由卷積想到的計(jì)量單位及相關(guān)物理概念

陳希有， 李冠林， 劉鳳春， 董維杰

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 遼寧 大連 116023)

由卷積想到的計(jì)量單位及相關(guān)物理概念

陳希有， 李冠林， 劉鳳春， 董維杰

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 遼寧 大連 116023)

本文結(jié)合電路理論中卷積表達(dá)式和物理方程的量綱平衡原理，分別剖析了單位沖激響應(yīng)h(t)和單位階躍響應(yīng)s(t)的計(jì)量單位，以及這些響應(yīng)的實(shí)際含義和相關(guān)物理概念。強(qiáng)調(diào)了它們都是響應(yīng)與激勵(lì)的某種比值，不是普通意義上的響應(yīng)電流或響應(yīng)電壓，因此其單位既不是電流的單位，也不是電壓的單位。由此還延伸討論了復(fù)頻域中若干量的計(jì)量單位和相關(guān)物理概念問題。

卷積； 單位沖激響應(yīng)；單位階躍響應(yīng)；計(jì)量單位。

0 引言

根據(jù)電路理論，設(shè)某線性電路的單位沖激響應(yīng)為h(t)，那么它在任意激勵(lì)e(t)(電壓或電流)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)r(t)(電壓或電流)，可用卷積積分表示為

(1)

式中λ表示沿時(shí)間軸的積分變量，與時(shí)間具有相同單位，例如s。

問題1：如果激勵(lì)是電流，單位A；響應(yīng)是電壓，單位V，那么h(t)的單位應(yīng)該是什么，才能由積分得到響應(yīng)電壓的單位V？

回答：按照單位的乘除運(yùn)算規(guī)則，h(t)的單位可根據(jù)式(1)并利用下式導(dǎo)出：

(2)

顯然h(t)的單位既不是電流的單位，也不是電壓的單位。

問題2：眾所周知，單位沖激響應(yīng)h(t)與單位階躍響應(yīng)s(t)滿足如下導(dǎo)數(shù)關(guān)系：

(3)

那么s(t)的單位又應(yīng)該是什么，才能得到h(t)的單位Ω/s呢？

回答：按照單位的乘除運(yùn)算規(guī)則，s(t)的單位可由下式導(dǎo)出：

(4)

顯然，單位階躍響應(yīng)s(t)的單位既不是電流的單位，也不是電壓的單位，它在這里卻與電阻的單位相同。

問題3：如何定義 和 才能得到上述正確的單位呢？

接下來將分步理清上述量的單位問題，并闡述相關(guān)物理概念。

1 單位階躍響應(yīng)s(t)的單位

零狀態(tài)條件下，電路在單位階躍激勵(lì)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，用符號(hào)s(t)表示。本文特別強(qiáng)調(diào)：這個(gè)單位階躍響應(yīng)，應(yīng)該被理解成階躍響應(yīng)與階躍激勵(lì)幅值之比，不是通常意義上的響應(yīng)電流或響應(yīng)電壓。即,

(5)

分母中階躍激勵(lì)的幅值包括數(shù)值和單位，例如10 V、8 A。如果激勵(lì)是電流，單位為A；響應(yīng)是電壓，單位為V，那么s(t)的單位就是V/A=Ω，與式(4)相同。

這就像理解速度的定義一樣：單位時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的距離，雖然最終量度是距離，但速度的單位是m/s，而不是m。

根據(jù)激勵(lì)與響應(yīng)是電流還是電壓，單位階躍響應(yīng)s(t)有表1所示的四種情況。文獻(xiàn)[1]也表明了這種觀點(diǎn)(p.448-449)。

表1 單位階躍響應(yīng)s(t)的單位

使用帶有上述單位的s(t)，電路對(duì)任意幅值階躍激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)，便等于該階躍激勵(lì)的幅值與s(t)的乘積。例如10 A×e(t)電流源產(chǎn)生的響應(yīng)電壓為u(t)=10 A×s(t)，等號(hào)右邊的單位是A×Ω=V，自然是電壓的單位。

2 單位沖激函數(shù)δ(t)和沖激強(qiáng)度的單位

在電路理論中，單位沖激函數(shù)δ(t)定義為

(6)

對(duì)于式(6)的下部,由于dt的單位是s，等號(hào)右邊的1是純數(shù)，因此δ(t)本身具有時(shí)間的倒量綱，單位為1/s=s-1，即Hz。這一點(diǎn)還可以從δ(t)與ε(t)的關(guān)系中得到進(jìn)一步理解：

(7)

由于ε(t)本身是無量綱的函數(shù)，顯然δ(t)的單位只能是1/s=s-1。這一點(diǎn)在教學(xué)時(shí)必須加以明確，否則容易出現(xiàn)量綱不平衡現(xiàn)象。

明確了δ(t)的量綱和單位之后，沖激強(qiáng)度(即δ(t)前面的系數(shù)，最好叫沖激量)的單位也就容易確定了。例如i(t)=Qδ(t)，沖激強(qiáng)度Q的單位是As=C(庫侖)，即Q代表電荷，表示在t=0這一瞬間，有量值為Q的電荷從電路的某處流過；對(duì)偶地，當(dāng)沖激函數(shù)是電壓時(shí)，即u(t)=ψδ(t)，則沖激強(qiáng)度ψ的單位是Vs=Wb(韋伯)，即ψ代表磁鏈。類似的表述見文獻(xiàn)[2](p.237)，文獻(xiàn)[3](p.305,p.308)。

帶有數(shù)值的下述表示方法是正確的：i(t)=5C×δ(t)，u(t)=2Wb×δ(t)。這里的5C和2Wb，不僅意味著使用了正確的單位，更重要的是它們代表了沖激強(qiáng)度的物理概念：電荷與磁鏈。

相比之下，值得引起注意的是：下面的表示方法是不嚴(yán)密的，從量綱上看甚至是錯(cuò)誤的：i(t)=5δ(t) A(這里的A要與δ(t)的單位進(jìn)行乘法運(yùn)算，結(jié)果不再是電流的單位)，is(t)=δ(t)，us(t)=δ(t)。注意：僅δ(t)不能作為激勵(lì)電流或激勵(lì)電壓，因?yàn)樗痪哂须娏骰螂妷旱牧烤V。

因此，只要記住δ(t)本身是有量綱和單位的，據(jù)此導(dǎo)出的各種方程就不會(huì)出現(xiàn)量綱不平衡問題。

3 單位沖激響應(yīng)h(t)的單位

零狀態(tài)條件下，電路在單位沖激激勵(lì)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，用符號(hào)h(t)表示。本文特別強(qiáng)調(diào)：這個(gè)定義也應(yīng)該從比值的角度來理解，即沖激響應(yīng)與沖激激勵(lì)的沖激強(qiáng)度之比。不是普通意義上的響應(yīng)電流或響應(yīng)電壓。即，

(8)

考慮到激勵(lì)和響應(yīng)都可能是電壓或電流，因此單位沖激響應(yīng)h(t)有表2中的四種情況。文獻(xiàn)[1]也表明了此觀點(diǎn)(p.464)。

表2 單位沖激響應(yīng)h(t)的單位

上述h(t)的單位實(shí)際就是s(t)的單位除以時(shí)間的單位，這正好符合式(3)所包含的單位關(guān)系。

只有遵循表2中h(t)的單位規(guī)律，計(jì)算卷積積分時(shí)，才不會(huì)出現(xiàn)量綱上的錯(cuò)誤。

使用帶有上述單位的h(t)，電路對(duì)任意強(qiáng)度的沖激激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)，便等于該沖激強(qiáng)度與h(t)的乘積。例如，設(shè)激勵(lì)為電流，響應(yīng)為電壓，單位沖激響應(yīng)為h(t)，那么h(t)的單位便是Ω/s。當(dāng)激勵(lì)電流為is=5C×δ(t)時(shí)，沖激電壓響應(yīng)為u(t)=5C×h(t)。等式右邊的單位是C×Ω/s=V，它自然就是電壓的單位，與左邊一致。

小結(jié)：①s(t)與h(t)都是響應(yīng)與激勵(lì)的某種比值，不是普通意義上的響應(yīng)電壓或電流。前者是階躍響應(yīng)與引起該響應(yīng)的階躍激勵(lì)幅值(單位V或A)之比；后者是沖激響應(yīng)與引起該響應(yīng)的沖激激勵(lì)的沖激強(qiáng)度(單位C或Wb)之比；②只有把它們都理解成比值，才能在出現(xiàn)它們的方程中，保持量綱平衡；③在任何一對(duì)(指電壓或電流)激勵(lì)和響應(yīng)下，s(t)與h(t)的單位都是不同的，并且都不是電壓的單位或電流的單位；④不宜寫成形如u(t)=s(t)，或i(t)=h(t)這樣的表達(dá)式，因?yàn)檫@些只代表數(shù)值上相等，不代表單位相同，量綱不能平衡。

鑒于s(t)和h(t)的單位都不是電壓的單位或電流的單位，所以最好不要稱它們?yōu)轫憫?yīng)，因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)教材中，已把響應(yīng)定義成電路中的電壓或電流這樣的物理量。文獻(xiàn)[1]和[4]將它們分別稱為單位階躍特性和單位沖激特性，以示與響應(yīng)在物理概念上的區(qū)別。

【示例】 圖1所示電路，已知R=10 Ω，C=0.2 F，uS(t)=60 e-t/τε(t)V。寫出用卷積計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)u(t)和i(t)的表達(dá)式。

圖1 示例圖

【解】 先設(shè)激勵(lì)為階躍電壓，即uS(t)=Uε(t)。由三要素公式可求得階躍響應(yīng)分別為

u(t)=U(1-e-t/τ)ε(t)

式中時(shí)間常數(shù)τ=RC=2 s。

將它們分別除以U得到電壓與電流的單位階躍響應(yīng)(或稱單位階躍特性)：

然后將階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到電壓與電流的單位沖激響應(yīng)(或稱單位沖激特性)：

(9)

單位S/s

(10)

也可首先令uS(t)=ψδ(t)，計(jì)算沖激響應(yīng)，結(jié)果它們分別是，

再分別除以沖激強(qiáng)度ψ，得到分別與式(9)和式(10)一致的結(jié)果。

將上述沖激響應(yīng)代入卷積公式(1)，并考慮在積分區(qū)間內(nèi)，ε(t-λ)=1,ε(t)=1，省略不寫，因此當(dāng)uS(t)=60 Ve-t/τε(t)時(shí)，電壓與電流響應(yīng)的卷積計(jì)算公式分別為

由于dλ的單位為s，所以上兩式右邊的單位分別為V和A，與所表達(dá)的等式左邊的響應(yīng)變量的單位完全一致，滿足量綱平衡規(guī)律。

以上是為了說明單位的使用問題，才將u(t)和i(t)按照并行的步驟進(jìn)行計(jì)算的。此外，還可以先求出電壓u(t)，然后按照i(t)=Cdu/dt的關(guān)系求出i(t)。

4 復(fù)頻域中量的單位問題

卷積運(yùn)算是積分運(yùn)算，由此聯(lián)想到同樣是積分運(yùn)算的拉普拉斯變換中的單位問題。

(1)象函數(shù)的單位

在電路理論中，拉普拉斯變換定義為

(11)

這里的斜體s表示復(fù)頻率，具有時(shí)間的倒量綱，單位為s-1，即Hz。

由于dt的單位是s，所以象函數(shù)F(s)的單位是時(shí)域中f(t)(電壓或電流)的單位乘以時(shí)間的單位s。如果時(shí)域中是電流，那么F(s)的單位就是As，即電荷的單位C(庫侖)；如果是電壓，那么F(s)的單位就是Vs，即磁通的單位Wb(韋伯)[4]。

(2)待定系數(shù)的單位

在象函數(shù)的展開式中，如果是一階極點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)待定系數(shù)的單位就是時(shí)域中電壓或電流的單位；如果是二階或二階以上的極點(diǎn)，情況則不然。例如，設(shè)某電容電壓的象函數(shù)及其展開式為

分母中的1并不是純數(shù)，它的單位s-1。為不與表示復(fù)頻率的斜體 混淆，這里省略了s-1。

經(jīng)計(jì)算，待定系數(shù)A1=2 V，A3=-1 V，它們與各自的分母運(yùn)算后，得到的單位都是Vs。然而,A2的單位與A1、A3不同，因?yàn)?/p>

所以A2的單位是UC(s)的單位乘以s-2，即Vs×s-2=V s-1，這樣從A2/(s+1)2才能得出單位Vs，也就是UC(s)所應(yīng)有的單位。

(3)附加電源的單位

在非零初始條件下，電容和電感的復(fù)頻域模型中含有附加電源，它們的單位與時(shí)域中電源的單位不同，附加電壓源的單位與電壓象函數(shù)單位相同；附加電流源的單位與電流象函數(shù)相同。這可以通過附加電源的具體表達(dá)式得到驗(yàn)證：

(a) 電容的附加電流源為CuC(0_)，

單位：F×V=(C/V)×V=C(庫侖)；

(b) 電容的附加電壓源為uC(0_)/s，

單位：V/s-1=Vs=Wb(韋伯)；

(c) 電感的附加電壓源為LiL(0_)，

單位：H×A=(Wb/A)×A=Wb(韋伯)；

(d) 電感的附加電流源為iL(0_)/s，

單位：A/s-1=As=C(庫侖)。

(4)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)及其反變換h(t)的單位

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義為零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵(lì)的象函數(shù)之比，有四種情況，見表3。

表3 復(fù)頻域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的單位

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拉普拉斯反變換就是單位沖激響應(yīng)(或單位沖激特性)，即

(12)

由于ds的單位是1/s，因此按照拉氏反變換得到的h(t)的單位分別是1/s、Ω/s、S/s和1/s。這與第3節(jié)的分析結(jié)果完全相同，相互印證。

5 結(jié)語

通過以上分析不難得出以下結(jié)論：

(1)不同于數(shù)學(xué)和純信號(hào)理論問題，電路中的許多函數(shù)或變量都有確定的物理含義，所以應(yīng)該正確使用它們的計(jì)量單位。

(2)保持電路方程的量綱平衡是重要的，可以通過檢查量綱平衡性，來檢驗(yàn)方程的正確性，使方程表達(dá)的物理概念更加清楚。

(3)單位沖激響應(yīng)h(t)的計(jì)量單位，既不是電流的單位，也不是電壓的單位。否則，在應(yīng)用卷積計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，就不能得出電壓或電流的單位。

(4)早點(diǎn)讓學(xué)生養(yǎng)成使用單位的好習(xí)慣，要比事后更正壞習(xí)慣會(huì)更好。

(5)當(dāng)前，工程教育日益得到重視。注重量綱平衡，正確使用物理量的單位，是在教學(xué)和教材中落實(shí)工程教育思想的重要內(nèi)容，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)態(tài)度和正確的工程觀點(diǎn)。

(6)全面使用量的單位，在教學(xué)上和出版上可能存在不便，但在關(guān)鍵內(nèi)容上，應(yīng)該做到嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范。本文僅就卷積積分聯(lián)想到某些量的計(jì)量單位問題進(jìn)行了討論，類似的問題是廣泛存在的，教學(xué)時(shí)應(yīng)給予必要考慮。文獻(xiàn)[1]和[5]都是很好地使用物理量計(jì)量單位的我國教材和美國教材，可供參考。

[1] 許道展，程桂敏，王鐵奎主編，俞大光主審. 電路基礎(chǔ)(上冊(cè))[M].北京：中國計(jì)量出版社，1989年5月。

(陳希有等文)

[2] 孫雨耕. 電路基礎(chǔ)理論[M]. 北京：高等教育出版社，2011年5月。

[3] 李瀚蓀. 簡明電路分析基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社，2002年7月。

[4] 陳希有. 電路理論教程[M].北京：高等教育出版社，2013年8月。

[5] 原著 Robert L. Boylestad, 翻譯陳希有，張新燕，李冠林等. Introductory Circuit Analysis(電路分析導(dǎo)論)(原著第12版) [M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014年10月。

Some Measurement Units and Related Concepts Induced by Convolution

CHEN Xi-you，LI Guan-lin，LIU Feng-chun，DONG Wei-jie

(SchoolofElectricalEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

Combined with the convolution expression in circuit theory and the dimensional balance principles of the physical equations, some measurement units of the unit impulse response and unit step response , as well as the practical implications of these responses and related concepts are analyzed. It is emphasized that they are both some kind of ratios of the response and the excitation, not the ordinary senses of the response current or voltage, so their units are neither the unit of current nor the unit of voltage. In addition, the measurement units of several quantities in the complex frequency domain and related concepts are also discussed.

convolution; unit impulse response; unit step response; measurement unit

2016-09-03;

2016-11-24

陳希有(1962-)，男，博士，教授，主要從事電路和電工技術(shù)教學(xué)以及電力電子技術(shù)研究，E-mail: chenxy@dlut.edu.cn

A

1008-0686(2017)04-0036-05

圖書分類號(hào)： TM13