equal water injection was obtained.With the growth of crack，the energy dissipation per unit time decreased gradually；accordingly，the power of the pressurized equipment mainly depended on the loading potential of the initial crack fracturing.The conclusion can be used for reference to evaluate and improve the hydraulic fracturing exploration of shale gas.

shale gas；hydraulic fracturing；energy dissipation；crack

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.08.10

2016-01-15；

2016-10-13

湖南省教育廳重點科研項目(16A073)；湖南省研究生科研創(chuàng)新基金項目(CX2016B571；CX2016B561)；湖南省巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測省重點實驗室開放基金項目(E21622)

張志敏(1978—)，男，湖南湘潭人，講師，博士，主要從事巖土工程方面的研究。E-mail：hnustzhangzm@163.com。

TU41

A

1674-0696(2017)08-054-04