自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”問題的研究

黃紹書 蔣金團

(1. 六盤水市第23中學,貴州 六盤水 553000; 2. 施甸縣第一中學,云南 保山 678200)

自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”問題的研究

黃紹書1蔣金團2

(1. 六盤水市第23中學,貴州 六盤水 553000; 2. 施甸縣第一中學,云南 保山 678200)

簡單介紹對自行車在水平彎道上“轉(zhuǎn)彎不倒”問題的理解上存在的誤區(qū)與困擾．著重根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動的力矩平衡,從轉(zhuǎn)動定點懸空的角度,剖析其“轉(zhuǎn)彎不倒”的約束關系,并給出不倒條件下的最大角速度的解析式．

自行車轉(zhuǎn)彎; 剛體轉(zhuǎn)動; 離心力效應; 陀螺效應

1 引言

自行車發(fā)明至今已有200多年,關于自行車穩(wěn)定性問題的研究和討論同樣有同樣悠久的歷史．特別是自行車轉(zhuǎn)彎時,人和車都總是向彎道的內(nèi)側(cè)傾斜,人和車組成的系統(tǒng)(以下簡稱人車系統(tǒng))的重力作用線不在支撐面上,那么,為什么人車系統(tǒng)不會傾倒呢?這方面已發(fā)表的科普文獻近百篇,[1]但基本都未離開離心力效應和陀螺效應的觀點．

關于自行車穩(wěn)定性原理的討論從未停止,并幾度掀起熱潮,還曾有對流行上百年的離心力效應和陀螺效應的傳統(tǒng)觀點的懷疑．

圖1

2012年1月,美國科普雜志Discover Magazine評選了2011年全球100個頂尖科學故事．其中“自行車的新物理”榮居第26位．為此,作為最普及的大眾簡易交通工具的自行車,其困擾公眾“轉(zhuǎn)彎不倒”的問題再度熱議起來．

2 誤區(qū)與困擾

如圖1所示,自行車在水平彎道轉(zhuǎn)彎時,受到3個力作用,即人車系統(tǒng)的重力mg、路面對車輪的支持力FN及法向摩擦力f．

設人車系統(tǒng)做圓周運動的角速度為ω、軌道半徑為r．那么,在豎直方向

FN-mg=0，

(1)

即FN與mg等大反向,合力為0．

在水平方向

f=mrω2，

(2)

即摩擦力f提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．

顯然,這一分析過程中,沒有考慮人車系統(tǒng)的空間尺度,也沒有考慮支持力FN與重力mg之間是非共點力的關系,僅將人車系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動考慮成質(zhì)點的圓周運動．因此,這一分析不能解釋轉(zhuǎn)彎“不倒”的問題．

圖2

事實上,人車系統(tǒng)是一個相對定軸轉(zhuǎn)動系統(tǒng)．那么,什么力的力矩與重力力矩平衡,使得人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎“不倒”,而維系著動態(tài)平衡狀態(tài)呢?這就是公眾不能釋疑的根本性困擾．

3 “不倒”的條件

為了便于討論,將人車系統(tǒng)簡化成剛體．人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎時,實際是繞某一豎直軸轉(zhuǎn)動,其轉(zhuǎn)動面為一圓錐面,如圖2所示．

受力情況與圖1一致,不再贅述．設人車系統(tǒng)的重心為O,轉(zhuǎn)動過程中的傾斜角為θ、轉(zhuǎn)動定點(相對)為P,轉(zhuǎn)動軸為過P點的豎直軸,路面支撐動點S與O、P之間的距離分別為l和L．那么,重力mg、支持力FN和摩擦力f對P點的力矩分別為

MG=mg·(L-l)·cosθ.

(3)

MF=FN·L·cosθ.

(4)

Mf=f·L·sinθ.

(5)

由圖2可知,支持力FN與重力mg的大小是相等的．在人車系統(tǒng)逐漸傾斜過程中,主動力矩MG和MF將隨傾斜角θ的減小而增大,而被動力矩Mf的變化比較復雜,因為摩檫力f的大小與其力臂存在相反的變化趨勢．人車系統(tǒng)“倒”與“不倒”,完全決定于這3個力矩之間的約束關系．在人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的角速度沒有超過最大角速度之前,摩擦力的大小就處在0與最大靜摩擦力fm之間的變化范圍,且摩擦力的大小由人車系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動角速度、轉(zhuǎn)動半徑及傾斜角確定,見以下(6)～(11)式的推導．這時,摩擦力矩Mf也隨之變化．

(1) 當Mf>MF-MG,即

4 最大角速度

人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的最大角速度ωm與人車系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動定點(相對)P的轉(zhuǎn)動慣量J或回轉(zhuǎn)半徑r0有關,[2]同時還與人車系統(tǒng)的最小傾斜角θn有關．

再次將人車系統(tǒng)進一步看成質(zhì)量均勻分布的細柱型剛體．根據(jù)前面設定,人車系統(tǒng)的豎直面總長度應為2l．令人車系統(tǒng)的線密度為λ．在距離圖2中的P點為r處,取一長度元dr,則長度元的質(zhì)量為dm=λdr．因此,人車系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動定點(相對)P的轉(zhuǎn)動慣量為

(6)

回轉(zhuǎn)半徑為

(7)

若設車輪與路面之間的最大靜摩擦因數(shù)為μm,那么,由圖2可知,人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的最小傾斜角θn滿足

(8)

由于地面對車輪的支持力FN等于人車系統(tǒng)的重力mg,因此人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎過程中受到路面的最大靜摩擦力fm為

fm=μm·mg.

(9)

這一最大靜摩擦力就是人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎時的最大向心力．剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,由于轉(zhuǎn)動慣量的影響,向心力應等效作用于剛體的微分質(zhì)量集中點．因此,人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎過程中,最大角速度ωm滿足

fm=mr0ωm2cosθn.

(10)

代入各量代數(shù)式,化簡可得

(11)

5 結(jié)語

圖2中的轉(zhuǎn)動固定點P以及過該點的豎直軸是相對的,具體要由人車系統(tǒng)的動力學微分方程確定．因此,各式中涉及的路面支撐點S與轉(zhuǎn)動定點P之間的距離L以及轉(zhuǎn)動慣量J、回轉(zhuǎn)半徑r0、最大角速度ωm等也都是相對的．

本文的分析還不很徹底,迫切期待同行及專家們的指導和對該問題的進一步深入探討．

1 劉延柱.關于自行車的穩(wěn)定性[J].力學與實踐，2012，2(34):90-93.

2 哈爾濱工業(yè)大學理論力學教研室.理論力學(Ⅰ)[M].北京：高等教育出版社，2009，7(7):259-272.

2017-02-12)