函數(shù)單調(diào)性的判定例談

張連友

[摘要]函數(shù)單調(diào)性的判定方法滲透著轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想，能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；同時，學(xué)生可以在解題時針對不同問題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，選擇簡單易懂的方式解決問題。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；單調(diào)性；判定

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判定方法有很多，筆者對函數(shù)單調(diào)性的判定方法進(jìn)行了梳理，并對各種判定方法的聯(lián)系進(jìn)行了剖析。

一、定義法

函數(shù)單調(diào)性定義，既是單調(diào)性的性質(zhì)，又是單調(diào)性的判定，是函數(shù)單調(diào)性的根本。定義法是判定函數(shù)單調(diào)性的“通法”，其他方法都離不開這個基石。在“提倡通法，淡化巧法”的今天，要強(qiáng)化單調(diào)性定義的教學(xué)，吃透概念，規(guī)范判定單調(diào)性的過程；掌握定義的等價形式，不僅會正用定義，而且要會逆用和變形用，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

例：（1999第十屆希望杯）設(shè)f（x）=x3-3x2+6x-6，且f（a）=1，f（b）=-5，a+b=（ ）。

A.-2 B.0 C.1 D.2

解析：由原式配湊得：f（x）=（x-1）3+（x-1）-2，又因f（a）=1①且f（b）=-5②得：（a-1）3+（a-1）3=3③且（b-1）3+（b-1）=-3④；所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x3+x。由函數(shù)單調(diào)性定義（或運算性質(zhì)），函數(shù)奇函數(shù)定義（或運算性質(zhì)）得F（x）是R上嚴(yán)格遞增的奇函數(shù)，所以，F(xiàn)（-x）=-F（x），F(xiàn)（a-1）=-F（b-1）=F（1-b），a-1=1-b，即a+b=2.

點評：第一，定義法判定函數(shù)單調(diào)性可分四步：作差（或作商）、變形、定號、結(jié)論，可根據(jù)變形的需要選擇不同的作差或作商；變形是難點，常見的變形技巧有：因式分解、約分、配方，放縮等。第二，上例屬于“雙變量”問題，通過對條件適當(dāng)變形，巧妙聯(lián)想單調(diào)性定義構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵；逆用單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為不等式或方程，是單調(diào)性定義的活用；構(gòu)造函數(shù)堪稱解法精妙。

二、圖象法

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種基本思想方法，它包括“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，中學(xué)階段重點是“以形助數(shù)”。它能化繁為簡，化抽象為具體，化簡解題過程。縱觀近幾年高考，數(shù)形結(jié)合思想在各種題型求解中頻繁亮相，已成為數(shù)學(xué)高考的一個熱點。當(dāng)用單調(diào)性定義判定函數(shù)單調(diào)性受阻時，可考慮借助函數(shù)直觀圖，直觀判定它的單調(diào)性。

三、結(jié)論法

解決單調(diào)性的有關(guān)問題時既要提倡“通性通法，淡化技巧”，又不能拘泥于通法。要鼓勵學(xué)生在知識的應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)有應(yīng)用價值的一般性結(jié)論，這有利于學(xué)生歸納、抽象思維、概括等能力的提高。下面僅從四個方面總結(jié)單調(diào)性的一般結(jié)論：

1.常見的基本初函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可作為一般結(jié)論加以應(yīng)用

2.單調(diào)性的運算性質(zhì)（由單調(diào)定義易得）

（1）若f（x），g（x）單調(diào)性相同且f（x）+ g（x）有定義，則f（x）+ g（x）與f（x）單調(diào)性相同。

（2）若f（x），g（x）單調(diào)性相反且f（x）- g（x）有定義，f（x）、g（x）的單調(diào)性與f（x）單調(diào)性相同。

（3）若f（x）≥0，則f（x）與 單調(diào)性相同。

（4）若a>0，f（x）與af（x）單調(diào)性相同；若a<0，f（x）與af（x）有相反的單調(diào)性。

（5）若f（x）恒為正時或恒為負(fù)時，f（x）與1/f（x）有相反的單調(diào)性。

3.奇（或偶）函數(shù)的單調(diào)性

由奇偶函數(shù)定義易知：奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。

4.周期函數(shù)的單調(diào)性

若f（x）是周期為T的函數(shù)，且f（x）在（a，b）單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則f（x）在（a+kT， b+kT）（ k∈Z）上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。

四、整體法

主要針對分段函數(shù)，由常見函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)的單調(diào)性的判定要滿足單調(diào)性定義，即從整體著眼，注意各段單調(diào)和整體單調(diào)。

例：已知

f（x）=x2+（4a-3）+3a，x<0Loga（x+1）+1，x0，在R上單調(diào)遞減，求a的范圍。

解析：因為f（x）在R上單調(diào)遞減，所以0

點評：f（x）=g（x），x>x0h（x），x≤x0在R上單調(diào)，求參問題要注意分界點的處理，即f（x）在R上遞增（或遞減），須有h（x0）≤g（x0）或h（x0）≥g（x0）。

五、法則法

由兩個簡單函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的單調(diào)性可依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則判定；當(dāng)簡單函數(shù)單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，即“同增異減”。

第一，單調(diào)性的判定可分四步：即一分，二求，三定，四交。一分，把復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)；二求，求復(fù)合函數(shù)的定義域；三定，根據(jù)“同增異減”確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；四交，單調(diào)區(qū)間必須與f（x）定義域取交集。第二，多層復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，主要依據(jù)減函數(shù)的層數(shù)判定，即依據(jù)“奇減偶增”判定。第三，求參數(shù)范圍有兩種方案：其一，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立或能成立問題；其二，利用函數(shù)的單調(diào)性列出含參不等式。

六、原型法

研究抽象函數(shù)的性質(zhì)，常用聯(lián)想原型的方法。抽象函數(shù)是指沒給出具體的表達(dá)式和圖象，只給出一些函數(shù)的特征和符號的函數(shù)。由于它的高度抽象性，所以研究它的性質(zhì)較難；同時，如果能結(jié)合它的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行合理想象，捕捉到符合條件的一個原型函數(shù)，就能化抽象為具體，發(fā)現(xiàn)解題的線索，恰當(dāng)賦值，順利走出困境。

例：定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：f（m+n）=f（m）+f（n），若x>0時，f（x）<0。試證明（1）f（0）=0，（2）f（x）是R的奇函數(shù)，（3）f（x）在R上單調(diào)遞增。

證明：聯(lián)想符合f（m+n）=f（m）+f（n）的一個原型f（x）=kx（k≠0），結(jié)合它性質(zhì)嘗試有下解：

（1）f（0+0）=f（0）+（0），即f（0）=0。

（2）f（x-x）= f（x）+f（-x）=f（0），即f（-x）=- f（x），所以，f（x）是R上的奇函數(shù)。

（3）任取x1，x2 ∈ R且x10.由已知得，f（x1-x2）<0，又因為f（x2）-f（x1）=（x2-x1+ x1）- f（x1）=f（x2-x1）<0，f（x2）

點評：許多抽象函數(shù)都有函數(shù)原型，解題時若能由性質(zhì)和結(jié)構(gòu)捕捉到有類似性質(zhì)結(jié)構(gòu)的原型，由原型的單調(diào)性去猜想抽象函數(shù)的單調(diào)性，就能為用定義證明作好準(zhǔn)備。

七、導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)函數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性最常用的工具。若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，當(dāng)f′（x）>0時，f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增；當(dāng)f′（x）<0恒成立時，f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減。

第一，f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）=0有限個零點，則f（x）在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)（或減函數(shù)）。第二，f（x）在區(qū)間（a，b）或（a，b）的子區(qū)間上恒有f′（x）=0，則f（x）在相應(yīng)的區(qū)間為常函數(shù)。第三，導(dǎo)函數(shù)零點常常是導(dǎo)函數(shù)符號的分界點，也常是單調(diào)性的折轉(zhuǎn)點，因此，要關(guān)注導(dǎo)函數(shù)零點的判定與求解；當(dāng)f′（x）的零點不易求出，常用分離函數(shù)、二次求導(dǎo)、虛設(shè)零點等方法，化難為易，明確零點情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間的符號，判定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性。第四，含參函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想方法。

總之，各種判定函數(shù)單調(diào)性的方法有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。函數(shù)的單調(diào)性定義是判定單調(diào)性的根本，是通法；導(dǎo)數(shù)是核心工具，其他方法是輔助。教師要引導(dǎo)學(xué)生重視定義，培養(yǎng)學(xué)生集中思維；同時提倡一題多解，選擇最佳的方法，使各種判定方法各盡其妙，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。

參考文獻(xiàn)：

[1]任親謀.數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2004.

[2]楊凡.函數(shù)單調(diào)性的討論[J].天津成人高等學(xué)校聯(lián)合學(xué)報，2002，（04）.

（責(zé)任編輯 馮 璐）