Lü系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集估計(jì)

李慧民, 孫尚慶

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

Lü系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集估計(jì)

李慧民, 孫尚慶

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

作為一個(gè)著名的混沌系統(tǒng),Lü系統(tǒng)吸引集的精確估計(jì)具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用。文章利用Lyapunov函數(shù)理論,給出了該系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集的估計(jì)。具體來說,就是將狀態(tài)空間分成若干區(qū)域,在每一個(gè)區(qū)域上構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膹V義正定函數(shù),結(jié)合經(jīng)典技巧獲得該估計(jì);最后,通過仿真驗(yàn)證了估計(jì)的有效性。

Lü混沌系統(tǒng);廣義Lyapunov函數(shù);全局指數(shù)吸引集;正向不變集

0 引 言

自Lorenz系統(tǒng)于1963年被發(fā)現(xiàn)以來,許多新混沌系統(tǒng)也相繼被發(fā)現(xiàn),其中著名的有Chen系統(tǒng)[1]和Lü系統(tǒng)[2]。作為一個(gè)介于Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)之間的系統(tǒng),Lü系統(tǒng)一直被廣泛而深入地研究[3-7]。

在混沌系統(tǒng)的定性分析中一個(gè)非常重要的問題是如何精確地估計(jì)其吸引集,這是由于一方面平衡點(diǎn)、周期解、混沌吸引子在全局吸引集中;另一方面在應(yīng)用中混沌控制、混沌同步也經(jīng)常需要這些估計(jì)。文獻(xiàn)[8]首次提出了一個(gè)新的概念——全局指數(shù)吸引集,且對(duì)Lorenz系統(tǒng)族給出這類吸引集的估計(jì)。與經(jīng)典意義下的吸引集[9]相比,全局指數(shù)吸引集提供了收斂速度。文獻(xiàn)[10]利用多個(gè)Lyapunov函數(shù)方法構(gòu)造出了Chen系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集與正向不變集。對(duì)Lü系統(tǒng), 其經(jīng)典吸引集估計(jì)由文獻(xiàn)[11]給出,但其全局指數(shù)吸引集的估計(jì)仍然未知。受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文通過構(gòu)造3個(gè)Lyapunov函數(shù),給出 Lü系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集的估計(jì)。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮下列的Lü系統(tǒng):

(1)

其中,a>0;b>0;c>0。令X(t)=(x(t),y(t),z(t))T,X(t0)=X0,X0是(1)式的初值且X=(x,y,z)T為(1)式的狀態(tài)變量。

定義2[10]對(duì)于系統(tǒng)(1),若存在緊集Ω?R3,對(duì)所有X0=X(t0)∈Ωc,存在常數(shù)M(X0)>0、α>0,使得ρ(X(t),Ω)≤M(X(t0))e-α(t-t0),則稱系統(tǒng)(1)具有全局指數(shù)吸引性,并稱Ω是全集指數(shù)吸引集。

定義3[10]對(duì)于系統(tǒng)(1),若存在一個(gè)廣義正定的徑向無界Lyapunov函數(shù)V(x)和L>0、α>0,使得當(dāng)t≥t0,V(X(t))>L時(shí),不等式V(X(t))-L≤(V(X0)-L)e-α(t-t0)成立,則稱系統(tǒng)(1)是全局指數(shù)吸引的,Ω={X|V(t)≤L,t≥t0}稱為全局指數(shù)吸引集。

2 主要定理及證明

引理1 若y(t)具有全局指數(shù)吸引集,即存在常數(shù)k>0、α>0,使得當(dāng)t≥t0時(shí),有

則(1)式的一個(gè)分解量x(t)亦有全局指數(shù)吸引集,且當(dāng)t≥t0時(shí),有下列估計(jì)式:

引理2 若x(t)、y(t)均具有全局指數(shù)吸引集,即|y(t)|≤k+|y(t0)|e-α(t-t0),|x(t)|≤k+|x(t0)|e-α(t-t0),其中,k≥0、α>0為常數(shù),t≥t0,則z(t)亦有全局指數(shù)吸引集,即當(dāng)t≥t0時(shí),有

上述2個(gè)引理可按文獻(xiàn)[10]類似證明。

均為正定矩陣;

均為負(fù)定矩陣。

令λM(Qi)、λM(Pi)分別表示Qi、Pi的最大特征值,i=1,2,3,且

在x=0,z≤ξ平面作廣義正定Lyapunov函數(shù)，即

在(y,z)平面的第一象限內(nèi)作廣義正定徑向無界的Lyapunov函數(shù)，即

在(y,z)平面的二象限內(nèi)作廣義正定徑向無界的Lyapunov函數(shù)，即

圖1 示意圖

證明 因?yàn)橄到y(tǒng)(1)關(guān)于(x,y)的對(duì)稱性,所以只需考慮x≥0的情況。

沿系統(tǒng)(1)的解對(duì)V1求導(dǎo)數(shù),當(dāng)z≤ξ時(shí),有

(2)

從(2)式可以看出，

可知Ω為(y,z)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集。

(3)

從而有：

即軌線(y(t),z(t))從右往左走的。因?yàn)楫?dāng)y≠0時(shí),軌線是指數(shù)型衰減,所以由Lefschetz開拓原理知,在y=0上,軌線也是指數(shù)型衰減的。證畢。

為(x,y,z)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集。

3 仿 真

下面對(duì)Lü系統(tǒng)中的具體參數(shù)進(jìn)行仿真,以驗(yàn)證方法的有效性。取a=36,b=3,c=20,此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)[11],滿足定理1和定理2的條件,令ξ=34.5,η=2.5,于是,當(dāng)|x|≥29 584.8時(shí),有

為(1)式的(y,z)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集。G={(x,y,z)||x|≤29 584.8}為(x,y,z)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集。

4 結(jié) 論

本文通過構(gòu)造3個(gè)不同的廣義正定的Lyapunov函數(shù),并結(jié)合經(jīng)典技巧,給出了Lü系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集和正向不變集的估計(jì),最后的仿真驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

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[10] 廖曉昕,徐炳吉,陳關(guān)榮，等.Chen混沌系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集和正向不變集的構(gòu)造性證明及應(yīng)用[J].中國科學(xué) E輯:信息科學(xué),2015,45(1):129-144.

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(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Estimations on globally exponentially attractive set and positive invariant set of Lü system

LI Huimin, SUN Shangqing

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

As a famous chaotic system, accurate estimations for attractive set of Lü system has important theoretical significance and practical applications. In this paper, an estimation on globally exponentially attractive set and positive invariant set of Lü system is given by constructing several generalized positive Lyapunov functions. Specifically, the state space can be divided into several regions, and for each region an appropriate generalized positive definite function is constructed and the estimate is obtained by combining with classical technique. Finally, the validity of the estimates is shown through the simulation.

Lü chaotic system; generalized Lyapunov function; globally exponentially attractive set; positive invariant set

2016-05-13

安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2012AJZR0323)；安徽省省級(jí)質(zhì)量工程專業(yè)綜合改革試點(diǎn)資助項(xiàng)目(2012zy007)和名師(大師)工作室資助項(xiàng)目(2015msgzs126)

李慧民(1978-),女,河南濮陽人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.08.026

O175.13

A

1003-5060(2017)08-1144-05