將數(shù)學(xué)史融入《平面》概念教學(xué)的案例設(shè)計(jì)

陳謀

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2017）17-0057-01

調(diào)查顯示，有的數(shù)學(xué)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)史就是講講數(shù)學(xué)家的故事；有的老師認(rèn)為課堂上講數(shù)學(xué)史會(huì)影響正常教學(xué)，不利于考試成績(jī)的提升。特別是在高中概念教學(xué)之中引入數(shù)學(xué)史料的研究更少，數(shù)學(xué)史要真正融入概念教學(xué)的課堂應(yīng)該仍有很多關(guān)鍵環(huán)節(jié)和步驟值得研究。不同層次不同角度的數(shù)學(xué)史內(nèi)容融入到高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中是十分有意義的。

一、新課引入

師：我們?cè)诔踔械臅r(shí)候已經(jīng)了解了平面圖形，比如說(shuō)三角形、平行四邊形、圓、梯形等等，它們都是由點(diǎn)和線構(gòu)成的，我們?cè)谝粋€(gè)平面內(nèi)處理這些平面圖形的問(wèn)題。點(diǎn)和線是我們研究平面幾何的基礎(chǔ)。下面請(qǐng)同學(xué)們觀察這個(gè)長(zhǎng)方體。

師：我們?cè)谶@里可以找到哪些幾何元素？

生：有六個(gè)面，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱。師：對(duì)，空間圖形都是由點(diǎn)、線、面這些基本元素組成，立體幾何研究的就是這些點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。點(diǎn)、線、面是立體幾何的三大基本元素，以后我們學(xué)習(xí)的所有定義、公理、定理都是建立在它們的基礎(chǔ)上的。點(diǎn)和線的性質(zhì)我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，這一節(jié)課我們主要來(lái)研究平面的性質(zhì)。

二、認(rèn)識(shí)平面

師：根據(jù)前面所學(xué)的知識(shí)，我們知道，點(diǎn)構(gòu)成線，線構(gòu)成面，面構(gòu)成體。繼續(xù)觀察長(zhǎng)方體，我們可以把它看作是由前后、左右、上下六個(gè)面圍成的。每個(gè)面都是矩形，可以看到，點(diǎn)構(gòu)成線，線構(gòu)成面，面構(gòu)成體是立體幾何中的基本關(guān)系。下面我們就從線構(gòu)成面的角度來(lái)認(rèn)識(shí)平面。

師：我們先來(lái)看看這樣一些物體，它們給我們一個(gè)怎樣的印象呢？（PPT給出海面、草原等圖片，教室中觀察桌面、黑板面等）。教師總結(jié)學(xué)生的意見：它們都是平的，直的。

師：我們能不能根據(jù)這些特點(diǎn)試著給平面下一個(gè)定義呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，思考，嘗試給平面下一個(gè)定義。）

三、深度認(rèn)識(shí)平面，理解平面概念

師：同學(xué)們的說(shuō)法和歷史上的數(shù)學(xué)家們極其相似哦！

PPT表格：歷史上的數(shù)學(xué)家們對(duì)平面概念的理解（此處略），教師根據(jù)表格介紹平面概念的歷史發(fā)展。

師：我們一起來(lái)分析一下，各位偉大的數(shù)學(xué)家們對(duì)平面的定義是否正確呢？通過(guò)分析上述平面的各種定義，來(lái)認(rèn)識(shí)平面的本質(zhì)。

師：我們看到，歷史上各位數(shù)學(xué)家的定義大多嘗試用直線和點(diǎn)來(lái)說(shuō)明平面的“平”和“直”。也就是說(shuō)，判斷一個(gè)面是不是平面的關(guān)鍵在于它是否平，直。平面可以看成是由直線構(gòu)成的，直線是可以無(wú)限延伸，所以平面也應(yīng)該是？

生：無(wú)限延伸的。師：所以我們最后采用的是希爾伯特的想法，平面是一個(gè)原始的概念，直接描述，不定義，平面是絕對(duì)平的，沒有厚度的，無(wú)限延展的。那你能舉出一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的平面嗎？

生：好像舉不出。

師：對(duì)，平面在現(xiàn)實(shí)生活中是不存在的，它是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念?！捌健薄爸薄薄盁o(wú)限延展”是它的本質(zhì)屬性。那么，怎樣表示一個(gè)平面呢？

師：請(qǐng)大家回憶一下，我們是怎樣表示直線的？（板演）師：直線的屬性是怎樣的？生：直的，無(wú)限長(zhǎng)的。

師：我們剛才怎樣表示直線？是畫出了整根直線嗎？

生：不是，只是一部分。

師：那我們是不是也可以只用平面的一部分來(lái)表示整個(gè)平面呢？（教師板演，作出平面示意圖，強(qiáng)調(diào)平行四邊形是平面的一部分，而不是一個(gè)平面。）

四、三條公理

師：我們知道，平面是由直線構(gòu)成的，那么，對(duì)于某一條直線，怎樣判斷它是不是屬于某個(gè)平面呢？學(xué)生思考，教師引導(dǎo)。

師：我們看看萊布尼茲的定義：平面可以看成是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的。直線也是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的。平面又可以看成是直線組成的。平面內(nèi)的直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)。又兩點(diǎn)確定一直線。也就是說(shuō)，如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，那么平面內(nèi)經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這條直線重合，即線在面內(nèi)。因此，判斷一直線在不在平面內(nèi)，只需判斷這條直線上是不是有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)。這就是我們的公理1。

師：平面由直線構(gòu)成，當(dāng)兩個(gè)平面相交的時(shí)候，會(huì)不會(huì)交于一條直線呢？用紙張模擬，根據(jù)平面的無(wú)限延展的性質(zhì)，說(shuō)明必然會(huì)交于一條直線，即公理2。

師：那怎樣來(lái)確定一個(gè)平面呢？結(jié)合皮埃爾的定義，不在同一條直線上的三點(diǎn)C、B、A，過(guò)其中任意兩點(diǎn)，比如B、A，作直線，那么過(guò)點(diǎn)C可以作無(wú)數(shù)條直線與AB相交，所有的這些直線就構(gòu)成了一個(gè)平面，也就是說(shuō)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。這就是公理3。公理3中，取特殊情況，很容易得到3條推論。endprint