函數(shù)最值的應(yīng)用實(shí)例

劉君

陽(yáng)光總在風(fēng)雨后，請(qǐng)相信有彩虹，為什么只有在風(fēng)雨后的明媚陽(yáng)光下才有可能看見美麗的彩虹呢？大家都知道彩虹的出現(xiàn)與光是息息相關(guān)的，而法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬在研究光線的反射和折射后得出結(jié)論：自然界總是通過(guò)最短的途徑發(fā)生作用的，叫“最小作用量原理”，而他的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的函數(shù)最值。

今天我們就利用數(shù)學(xué)建模的思想和方法，借助于最值的知識(shí)解釋這為什么雨后晴天才有可能看見彩虹？首先我們一起來(lái)分析彩虹的成因。古時(shí)候總有神跡等迷信的說(shuō)法，現(xiàn)在看來(lái)可笑之極。其實(shí)我國(guó)有些古人就很注重觀察自然現(xiàn)象，對(duì)彩虹有了科學(xué)的解釋。沈括在在《夢(mèng)溪筆談》中說(shuō)：“虹，日中雨影也。日照雨，則有之。唐代張志和《玄真子》中說(shuō)道：“背日噴乎水，成虹霓之狀?！笨梢?，彩虹是由于陽(yáng)光射到空中的水滴里，發(fā)生反射與折射造成的。

一般雨后空氣中含有一定的水蒸汽，由大量的水滴組成，當(dāng)太陽(yáng)光照在水滴表面，會(huì)發(fā)生光的折射和反射現(xiàn)象，而彩虹是光經(jīng)過(guò)折射，反射，再折射的這條光路造成的，物理上把射入水滴的太陽(yáng)光叫做入射光線，在小水滴里經(jīng)過(guò)反射和折射出的光線叫出射光線。其實(shí)大家在高中時(shí)學(xué)習(xí)物理知識(shí)都知道，每一次反射和折射都是相伴發(fā)生的，因此這個(gè)過(guò)程伴隨能量的損失，而達(dá)到觀察者眼中的只有走這條路徑的光線，只是光線的一部分。

有的同學(xué)會(huì)問(wèn)“為什么彩虹一般都出現(xiàn)在夏天呢？”那是因?yàn)橄奶鞖鉁馗?，雨后空氣中含有一定量的小水滴，而冬天氣溫較低，在空中不容易存在小水滴，下陣雨的機(jī)會(huì)也少。所以出現(xiàn)彩虹的最好氣候是夏天雨后的晴天。好，有了這些氣候條件是不是就一定能看見彩虹了呢？不是吧，不是每個(gè)夏天雨后的晴天都能看見彩虹，這就還要看太陽(yáng)，水蒸氣云，與人三者的相對(duì)位置，因此關(guān)鍵要看光線由入射到出射是怎樣偏離的。為了簡(jiǎn)化我們假設(shè)空氣中的小水滴為球型。取一束光線進(jìn)行光路分析，延長(zhǎng)入射光線和反向延長(zhǎng)出射光線，人眼看見的便是這個(gè)虛像點(diǎn)，看起來(lái)，像是光線被人為的折斷變向一樣，發(fā)生了偏離，這個(gè)入射光線和出射光線之間的夾角稱為偏離角D。

太陽(yáng)光是一束平行光線，射到水滴表面，我們只考慮上表面的光線，下表面的光線對(duì)稱出射到空中，人不可能接受到。由于入射情況各有不同，產(chǎn)生的偏離情況也不同。那到底我們接受到那個(gè)角度的光線最可能看到彩虹呢？查閱資料可知，當(dāng)某一波長(zhǎng)的入射光線具有某一入射角時(shí)，出射光線的偏離角具有最小值，意味著，這個(gè)方向的出射光線最強(qiáng)，最容易看到明顯的彩虹。此因我們想找到最佳的觀測(cè)位置，本質(zhì)上就是要找出偏離角關(guān)于入射角的函數(shù)，并討論其最小值問(wèn)題。

通過(guò)以上分析下面我們進(jìn)行模型假設(shè)，假設(shè)氣候條件是夏天雨后的晴天，空氣中的小水滴假設(shè)是球型，并假設(shè)α是入射角，β折射角，D為偏離角是關(guān)于α、β的函數(shù)。建立數(shù)學(xué)模型，當(dāng)一束光以入射角α到達(dá)水滴表面A時(shí)，將有一部分光發(fā)生折射，形成折射角β，光線到達(dá)B以后有有一部分光反射，到內(nèi)壁的第三個(gè)點(diǎn)C處，有一部分光再次發(fā)生折射。在整個(gè)過(guò)程中，水滴的入射光和最后的出射光形成了偏離角，它是由α、β決定的。下面我們利用幾何知識(shí)求出偏離角D關(guān)于α、β的函數(shù)，延長(zhǎng)這條折射光線AB交EC于點(diǎn)F，構(gòu)成三角形AEF，偏離角D是這個(gè)三角形的一個(gè)外交，由定理三角形一外交等于與它不相鄰兩內(nèi)角和，所以，再看三角形CBF，這個(gè)角EFA又是S的一個(gè)外交，所以角，將角EFA帶入上式，偏離角D等于這三個(gè)角的和。而角EAF它等于α-β，因?yàn)榻荅FO與入射角α是對(duì)頂角，對(duì)頂角相等，所以角EAF它等于α-β，根據(jù)對(duì)稱性，角BCF等于角EAF都等于α-β。，所以偏離角D就等于化簡(jiǎn)偏離角，大家注意這里入射角和出射角有限制，是介于0到.。這里有兩個(gè)未知數(shù)α、β，我們來(lái)尋找這兩者間有什么關(guān)系呢？由光的折射定律，折射率是等于入射角和折射角正弦的比值，所以，將β代入偏離角函數(shù)，這樣就找到了偏離角D關(guān)于入射角α的函數(shù)。通過(guò)前面的分析大家知道看見彩虹的時(shí)機(jī)，就是偏離角取最小值的時(shí)候，這樣實(shí)踐問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的最小值問(wèn)題了。進(jìn)行模型求解，通過(guò)模型分析大家知道了就是要求這個(gè)函數(shù)的最小值，按照上節(jié)課總結(jié)的解題步驟，首先要確定自變量的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)，觀察導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，只需要令導(dǎo)數(shù)等于0，求駐點(diǎn)，大家不妨計(jì)算一下，得到0到區(qū)間內(nèi)唯一的駐點(diǎn)這唯一的駐點(diǎn)是不是最小值點(diǎn)呢？這里有個(gè)特殊情況，在實(shí)際問(wèn)題中，如果可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有最大（?。┲登液瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，則此駐點(diǎn)就是要求的最值點(diǎn)。最后得出結(jié)論偏離角的最小值點(diǎn)為。觀察最小值點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)里面含有系數(shù)K，對(duì)他是折射率，通過(guò)資料查閱可以得到空氣與水的相對(duì)折射率是三分之4，代入計(jì)算的出α=59.4度，將最小值點(diǎn)代入原函數(shù)，得到偏離角最小值約為138度。

也就是說(shuō)，當(dāng)入射光和出射光形成的偏離角為138度時(shí)，最容易看見彩虹。為了更直觀的解釋，這里我們引入一個(gè)彩虹角，也就是當(dāng)太陽(yáng)光與地面水平時(shí)，觀看彩虹的仰角。顯然彩虹角等于偏離角的補(bǔ)角，這個(gè)彩虹角就是42度，這樣可以更形象的解釋，當(dāng)太陽(yáng)光線和人的視線夾角為彩虹角42度時(shí)，才可以看見彩虹。那為什么我們看見的彩虹是7彩的呢？

這是因?yàn)閯偛攀且园坠獾钠骄凵渎实玫降慕Y(jié)果，其實(shí)太陽(yáng)光本身含有不同頻率的色光，不同頻率的色光對(duì)于同一個(gè)介質(zhì)的折射率并不相同，因此太陽(yáng)光通過(guò)水滴時(shí)，不同顏色的光因折射率不相同而形成色散。

由于白光是由紅，橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫7色組成，其中紅光的折射率最小，紫色的折射率最大，其它5中顏色的折射率按照這個(gè)順序介于兩者之間。如果分別把這7種光的折射率代入剛才的模型，可以求出7中光的彩虹角各不相同，紅光的為42.3，紫光的為40.6，其它的介于兩者之間，這就是為什么我們看見的彩虹分為紅，橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫順序排列的原因。

同學(xué)們，是不是很神奇呢？最值在生活中無(wú)處不在，今天這個(gè)實(shí)例是最值在物理中的應(yīng)用，其實(shí)最值還可以應(yīng)用在生產(chǎn)中用料最省、經(jīng)濟(jì)學(xué)中利益最大、成本最低等等等等。無(wú)論什么類型的最值問(wèn)題其實(shí)解決過(guò)程都可以簡(jiǎn)潔的概括為兩點(diǎn)：1、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；2、用合理的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行求解并解釋現(xiàn)象。同學(xué)們知道了彩虹的成因，那我問(wèn)問(wèn)大家知不知道霓極其霓的成因呢？有興趣的同學(xué)可以課下查閱相關(guān)資料，用數(shù)學(xué)知識(shí)去深入了解它吧。endprint