抓住本質(zhì) 自然呈現(xiàn)

葉巧飛

1.教材分析

本節(jié)課選自北師大版《必修四》課本“單位圓與任意角正弦、余弦函數(shù)的定義”一節(jié)。學(xué)生在初中時(shí)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，在《數(shù)學(xué)1》（必修）中已經(jīng)學(xué)習(xí)了各類函數(shù)，三角函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù)。借助單位圓去理解任意角的正弦、余弦的定義，為后面的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)奠定認(rèn)知基礎(chǔ)，并讓學(xué)生從中體會(huì)三角函數(shù)的變化之美。

2.教學(xué)目標(biāo)

2.1知識(shí)與技能：掌握任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義，能從函數(shù)觀點(diǎn)理解三角函數(shù)。

2.2過(guò)程與方法：通過(guò)單位圓與角的終邊的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，探討任意角的三角函數(shù)值的規(guī)律，最終得到任意角三角函數(shù)的定義。

2.3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與形成過(guò)程，加深由特殊到一般以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的理解，從中感悟數(shù)學(xué)的美。

3.教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1創(chuàng)設(shè)情境

教師：唐代詩(shī)人王之渙的《登鸛雀樓》如今仍被我們傳誦，“欲窮千里目，更上一層樓”告訴我們只有站的高才能看的遠(yuǎn)的生活哲理。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，亦是如此。在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，那么高中角的概念推廣之后，任意角的三角函數(shù)該如何定義呢？

設(shè)計(jì)意圖：從詩(shī)詞的意境引入，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，揭示主題——研究任意角的三角函數(shù)定義，讓學(xué)生產(chǎn)生思考，暗示任意角的三角函數(shù)與初中的銳角三角函數(shù)相關(guān)，但是研究的角度卻比初中站得更高。

3.2復(fù)習(xí)鞏固

教師：初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)，正弦、余弦函數(shù)是如何定義的？借助了什么幾何圖形？

學(xué)生：借助了直角三角形。

教師：很好，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)是“邊之比”。在高中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們思考交流一下，初中三角函數(shù)的定義是否滿足高中定義下的函數(shù)？

學(xué)生：不是。高中定義的函數(shù)是一個(gè)從數(shù)集到數(shù)集的映射，但是銳角三角函數(shù)以銳角為自變量，銳角構(gòu)成的集合不是數(shù)集。

教師：非常好，這也是高中引入“弧度制”的原因，弧度制使角和實(shí)數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，弧度制下角構(gòu)成的集合與實(shí)數(shù)集相對(duì)應(yīng)，滿足了高中對(duì)函數(shù)的定義。

設(shè)計(jì)意圖：站在高中函數(shù)的角度審視初中已經(jīng)學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)，指出引入弧度制的必要性，使學(xué)生能知其然并知其所以然。

教師：銳角三角函數(shù)中的“銳角”是我們高中角的概念的推廣中的哪一類型的角？

學(xué)生：第一象限的角。

教師：學(xué)了角的概念的推廣，我們對(duì)角的認(rèn)識(shí)與初中學(xué)的角有什么不同？

學(xué)生：角有正角、負(fù)角、零角。

學(xué)生：角是由射線旋轉(zhuǎn)得到的。

學(xué)生：角是放在直角坐標(biāo)系中研究的，這樣對(duì)角的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)角的終邊的研究。

學(xué)生：根據(jù)角的終邊落在坐標(biāo)系中的不同位置，又學(xué)習(xí)了四個(gè)象限角和坐標(biāo)軸上的角。

教師：以上是我們高中學(xué)習(xí)的任意角，那么任意角都有三角函數(shù)嗎？如果有，我們應(yīng)該如何定義？

學(xué)生：第一象限角中的銳角可以利用初中學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)，構(gòu)造出直角三角形來(lái)進(jìn)行研究。

教師：如何構(gòu)造直角呢？

學(xué)生：在角的終邊上任取一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，得到如右圖：

教師：取角的終邊上不同點(diǎn)對(duì)三角函數(shù)值有影響嗎？

學(xué)生：沒(méi)有，因?yàn)楦鶕?jù)三角形的相似性，可得比值不變。

教師：既然可以任意取，那么為了研究的簡(jiǎn)單，我們?nèi)r(shí)的點(diǎn)，此時(shí)，三角函數(shù)值就變成了終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)的數(shù)值。在幾何畫板中，研究任意角可以用任意角的終邊，追蹤點(diǎn)的軌跡得到一個(gè)單位圓，即點(diǎn)可以看作是角的終邊和單位圓的交點(diǎn)。

教師：上述式子是否具有函數(shù)關(guān)系？

學(xué)生：是，因?yàn)閷?duì)于任意的角（弧度制）與單位圓都有唯一對(duì)應(yīng)的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)值與之相對(duì)應(yīng)。

設(shè)計(jì)意圖：“授之以魚，不如授之以漁。”通過(guò)復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)和方法研究新的問(wèn)題。前一節(jié)在直角坐標(biāo)系中研究任意角，引導(dǎo)學(xué)生研究任意角的三角函數(shù)需要以直角坐標(biāo)系為工具。既要借助直角坐標(biāo)系來(lái)研究，又要借鑒銳角三角函數(shù)的定義，因此選擇第一象限角是銳角的情況來(lái)研究任意角，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

3.3概念呈現(xiàn)

教師：若角的終邊落在其他象限或坐標(biāo)軸呢？初中借助直角三角形的邊之比已經(jīng)無(wú)法研究了，但是我們發(fā)現(xiàn)：無(wú)論角的終邊落在哪里，其與單位圓的交點(diǎn)都存在，也就是說(shuō)，任意角的三角函數(shù)值必然存在。

因此，任意角的正弦、余弦函數(shù)定義如下：

如下圖，設(shè)角是任意角，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，我們把點(diǎn)的縱坐標(biāo)定義為角的正弦函數(shù)，記作；點(diǎn)的橫坐標(biāo)定義為角的余弦函數(shù)，記作。

教師：提到函數(shù)，優(yōu)先考慮定義域，那么正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么呢？請(qǐng)大家觀察幾何畫板動(dòng)態(tài)演示過(guò)程。

學(xué)生：定義域都是R。

教師：正弦、余弦函數(shù)的值域是什么呢？

學(xué)生：值域都是[-1，1]。

教師：《必修1》中函數(shù)的一般形式為y=f（x），所以正弦、余弦函數(shù)的一般形式可以記作：正弦函數(shù)：y=Asin（ωx+φ）

余弦函數(shù)：y=Acos（ωx+φ）+b

設(shè)計(jì)意圖：使新學(xué)習(xí)的三角函數(shù)與《必修1》學(xué)習(xí)的函數(shù)之間建立聯(lián)系，既是對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，又是對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知得到統(tǒng)一。

3.4歸納總結(jié)

（1）知識(shí)：任意角的正弦、余弦函數(shù)值本質(zhì)上是單位圓與角終邊交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)值。

（2）思想方法：借助直角坐標(biāo)系，單位圓來(lái)研究三角函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；正弦、余弦函數(shù)的定義由第一象限的銳角推廣到任意角，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的思維過(guò)程。endprint

3.5結(jié)束語(yǔ)

唐詩(shī)宋詞是中華五千年文化的精髓，宋代詩(shī)人蘇軾的《題西林壁》相信大家耳熟能詳?！皺M看成林側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”這句詩(shī)告訴我們：觀察事物的角度不同，就會(huì)看到不一樣的結(jié)果。要想認(rèn)清事物的本質(zhì)，需學(xué)會(huì)從多角度去看，從不同的高度去看。

設(shè)計(jì)意圖：再用古詩(shī)，首尾呼應(yīng)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再枯燥，與詩(shī)詞相輔相成，生活哲理不僅適用于生活，也適用于數(shù)學(xué)，揭示了本節(jié)課的知識(shí)是站在初高中不同的角度來(lái)學(xué)習(xí)的。

4.教學(xué)反思

4.1教學(xué)要注重自然生長(zhǎng)

教學(xué)不僅是要教會(huì)學(xué)生知識(shí)，還要教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)，教會(huì)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律方法的產(chǎn)生過(guò)程，即“知其然也知其所以然”。在本節(jié)課中，在初中是借助直角三角形來(lái)研究銳角三角函數(shù)的，它的本質(zhì)是邊長(zhǎng)之比。其次，用高中的函數(shù)概念來(lái)審視初中的銳角三角函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)到引入弧度制的必要性。之后，回顧了高中對(duì)角的概念的推廣及研究方法，引導(dǎo)學(xué)生借助直角坐標(biāo)系研究任意角的三角函數(shù)，先借助直角三角形探究第一象限的銳角，并將該定義推廣到其他象限或坐標(biāo)軸，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。這樣，在新知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，既完成了教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了知識(shí)，又教會(huì)了學(xué)生解決未知問(wèn)題的方法，也培養(yǎng)了學(xué)生恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)方法的意識(shí)。因此，在教學(xué)中我們要做到：知識(shí)的引入要自然，知識(shí)的過(guò)渡要自然，知識(shí)的發(fā)生發(fā)展要自然，解題的方法也要自然。

4.2教學(xué)要關(guān)注學(xué)生主體

在課堂教學(xué)中，教師具有主導(dǎo)作用，而學(xué)生是課堂的主體，教師要積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考積極性，引導(dǎo)學(xué)生如何思考，如何解決問(wèn)題。本節(jié)課，教師提出了一系列的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生尋找思考的方向，通過(guò)師生互動(dòng)，生生互動(dòng)讓學(xué)生充分理解所學(xué)的知識(shí)，知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程以及研究的方法和思想，對(duì)任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.3教學(xué)要挖掘數(shù)學(xué)之美

三角函數(shù)是一類描述周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)課中利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，讓學(xué)生能欣賞到數(shù)學(xué)之美，使學(xué)生能夠熱愛(ài)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的無(wú)限魅力，比如銳角三角形的定義借助的是直角三角形，任意角的三角函數(shù)定義借助了直角坐標(biāo)系，當(dāng)選取時(shí)，任意角的正弦、余弦函數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)單位圓，它有著很好的對(duì)稱之美。在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，教師對(duì)學(xué)生積極、中肯的評(píng)價(jià)，學(xué)生自發(fā)的掌聲，都體現(xiàn)了人性之美和人文關(guān)懷，很好的提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]易中建.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持的“基本原則”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（Z1）：34-37endprint