淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學中的應用

張旭

摘 要：在初中階段，我們會接觸到一類重要的思想方法——數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，通過“以數(shù)解形”可以使得抽象的數(shù)學問題具體化、形象化，也就是將抽象思維轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笏季S，這有利于解決數(shù)學中的一些復雜問題，從而把握數(shù)學的本質(zhì)。運用這一思想能解決初中數(shù)學中的一些問題，并且解法簡潔，最終能有效的解決問題。下面簡單的說一說數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學中的應用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；數(shù)形結(jié)合；應用；數(shù)學問題；解題

數(shù)形結(jié)合思想，簡單來說，數(shù)字與圖形就像是數(shù)學中的兩條腿，互相依靠，誰也離不開誰。要是從深層次理解數(shù)形結(jié)合思想，需要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩方面來體會，此外，在相關(guān)的函數(shù)問題中應用數(shù)形結(jié)合思想解決實際數(shù)學問題，會取得事半功倍的效果，本文從“以形助數(shù)”、“以數(shù)助形”、“函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的運用”三個方面來探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學中的相關(guān)應用。

一、以數(shù)助形

從“以數(shù)助形”的角度來看“數(shù)形結(jié)合”思想主要有以下體現(xiàn)：可以利用數(shù)軸、平面直角坐標系把幾何問題進行代數(shù)化，還可以利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題。下面簡單說一下利用距離公式來解決幾何問題。

例1.在平面直角坐標系中，A（2，3），B（5，3），C（2，5）是三角形的三個頂點，求BC的長。

這是人教版二次根式練習中的題，這一題經(jīng)過轉(zhuǎn)化后實質(zhì)上就是求平面上兩點之間的距離，而在本題中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可得。

這個問題實質(zhì)上是利用數(shù)形結(jié)合的思想來推導在具體點的坐標下的兩點之間的距離公式。利用同樣的思想可以推導出平面上兩點之間的距離公式：平面上點[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]，則A，B兩點之間的距離[d=（x1-x2）2+（y1-y2）2]。兩點之間的距離公式對求解相關(guān)的距離問題是比較常用的“以數(shù)助形”的一種方法，能夠利用熟練的利用這種思想能夠使相關(guān)幾何中距離問題的求解得到極大的簡化。

二、以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學的學習中通俗易懂，所以在說到“數(shù)形結(jié)合”思想時，我們更傾向于“以數(shù)助形”的解題方法，利用圖像、圖形來解決不易求得結(jié)果的代數(shù)問題。幾何圖形在代數(shù)問題中有以下幾方面的應用：

1.利用數(shù)軸及平面直角坐標系將一些代數(shù)表達式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，進而幫助求解相關(guān)的代數(shù)問題，或者簡化相關(guān)的代數(shù)運算。

2.利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：完全平方公式與平方差公式。

例2.將一個正方形和三個長方形拼成一個大長方形，請觀察這四個圖形的面積與拼成的大長方形的面積之間的關(guān)系。

（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

[x2+（p+q）x+pq]=（____）×（____）

（2）利用（1）的結(jié)論將下列多項式分解因式：

①[x2+7x+10]

②[y2-7y+12]

這一題實質(zhì)上是在推導人教版八年級上冊數(shù)學第15章選學部分關(guān)于[x2+（p+q）x+pq]型式子的因式分解。利用這個圖形能比較方便的得出[x2+（p+q）x+pq]的分解結(jié)果為[（x+p）（x+q）]，進而可以得出此題第（2）問的求解：①[（x+2）（x+5）]，②[（y-3）（y-4）]。并且利用類似的數(shù)形結(jié)合的方法還可以加深對[x2+（p+q）x+pq]的分解結(jié)果的記憶，另外對于平方差公式以及完全平方式都可以利用這一思想來識記。

三、函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的運用

函數(shù)的魅力在于能將生活中的一些復雜數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)模型，進而得到解決。形象來說，函數(shù)就像一個機器，每個自變量都會對應一個因變量，也就是“數(shù)”，函數(shù)的圖像就是我們所說的“形”，能夠確定出方程的解。所以，在生活中遇到復雜的數(shù)學問題，我們可以建立數(shù)學函數(shù)模型，將數(shù)與形結(jié)合起來。

例3.某家電信公司提供了兩種方案的移動通訊服務的收費標準，如下：

A方案：月租費30元，每月可以免費通話120分鐘，超出后每分鐘加收0.4元。

B方案：月租費50元，每月可以免費通話200分鐘，超出后每分鐘加收0.4元。

如果請你選擇其中一種方案，應如何選擇？

分析：本題是較優(yōu)方案選擇問題，在初中數(shù)學中比較常見，這類問題通?？梢酝ㄟ^函數(shù)的模型加以解決。通話的費用與通話的時間有關(guān)，因此先建立通話費用y關(guān)于通話時間x的函數(shù)關(guān)系。接下來有兩種解法，從“數(shù)”的角度，化歸為解一元一次不等式或方程來求解；從“形”的角度，畫出各個函數(shù)的圖象，求出交點坐標，分析每一段圖象的位置來比較方案的優(yōu)劣。

解：設每月通話時間為x分，A方案通話費用為[y1]，B方案通話費用為[y2]，則

[y1=30（0≤x≤120）30+0.4（x-120）=0.4x-18（x>120）]

[y2=50（0≤x≤200）0.4x-30（x>200）]

在同一坐標系中畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象可得：

當[0≤x<170]時，[y1170時，[y1>y2]，此時應選擇B方案。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在對于培養(yǎng)學生的空間和數(shù)感方面有啟迪作用，可以將生活中的復雜問題轉(zhuǎn)化成具體問題。正如數(shù)學家華羅庚說過的：數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休。數(shù)形結(jié)合思想是初中乃至高中中的一種重要方法，在解決數(shù)學問題給我們極大地幫助。

參考文獻：

[1]程曠主編.巧學初中數(shù)學80法[M].農(nóng)村讀物出版社.

[2]安徽省2011—2012學年度第一學期第一次聯(lián)合考試試卷.七年級數(shù)學.

[3]義務教育課程標準實驗教科書，數(shù)學，八年級上冊[M].人民教育出版社.