論函數(shù)單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

郭玲++余升璟

摘要：本文研究函數(shù)單調(diào)性在解決比較大小、求函數(shù)值域與最值、恒成立問題求參數(shù)、解不等式、證明不等式以及數(shù)列這六個(gè)方面的應(yīng)用，本文主要通過有簡(jiǎn)單到復(fù)雜，對(duì)所構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，從而確定函數(shù)的值的范圍來解決這六方面的應(yīng)用，其中用到了分類討論思想。文中例題大多選自近幾年高考試題的壓軸題或數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，加進(jìn)了作者的思想，對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)有很大的幫助。

關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性；比較大小；值域與最值；不等式；數(shù)列；參數(shù)

首先，從單調(diào)性知識(shí)本身來講，我們對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為3個(gè)階段：（1）在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上對(duì)增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)；（2）在一步一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，在數(shù)和形兩個(gè)方面理解單調(diào)性的概念；（3）在高二利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。高一單調(diào)性的學(xué)習(xí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，又為高二的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

其次，從函數(shù)角度來講，函數(shù)的單調(diào)性是我們學(xué)習(xí)函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也是第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來刻畫的概念。函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律。學(xué)生對(duì)于這些概念的認(rèn)識(shí)，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義3個(gè)階段，即都從圖像觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號(hào)語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程。因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)。

最后，從學(xué)科角度來講，函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的常用工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。

一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 ， ，當(dāng) < 時(shí)，都有 < ，那么就說 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 ， ，當(dāng) < 時(shí)，都有 ﹥ ，那么就說f（x）在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。說明：設(shè)函數(shù) 定義在區(qū)間I上且 I，則若函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)增（減）函數(shù)，則 （或 ）。若函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)，則 。若函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)，則方程 在區(qū)間I上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根。若函數(shù) 和 的單調(diào)性相同，則在它們公共的定義域內(nèi)，函數(shù) 亦與它們的單調(diào)性相同。

一、利用函數(shù)單調(diào)性比較大小

例：設(shè) = +b +c對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，都有 （2+t）= （2-t），判斷 （1）、 （2）、 （4）的大小。

解：由 （2+t）= （2-t）知函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 =2對(duì)稱，且 在[2，+∞）上是增函數(shù)。

所以： （2）< （3）< （4） 而： （1）= （2-1）= （2+1）= （3）

所以： （2）< （1）< （4）

例2 已知 都是正數(shù)，并且a

解：構(gòu)造函數(shù) = ，

由b-a>0，知 在（-b，+∞）上是增函數(shù)，于是 =1

在（-b，+∞）上也是增函數(shù)。由m>0及性質(zhì)（1）得 （m） > （0），故 >

前面兩個(gè)例子都是比較簡(jiǎn)單的利用函數(shù)單調(diào)性來比較大小的式子，顯而易見，我們可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來解決這類問題就簡(jiǎn)捷多了，若我們遇到以下類似的問題又該如何來解決呢？

例3 比較 與 的大小。

分析：顯然這兩個(gè)算式不可能用手算，甚至于一般的電子計(jì)算機(jī)在計(jì)算的時(shí)候也會(huì)溢出。我們可以將比較這兩個(gè)算式轉(zhuǎn)化為比較 和 （當(dāng) =1992）大小。

解：經(jīng)過歸納，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) =1，2時(shí)， < ；當(dāng) =3，4，5，時(shí)， > 。因此我們可以 猜測(cè)，當(dāng) 3時(shí)， > 。下面構(gòu)造函數(shù) ，利用函數(shù)的單調(diào)性證明 > 。

構(gòu)造函數(shù) = （ 3），

則有 - = =

= >0，

所以函數(shù) 在 ∩Z上單調(diào)遞增。因?yàn)?= = >1，所以當(dāng) 3時(shí)， >1，即 > ，所以 > 。

評(píng)注：作為對(duì) > （當(dāng) 3時(shí)）的證明，還可以用數(shù)學(xué)歸納法或二項(xiàng)式定理，此外，若利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，解答會(huì)更加簡(jiǎn)便。

（一）利用函數(shù)單調(diào)性求值（值域、最值）

函數(shù)的單調(diào)性是反應(yīng)函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減小）的變化規(guī)律。因此在研究函數(shù)問題時(shí)，如果涉及倒函數(shù)值的變化問題，不妨考察該函數(shù)的單調(diào)性，往往能使問題迎刃而解。下面我們就一起來看看，以下各例是如何處理的。

例4 例1實(shí)數(shù) 和 滿足 ， ，求 + 。

分析：仔細(xì)觀察所給的兩個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式可以改寫為 和 ，從而找到解題的路徑。

解：由 ，可得 ；

由 ，可得

構(gòu)造函數(shù) ，可知 在R上單調(diào)遞增，并且有 = ，于是 ，故 + =2

評(píng)注：本題結(jié)構(gòu)比較新穎，解法比較獨(dú)特，是在對(duì)兩個(gè)一直等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造R上的單調(diào)函數(shù) ，解決了問題。

（二）利用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍

設(shè) = ，其中 R，如果當(dāng) 時(shí) 有意義，求 的取值范圍。

解：根據(jù)題意有 >0，即 > ， 。

因?yàn)?與 在 上都是增函數(shù)，所以 在 上也是增函數(shù)，所以它在 時(shí)取最大值為 = 。

即 ，所以 > 。

對(duì)含有參數(shù)的方程或不等式問題，經(jīng)過變形以后，可以將參數(shù)分離出來成為主元，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，即可以得到參數(shù)的取值范圍，

例5 設(shè)函數(shù) = ，（ R， N， 2）， 若當(dāng) 時(shí) 有意義，求 的取值范圍。

解：由 有意義，有 >0，

于是 > 在 上恒成立（ N， 2）。

設(shè) = ，顯然 在 上是增函數(shù)，

所以 = ，

所以當(dāng) > 時(shí)， > 在 上恒成立，所以 的取值范圍是 。

（三）利用函數(shù)單調(diào)性解不等式

單調(diào)性與不等式聯(lián)系密切，單調(diào)性是用不等式來描述的；反之，具體函數(shù)的單調(diào)性反映了一些不等關(guān)系。

例6 定義在 上的函數(shù) 滿足 =1， = + 且當(dāng) 時(shí) > ，解不等式 + 2.

分析：可根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)吧不等式兩邊都化為函數(shù)值，然后由函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)“ ”符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式去解。

解：由題意知 ， 在 上為增函數(shù)，

故 。由性質(zhì)（1）得 4且 >0，

故原不等式的解集為 。

若 在區(qū)間D上為單調(diào)增（減）函數(shù)，且當(dāng) D時(shí)有 成立，則有 。

例7 求不等式 的解集。

解：原不等式等價(jià)于設(shè) ，則有 ，于是原不等式化為 ，所以 ，即 ，

因?yàn)?和 都是R上的減函數(shù)，因此 是R上的減函數(shù)，

由于 ，因此由 解得 ，即 ，解得 。

結(jié)論

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，函數(shù)思想也是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要數(shù)學(xué)思想之一，其中函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)思想重要方面，它在解決具有函數(shù)關(guān)系，特別是有關(guān)函數(shù)值的變化問題時(shí)有很大的作用，以上幾例可以說明這一點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳志義 函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用 中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2007.469 80頁

[2] 黃偉亮 函數(shù)單調(diào)性的六大應(yīng)用 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊2005.12.241 13-14頁

[3] 劉大鳴、王水建 如何求解數(shù)列問題中的最值 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊2005.12. 241 89-90頁

[4] 何業(yè)良 例談函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2005.7 7-8頁